張艷宗

(浙江省海鹽縣元濟(jì)高級(jí)中學(xué)，314300)

一、試題呈現(xiàn)

(A)a

(C)b

這是2021年全國乙卷理科的第12題.此題通過對(duì)數(shù)與冪的大小比較考查對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等基本函數(shù),要求學(xué)生具有較高的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),以及分析問題解決問題的能力.問題設(shè)置簡(jiǎn)潔,內(nèi)涵豐富,是一道值得深究的好題.筆者對(duì)其進(jìn)行了一番研究,給出此題幾種解法,追根溯源，挖掘命題背景,分析其給高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)帶來的啟示.

二、解法探究

a,b是同底的對(duì)數(shù),可利用對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為真數(shù)大小的比較.由a=2ln 1.01=ln(1+0.01)2=ln(1+0.02+0.012)>ln 1.02=b,得a>b.

思路1本題難點(diǎn)是比較a,b與c的大小.考慮到a與c(或b與c)的結(jié)構(gòu)差異,將0.01看作變量x的一個(gè)值，構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

解法1構(gòu)造函數(shù)法1

綜上,b

思路2用單調(diào)性比較三個(gè)數(shù)的大小,計(jì)算量較大.可考慮利用函數(shù)的增減速度(即導(dǎo)函數(shù)的大小)定性判斷,以減少計(jì)算量.

解法2構(gòu)造函數(shù)法2

思路3比較對(duì)數(shù)a,b與c的大小,可考慮使用與對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx有關(guān)的函數(shù)不等式求解.

解法3函數(shù)不等式法

我們可以證明當(dāng)x>1時(shí),恒有

①

即a>c.

即b

綜上,選B.

三、背景挖掘

不等式①來源于下面兩個(gè)問題:

將以上兩個(gè)問題整合,即為對(duì)數(shù)均值不等式

②

知曉了①式的來歷,我們也可直接利用對(duì)數(shù)均值不等式求解.

解法4對(duì)數(shù)均值不等式法

綜上,選B.

這些公式被編入計(jì)算工具,計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可以確保顯示值的精確性.比如用前三項(xiàng)計(jì)算cos 0.3,并與上述結(jié)果比較.

上述公式稱之為泰勒公式,它是高等數(shù)學(xué)中的非常重要的一個(gè)內(nèi)容,能將一些復(fù)雜的函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù).泰勒公式這種化繁為簡(jiǎn)的功能,在近似計(jì)算、不等式證明等方面發(fā)揮著重要的作用.

解法5泰勒公式法

評(píng)注通過泰勒展開式,我們可以得到a,b,c較為精確的估值,明白設(shè)置1.01,1.02,1.04這些數(shù)據(jù)的原因.這可能是這道高考題的高等數(shù)學(xué)命題背景.

無獨(dú)有偶,2014年新課標(biāo)II卷理科第21題也是以此為背景的:

試題已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)g(x)=f(2x)-4bf(x),當(dāng)x>0時(shí),g(x)>0,求b的最大值;

四、教學(xué)啟示

近年來的高考題越來越注重基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法的融會(huì)貫通,需要學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光和數(shù)學(xué)思想分析問題、解決問題.在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中,我們要注重引領(lǐng)學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí),展示問題的解題思路、數(shù)學(xué)思想方法,剖析思維過程,優(yōu)化思維層次,構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu),強(qiáng)化學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中,我們要挖掘教材中典型例題、習(xí)題和往年高考題的內(nèi)涵與外延.不僅要求學(xué)生了解一些核心概念產(chǎn)生的背景和過程,理解問題所蘊(yùn)含的知識(shí)、方法和思想,還要適當(dāng)拓展一些難度適中的課外知識(shí).這既可以擴(kuò)展學(xué)生的視野,提高學(xué)生解決問題的能力,又可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與應(yīng)用,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).