江蘇省常熟市梅李高級中學 (215511) 張玲玲

前不久學校組織的調研考試中筆者命制了一道導數(shù)題，測試后師生認為試題結構簡潔、表達流暢，入口較寬，解法多樣，且具思維價值，難度、效度、區(qū)分度也得到了很好體現(xiàn).本文就其命制過程及解法思考整理出來，與同仁交流.

一、試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=ex-alnx，(其中a為參數(shù))

(1)若a=1，直線y=kx+1是曲線y=f(x)的一條切線，求實數(shù)k的值；

(2)若對任意x∈(0,+∞)，不等式f(x)>alna成立，求實數(shù)a的取值范圍.

二、解法研究

在(0,+∞)上遞減.由h(1)=0得h(x)>0的解為0

三、命題目標

導數(shù)是高中數(shù)學的重點內容，也是高考考查的重點內容，是研究函數(shù)、不等式、零點問題的強有力工具，本題重點考查用導數(shù)研究切線、單調性、最值、零點、不等式，考查分析法、綜合法、換元法、構造法等基本方法，考查函數(shù)方程、轉化化歸、數(shù)形結合等基本數(shù)學思想，同時考查綜合運用所學數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.

四、命題思路

本題的兩小問一個求參數(shù)值，一個求參數(shù)范圍，一靜一動，相得益彰.

第(1)問重點考查用導數(shù)的幾何意義，即用導數(shù)研究切線斜率，而在解決問題的過程中又涉及到零點問題，需要考生先觀察出函數(shù)的零點，再用單調性說明唯一性.

第(2)問重點考查用導數(shù)研究不等式恒成立問題，這里的不等式ex-alnx-alna>0是指對混合問題，而且不方便分離出參數(shù)a，所以有一定難度.

方法2是構建同構式、借助函數(shù)g(t)=et+t的單調性處理不等式，這也是近年來全國卷中的熱點，此種解法非常簡潔，但是代數(shù)變形(指數(shù)化、對數(shù)化、加減項)的要求較高，考生不容易想到.另外在構建函數(shù)時也有考生會選擇函數(shù)g(t)=tet，實際上這個函數(shù)當然是可以的，但是g(t)=et+t是單調函數(shù)、會更簡單.

方法3借助反函數(shù)處理,將指、對數(shù)之間的不等關系轉化為指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)之間的不等關系，令人拍案叫絕，但是考生也不容易想到.

此外，第(2)問也可以先從必要條件入手，例如先考慮f(1)>alna，此時可以求得0

五、命題方法

六、方法應用

借助此命題方法，可以命制出很多指對混合函數(shù)不等式問題.

案例1 第一步：選定一個指數(shù)型函數(shù)y=aex-1；第二步：求出其反函數(shù)(對數(shù)型函數(shù))y=lnx-lna+1；第三步：構建不等式aex-1≥lnx-lna+1并改寫成不等式aex-1-lnx+lna≥1.即得到2020年新高考山東卷的21題：

已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求實數(shù)a的取值范圍.

點評：不等式aex-1≥lnx-lna+1也可以等價轉化為x≥lnx-lna+1來處理.

已知函數(shù)f(x)=ex-alna(x-1)+a(a>0)，若f(x)>0，求實數(shù)a的取值范圍.

七、命題反思

命題是一項嚴謹而辛苦的工作，其能體現(xiàn)教師的數(shù)學專業(yè)水平.每一道好題的背后都是命題人的集體智慧和辛勤付出，都是命題人、教師及學生與數(shù)學之間的一次精神交流.對于一些高質量的試題，可以從命題的角度，對其進行深入研究，將命題、測試和教學融為一體，這樣既能提高學生的解題能力，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)，又能引導課堂教學，提升教師的數(shù)學素養(yǎng).