江蘇省新沂市第一中學(xué) (221400) 苗慶碩

整體思想是建立在整體與局部這種對立統(tǒng)一辯證關(guān)系上的一種數(shù)學(xué)思想方法，它要求以廣闊的視野來看待所研究的數(shù)學(xué)對象，在統(tǒng)攬全局的思想指導(dǎo)下，整體地考察和處理問題，再抓住個性特征謀求解題突破，以達(dá)到簡化和優(yōu)化解題的目的.經(jīng)常有目的地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行這樣的訓(xùn)練，能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生思維的廣泛性、敏捷性和深刻性，在教學(xué)和學(xué)習(xí)中應(yīng)該受到重視.如在解答某些不等式的問題中，若將題設(shè)或結(jié)論視為整體，通過對整體結(jié)構(gòu)的調(diào)節(jié)或轉(zhuǎn)化，可以收到簡化運(yùn)算、降低思維難度、縮短推證過程之功效.本文通過分析不等式問題的典型題例的解法，從如何運(yùn)用整體思想處理數(shù)學(xué)問題的角度，談一些常用做法和使用經(jīng)驗(yàn)，供同仁參考.

一、整體表示

視問題的多個結(jié)論為整體，根據(jù)結(jié)構(gòu)特征，合理變形，直接求出欲求的答案.

例1 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx且滿足不等式1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范圍.

評注：通過將待求的f(-2)整體的用f(-1)和f(1)表示出來，再運(yùn)用不等式相加解決問題.本題如果先分別求出a和b的范圍，再代入f(-2)=4a-2b求范圍，就可能造成范圍擴(kuò)大的錯誤.

二、整體換元

在一些輪換式的不等式中，通過對相關(guān)式子整體換元后，可找到解題突破口.

解析：從待證的不等式可以看到，左邊的三個式子是輪換式，可采用整體換元處理.

評注：在證明問題時，抓住了分母是輪換式的特點(diǎn)，可將分母視為一個整體進(jìn)行換元處理，通過整體變形，顯露了問題的內(nèi)含，為用基本不等式解決問題指明了方向.

三、整體變形

把某一相關(guān)的知識塊看作一個整體，進(jìn)行整體變形，尋找各知識塊之間內(nèi)在聯(lián)系.

評注：解決關(guān)于Sn的問題一般方法是用前n項(xiàng)和公式，并對q=1與q≠1來討論解決，而本解法中將Sn，Sn+1，Sn+2視為整體，進(jìn)行變形，避免了分類討論，使問題獲得了簡解.

四、整體配湊

在證明分式不等式時，抓住分母的特點(diǎn)進(jìn)行巧妙配湊也是解題技巧之一.

評注：用整體的觀念分析1-x+y、1-y+z、1-z+x之間的關(guān)系，就能找到他們其中隱含的東西，從而發(fā)現(xiàn)了利用基本不等式解題的契機(jī).

五、整體對偶

通過整體地設(shè)一個與已知式對偶的式子參與運(yùn)算和化簡也可給我們帶來驚喜.

評注：題目中左邊出現(xiàn)的是一個整體的分式連乘式，要證明到右邊必須進(jìn)行約分，只有再出現(xiàn)一個與之相乘可以消去左邊大部分分式的連乘式才能達(dá)到目的，于是對偶的式子就好找了.

六、整體求解

將所求的不等式看作一個整體求解，就可以避免分開求解或分類討論的情況.

七、整體構(gòu)造

在證明不等式時，也可以通過整體地構(gòu)造函數(shù)或方程等方法以幫助解題.

評注：構(gòu)造法證明不等式也是一個重要方法，而抓住題設(shè)進(jìn)行整體地構(gòu)造體現(xiàn)了對題意的完全把握和深刻領(lǐng)會，需要有豐富的有經(jīng)驗(yàn)和較強(qiáng)的能力做支撐.

八、整體構(gòu)形

通過挖掘所給條件中的幾何事實(shí)，構(gòu)造相關(guān)的幾何圖形，利用幾何性質(zhì)幫助解題.

例8 已知m為實(shí)數(shù)，x>0,y>0，x+y<π,求證：m(m-1)sin(x+y)+m(sinx-siny)+siny>0.

解析：由條件知，存在一個z>0，使得x+y+z=π，于是可構(gòu)造△ABC，使其外接圓直徑為1，三內(nèi)角為x,y,z，且x,y,z的對邊分別為a,b,c，由正弦定理知，待證的不等式即為m(m-1)c+m(a-b)+b>0，即cm2+(a-b-c)m+b>0；因c>0且△=(a-b-c)2-4bc=a2+b2+c2-2ab-2ac-2bc=(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)=a(a-b-c)+b(b-c-a)+c(c-a-b)<0，故cm2+(a-b-c)m+b>0恒成立，即原不等式成立.

評注：在分析所給條件中，敏銳地洞察到含有x+y+z=π的隱含條件，為整體構(gòu)造三角形將不等式轉(zhuǎn)化為三角形三邊之間的關(guān)系問題求解創(chuàng)造了機(jī)會.

九、整體思考

在統(tǒng)攬全局的思想指導(dǎo)下，整體的思考問題，再抓住個性特征去解題.

例9 設(shè)a,b，A,B均為已知實(shí)數(shù)，且對任何實(shí)數(shù)x，不等式Acos2x+Bsin2x+acosx+bsinx≤1成立，求證：a2+b2≤2，A2+B2≤1.

評注：由于題中的主要條件就是一個恒不等式，充分運(yùn)用這個恒不等式是解題關(guān)鍵，通過整體地設(shè)函數(shù)，整體地化簡合并，然后再整體地運(yùn)用特殊值變形，使問題獲得圓滿的解答.