江西省南昌市第一中學(xué) (330000) 喻瑞明

拋物線(xiàn)性質(zhì)的教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中不可缺少的一部分，有關(guān)拋物線(xiàn)性質(zhì)的考題也是層出不窮.我們知道，拋物線(xiàn)中蘊(yùn)含了許多優(yōu)美的結(jié)論，本文從2018年全國(guó)Ⅰ卷文科第20題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)出發(fā)，利用幾何畫(huà)板探究了拋物線(xiàn)中雙定點(diǎn)的一些性質(zhì)，供同仁參考.

文[1]中已探究了拋物線(xiàn)的性質(zhì)，并得到如下結(jié)論：

結(jié)論1 如圖1，已知拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)，點(diǎn)B(-m,0)(m>0)，設(shè)斜率存在的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交于M,N兩點(diǎn)，則直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)A(m,0)的充要條件是kBM+kBN=0.

結(jié)論2 如圖2，已知拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)，A(m,0)，B(-m,n)(m≠0)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A且與拋物線(xiàn)相交于P,Q兩點(diǎn)，則kPB+kQB=2kAB.

圖1

圖2

綜觀上述兩個(gè)結(jié)論，我們可以發(fā)現(xiàn)，得出了已知兩個(gè)定點(diǎn)A,B的拋物線(xiàn)的兩條性質(zhì)，本文依此為背景，進(jìn)一步研究的拋物線(xiàn)中雙定點(diǎn)的一些性質(zhì).

首先，我們先一起探究以下引理：

引理若A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)上不相同的兩個(gè)點(diǎn)，則直線(xiàn)AB的方程為(y1+y2)y=2px+y1y2.

以此引理為基礎(chǔ)，以幾何畫(huà)板為手段，探究得出如下結(jié)論：

圖3

圖4

由結(jié)論3，進(jìn)一步探究得出結(jié)論4.

由結(jié)論3、4，進(jìn)一步推廣得出結(jié)論5和結(jié)論6.

圖5

圖6

結(jié)論6 如圖6，已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)，定點(diǎn)A(-a,0)(a>0)，定點(diǎn)B(a,m)(m≠0)不在拋物線(xiàn)C上，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C相交于M,N兩點(diǎn)，直線(xiàn)MB與拋物線(xiàn)C相交的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，記直線(xiàn)NQ恒過(guò)的定點(diǎn)為G，直線(xiàn)NB與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為P，則(1)A,P,Q三點(diǎn)共線(xiàn)；(2)M,P,G三點(diǎn)共線(xiàn).