路雪梅

(山東省東營市利津縣高級中學，257400)

參數法是一種重要的數學解題方法.利用參數可以傳遞信息,溝通不同條件之間、條件與結論之間,乃至不同變量之間的緊密聯系,達成數學不同模塊的相互轉換,優(yōu)化解題過程.本文以圓與橢圓的參數方程為例,舉例說明參數法在數學競賽題中的應用,彰顯參數在此處的兩個應用價值:一是通過參數簡明地表示曲線上任意一點的坐標;二是將曲線的有關計算問題轉化為三角問題,從而運用三角函數性質及變換公式幫助我們求解諸如最值、參數取值范圍等問題.

一、求函數的值域

在圓x2+y2=r2的參數方程x=rcosθ,y=rsinθ(θ為參數,r>0)中，參數θ表示旋轉角，這是其幾何意義.一般地，圓(x-a)2+(y-b)2=r2的參數方程為x=a+rcosθ,y=b+rsinθ(θ為參數，r>0).

二、求參數的取值范圍

(A)(-∞,-4] (B)[-4,+∞)

(C)(-∞,4] (D)[4,+∞)

評注本題將點P的坐標用橢圓的參數方程表示,代入不等式后分離出參數m,利用三角代換進行轉化,避開了常規(guī)思路繁雜的運算,為簡化最值的求解過程鋪平了道路.

三、求最值

解易知點A(3,0),F(0,1).

評注本題將點P的坐標用橢圓的參數方程表示,將四邊形分割為兩個三角形后,面積表示為三角函數形式,利用輔助角法和正弦函數的有界性求得最值,充分體現了參數法解題的優(yōu)越性.

解易知焦點F1(-1,0),F2(1,0).設點P(x0,y0),Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),由條件可知x0>0,y0>0,y1<0,y2<0.

以下先求y1-y2.

四、求動點的軌跡

例5(2012年全國高中數學聯賽題)如圖2，在平面直角坐標系xOy中，菱形ABCD的邊長為4，且|OB|=|OD|=6.

(1)證明：|OA||OC|為定值；

(2)當點A在半圓M：(x-2)2+y2=4(2≤x≤4)上運動時，求點C的軌跡.

解(1)定值為20.(過程略)