李東陽(yáng)，常思江，王中原，魏 偉

(1. 南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 江蘇 南京 210094； 2. 瞬態(tài)沖擊技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 102202)

彈箭非線性運(yùn)動(dòng)理論始于20世紀(jì)50年代，由于其對(duì)工程應(yīng)用的巨大指導(dǎo)作用，一直以來(lái)都是外彈道理論的研究重點(diǎn)[1-3]。已有研究表明，在某些特定條件下，非線性效應(yīng)對(duì)彈箭運(yùn)動(dòng)特性的影響不容忽視，甚至起決定性作用[4-6]。某些基于線性理論設(shè)計(jì)的彈箭在飛行試驗(yàn)中，會(huì)發(fā)生預(yù)料之外的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)或姿態(tài)變化，無(wú)法完成預(yù)定的飛行任務(wù)。例如：無(wú)控十字翼導(dǎo)彈的轉(zhuǎn)速在一定條件下被鎖定在某一轉(zhuǎn)速附近而無(wú)法達(dá)到設(shè)計(jì)值，同時(shí)，攻角也被鎖定而產(chǎn)生圓錐運(yùn)動(dòng)，此種現(xiàn)象被稱為轉(zhuǎn)速-攻角閉鎖[4, 7]。此時(shí)，如果被鎖定的轉(zhuǎn)速恰好位于該彈箭的共振轉(zhuǎn)速區(qū)域，則可能飛行失穩(wěn)甚至掉彈。對(duì)于有控彈箭，攻角和轉(zhuǎn)速被鎖定將大大增加飛行控制的難度，使其往往無(wú)法達(dá)到良好的控制效果[6，8-10]。

研究表明，引起彈箭非線性運(yùn)動(dòng)的因素有很多，如氣動(dòng)力非線性、結(jié)構(gòu)非線性、幾何非線性等，其中氣動(dòng)力非線性占主導(dǎo)作用[11-12]。有學(xué)者發(fā)現(xiàn)[5]，一些不?？紤]的氣動(dòng)力和力矩往往可用于解釋某些非線性現(xiàn)象。也有不少學(xué)者致力于提高氣動(dòng)力和力矩模型的精確性(描述成攻角的高階多項(xiàng)式)，以期更接近實(shí)際地描述彈箭非線性運(yùn)動(dòng)。Liano等[13]研究發(fā)現(xiàn)，為了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)速閉鎖現(xiàn)象，在攻角為12°和20°時(shí)，與滾轉(zhuǎn)角有關(guān)的非線性力矩關(guān)于攻角的階數(shù)應(yīng)分別不得低于五次和七次；Morote[9]研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于某種彈箭結(jié)構(gòu)，當(dāng)靜力矩系數(shù)關(guān)于攻角的階數(shù)達(dá)到七次時(shí)才能準(zhǔn)確地?cái)M合試驗(yàn)數(shù)據(jù)。顯然，為了更好地研究彈箭非線性運(yùn)動(dòng)，引入高階氣動(dòng)力系數(shù)是十分必要的。

當(dāng)前，制約彈箭非線性運(yùn)動(dòng)理論進(jìn)一步發(fā)展的主要因素是缺乏有效的方法，當(dāng)攻角方程中存在高階氣動(dòng)力系數(shù)及其耦合項(xiàng)時(shí)，獲得高精度的解析解相當(dāng)困難。傳統(tǒng)的彈箭非線性研究方法[1]都存在一定的局限性，如：奇異攝動(dòng)法對(duì)弱非線性系統(tǒng)原則上能給出滿足任意精度要求的解析解，但高階精度計(jì)算量大，解的形式過(guò)于繁雜，難以用于運(yùn)動(dòng)特性的進(jìn)一步分析；而簡(jiǎn)化計(jì)算的周期平均法作為一次近似理論，只限于定性研究，不能用于對(duì)精度要求高的定量計(jì)算，因此適用于弱非線性系統(tǒng)；漸近法雖然在一定程度上融合了上述兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，但隨著精度的提高，復(fù)雜度迅速增加。在彈箭非線性運(yùn)動(dòng)學(xué)研究中，角運(yùn)動(dòng)通常運(yùn)用擬線性法進(jìn)行分析，即假設(shè)在非線性情況下，彈箭的角運(yùn)動(dòng)仍能寫(xiě)成線性運(yùn)動(dòng)解的形式，再利用周期平均法求出可變的頻率和阻尼指數(shù)，并利用振幅平面方程和奇點(diǎn)理論求得穩(wěn)定性條件。缺點(diǎn)是靜力矩非線性較強(qiáng)(如考慮三次非線性靜力矩)時(shí)誤差較大。雖然在考慮三次靜力矩時(shí)能借用橢圓函數(shù)得到精確解，但橢圓函數(shù)無(wú)法處理三次以上的靜力矩項(xiàng)。外彈道學(xué)領(lǐng)域中常用的攝動(dòng)法，是在以三次靜力矩作用下橢圓函數(shù)表示的精確解的基礎(chǔ)上，將其他非線性力矩的影響作為橢圓函數(shù)基礎(chǔ)解的小擾動(dòng)，但也僅限于弱非線性的處理[1]。以上方法在應(yīng)用上的局限性已為人所共知，因此不斷有研究探討新的攻角方程解法和穩(wěn)定性分析方法。文獻(xiàn)[14]嘗試用同倫分析法求解高次非線性靜力矩作用下的角運(yùn)動(dòng)方程，得到了有效的解析解和相對(duì)保守的穩(wěn)定攻角范圍，但為了確保解的收斂需引入特定算法?；羝辗蚍植砝碚撘脖挥糜诜治鰪椉蔷€性運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性[15]。文獻(xiàn)[16]利用推廣的打靶法計(jì)算了角運(yùn)動(dòng)周期解的幅值和周期,結(jié)合Floquet理論分析了周期解的穩(wěn)定性。

正規(guī)形法的基本思想是通過(guò)引入恒等變換，將原系統(tǒng)微分方程化為盡可能簡(jiǎn)單的形式，它不僅能夠在更大區(qū)間內(nèi)給出非線性方程的有效解析解，同時(shí)能較容易地獲得非線性系統(tǒng)的頻率隨幅值以及振動(dòng)隨自變量的變化曲線[17-19]。頻率隨幅值的變化曲線在振動(dòng)模態(tài)分析中發(fā)揮了重要作用。而幅值變化曲線，則有助于分析運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，這是前述奇異攝動(dòng)法、平均法以及多尺度法難以給出的結(jié)果。利用正規(guī)形法得到系統(tǒng)的正規(guī)形，可用于進(jìn)一步分析系統(tǒng)在參數(shù)攝動(dòng)情況下的分叉現(xiàn)象，但暫不在本文討論范圍內(nèi)。近來(lái)，有許多對(duì)正規(guī)形法本身的研究和拓展[18, 20-23]，同時(shí)其在電力系統(tǒng)分析[20, 24-25]、振動(dòng)模態(tài)分析[18, 23, 26]、飛行器穩(wěn)定性分析[27]、生態(tài)研究[28]、轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)[29-31]等領(lǐng)域均得到了廣泛應(yīng)用，成為研究非線性微分方程的有力方法。而從現(xiàn)有文獻(xiàn)來(lái)看，正規(guī)形法在外彈道學(xué)領(lǐng)域中鮮有應(yīng)用。

因此，本文的主要目的和出發(fā)點(diǎn)就是對(duì)彈箭非線性運(yùn)動(dòng)分析問(wèn)題引入新的解析方法，探討正規(guī)形法對(duì)彈箭非線性運(yùn)動(dòng)研究的優(yōu)勢(shì)。本文首先簡(jiǎn)要介紹正規(guī)形法的構(gòu)造原理，在此基礎(chǔ)上，將針對(duì)具有高階靜力矩系數(shù)(五次和七次)的彈箭攻角運(yùn)動(dòng)方程，在有阻尼(二次)和無(wú)阻尼條件下，利用正規(guī)形法解析求解并進(jìn)行穩(wěn)定性分析，用數(shù)值積分驗(yàn)證結(jié)果的可行性，以期為彈箭非線性運(yùn)動(dòng)理論研究提供新的有效方法。

1 正規(guī)形構(gòu)造方法

考慮非線性系統(tǒng)

(1)

式中：自變量x=[x1,x2,…,xn]T；A為n×n常數(shù)矩陣；n×1向量F(x)為非線性項(xiàng)，在原點(diǎn)處至少二階連續(xù)可微。為不失一般性，假設(shè)其平衡點(diǎn)為原點(diǎn)或已通過(guò)線性變換將感興趣的平衡點(diǎn)移至原點(diǎn)。

正規(guī)形法的基本思想是采用一定的近似恒等坐標(biāo)變換，將復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為其等價(jià)類中形式最簡(jiǎn)單的那一個(gè)，以便進(jìn)一步分析和求解。簡(jiǎn)化通常在系統(tǒng)動(dòng)態(tài)平衡點(diǎn)或周期軌道(如極限圓)的鄰域內(nèi)進(jìn)行[17]。由于所考慮的彈箭角運(yùn)動(dòng)方程的形式特殊，A具有一對(duì)純虛特征根，這里僅簡(jiǎn)單介紹所用的特殊構(gòu)造方法，即復(fù)數(shù)表示法[17]。

引入線性坐標(biāo)變換x=Pz得到式(1)的Jordan形式為

(2)

(3)

引入復(fù)變量

(4)

(5)

其中，i為虛數(shù)單位。這樣，與正規(guī)形基本構(gòu)造方法相比，在得到相同正規(guī)形形式的同時(shí)省去了許多復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算。此時(shí)，近似恒等變換可選為

(6)

共振條件為

m1-m2=1

(7)

2 攻角平面內(nèi)彈箭非線性運(yùn)動(dòng)的解析解

求出彈箭角運(yùn)動(dòng)方程的解析解，對(duì)彈箭運(yùn)動(dòng)和穩(wěn)定性分析都十分方便，尤其是當(dāng)前各種新型彈箭層出不窮，氣動(dòng)特性和運(yùn)動(dòng)特性更為復(fù)雜，高階氣動(dòng)力和力矩的研究變得更加重要。已有研究表明[13]，傳統(tǒng)的三次形式已不足以準(zhǔn)確刻畫(huà)靜力矩，試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，即使在15°的中等攻角，取至攻角的七次也不足以準(zhǔn)確刻畫(huà)靜力矩中的高度非線性。高次非線性項(xiàng)對(duì)彈箭所受靜力矩的準(zhǔn)確刻畫(huà)非常重要，而靜力矩作為重要的氣動(dòng)力矩，研究其對(duì)彈箭角運(yùn)動(dòng)的影響就變得十分重要。此外，當(dāng)二次非線性阻尼力矩同時(shí)存在時(shí)，會(huì)誘發(fā)圓錐運(yùn)動(dòng)，在彈箭平面運(yùn)動(dòng)中顯示為平面等幅振蕩[1-3, 32]。而當(dāng)非線性力矩較強(qiáng)時(shí)，傳統(tǒng)擬線性法與平均法的結(jié)合將無(wú)法得到滿足精度的結(jié)果。因此，本文將在傳統(tǒng)僅考慮三次非線性靜力矩的基礎(chǔ)上，采用正規(guī)形方法研究五次和七次非線性靜力矩以及二次非線性阻尼對(duì)角運(yùn)動(dòng)的影響。

彈箭的平面角運(yùn)動(dòng)方程可描述為

δ″+(H0+H2·δ2)δ′-(M0+M2·δ2+
M4·δ4+M6·δ6)δ=0

(8)

不難看出，δ=0、δ′=0為該平面角運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)。注意，對(duì)于不同的氣動(dòng)力系數(shù)組合，也可能存在其他有意義的實(shí)平衡點(diǎn)。在實(shí)際應(yīng)用中，研究人員往往對(duì)彈箭在原點(diǎn)周圍的角運(yùn)動(dòng)更感興趣。因此，利用正規(guī)形理論尋求七次非線性角運(yùn)動(dòng)方程在原點(diǎn)附近的正規(guī)形式，并研究不同氣動(dòng)系數(shù)組合對(duì)攻角幅值、振動(dòng)周期以及穩(wěn)定性的影響。

2.1 考慮高階靜力矩的方程解析解

(9)

式中：f(δ,δ′)=-(H0+H2·δ2)δ′+(M0+M2·δ2+M4·δ4+M6·δ6)δ

記攻角為

利用式(5)～(6)，為求簡(jiǎn)潔，詳細(xì)推導(dǎo)不再贅述，可得當(dāng)角運(yùn)動(dòng)方程取得最簡(jiǎn)形式時(shí)，近似恒等變換式(6)的系數(shù)應(yīng)選擇如下

(10)

由此，可保證消去所有非共振項(xiàng)后得到盡可能簡(jiǎn)單的正規(guī)形式。式中的“？”項(xiàng)表示未在方程展開(kāi)式中出現(xiàn)的待定系數(shù)Γli，故無(wú)法確定此系數(shù)的具體值，即可為任意值。為得到最簡(jiǎn)單的正規(guī)形，將其取為0。此時(shí)，可得角運(yùn)動(dòng)方程的正規(guī)形為

(11)

通過(guò)逆變換可得出攻角的具體表達(dá)式。首先，給出正規(guī)形式(11)的平凡解，即

(12)

δ=acos(Ωs+β0)+

(13)

其中

(14)

Ω=ω0+β′

(15)

其中：k=1,3,5,7,…；n=3,5,7,…且n≥k；k1=1,3,…；n1=1,3,…。

分析該表達(dá)式，可知：①攻角中的余弦部分系數(shù)只和靜力矩系數(shù)有關(guān)，而和阻尼系數(shù)無(wú)關(guān)；而正弦部分系數(shù)則只和阻尼系數(shù)、線性靜力矩系數(shù)M0有關(guān)，而和高階非線性靜力矩?zé)o關(guān)。②正弦部分的幅值遠(yuǎn)小于相應(yīng)余弦部分，且包含階數(shù)較低的諧波。

為全面確定攻角表達(dá)式，將平凡解式(12)代入正規(guī)形式(11)，展開(kāi)后將實(shí)部和虛部分開(kāi)，得

(16)

(17)

也適用于七次以上的非線性靜力矩。

由式(16)可知，攻角幅值線性部分的變化特性由阻尼系數(shù)H0、H2決定。當(dāng)H0=0、H2=0時(shí)，a′=0，即無(wú)阻尼時(shí)，彈軸若穩(wěn)定擺動(dòng)則幅值恒定為初始角運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的幅值。但要注意，該正規(guī)形是在原點(diǎn)附近推導(dǎo)的，當(dāng)角運(yùn)動(dòng)方程式(8)存在其他實(shí)平衡點(diǎn)時(shí)，這些平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性將影響彈軸維持穩(wěn)定等幅擺動(dòng)的初始攻角范圍。

對(duì)于彈道弧長(zhǎng)s積分，可得線性幅值a(s)隨s的變化規(guī)律為

(18)

式中：a0由初始條件δ(0)=δ0,δ′(0)=δ′0確定

(19)

值得注意的是，該式也可用于確定穩(wěn)定初始條件范圍，但由于該式為線性近似關(guān)系，實(shí)際使用時(shí)為保證正確性可做一定的縮放。此外，若將式(18)代入式(17)，可得彈軸擺動(dòng)頻率隨彈道弧長(zhǎng)s的變化規(guī)律Ω(s)。因此，攻角δ可完全表示為彈道弧長(zhǎng)s和初始條件δ0、δ′0的函數(shù)。

式(17)體現(xiàn)的是攻角頻率受幅值影響的非線性特性。頻率主要受靜力矩系數(shù)影響而和阻尼項(xiàng)無(wú)關(guān)，結(jié)合式(17)可分析不同靜力矩系數(shù)對(duì)彈軸擺動(dòng)頻率的影響，如Mi<0，彈軸擺動(dòng)頻率必然增大；而Mi>0，彈軸擺動(dòng)頻率必然減小。

2.2 穩(wěn)定性分析

2.2.1 無(wú)阻尼時(shí)角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析

由于系統(tǒng)的平衡點(diǎn)δ*滿足

(20)

因此，在高階非線性靜力矩系數(shù)影響下，角運(yùn)動(dòng)可能存在除原點(diǎn)以外的其他0～3對(duì)實(shí)平衡點(diǎn)。平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)的特征根λ滿足

λ2=M0+3M2δ*2+5M4δ*4+7M6δ*6

(21)

故原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的特征根滿足λ2=M0<0，據(jù)線性化原理，其為中心。

2.2.2 阻尼對(duì)角運(yùn)動(dòng)的影響

阻尼項(xiàng)的存在雖不改變角運(yùn)動(dòng)方程(8)的平衡點(diǎn)位置，但影響其穩(wěn)定性，此時(shí)特征根滿足

λ2+(H0+H2δ*2)λ-(M0+3M2δ*2+

5M4δ*4+7M6δ*6)=0

(22)

為了確定攻角運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，需綜合考慮系統(tǒng)平衡點(diǎn)式(20)和幅值方程(16)。原點(diǎn)的穩(wěn)定性將由線性靜力矩系數(shù)M0和線性阻尼系數(shù)H0共同確定，當(dāng)M0<0時(shí)，若H0<0則原點(diǎn)為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)；若H0>0則原點(diǎn)為穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

考慮幅值方程(16)，H0、H2不同符號(hào)組合決定了不同的幅值變化規(guī)律，如表1所示，可能存在穩(wěn)定或不穩(wěn)定極限環(huán)。

表1 幅值方程(16)平衡點(diǎn)分析

表1所示情形1條件下，原點(diǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡點(diǎn)，且可能存在極限環(huán)δLC=-4H0/H2，但并不能保證彈軸最終以幅值δLC進(jìn)行等幅擺動(dòng)。實(shí)際上，在某些氣動(dòng)系數(shù)組合下彈軸也可能完全失穩(wěn)。以三次非線性靜力矩為例進(jìn)行分析。

對(duì)于表1所示情形3，原點(diǎn)為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，若M2<0，則不存在其他平衡點(diǎn)，任意初始條件下，攻角都將失穩(wěn)；若M2>0，由特征根方程(22)知，平衡點(diǎn)均為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，因此攻角也都將發(fā)散。

綜上可見(jiàn)，高階靜力矩系數(shù)導(dǎo)致角運(yùn)動(dòng)方程的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)和穩(wěn)定性改變，考慮二次阻尼項(xiàng)時(shí)如果極限環(huán)存在，則角運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性將由兩者共同確定。因此，僅用傳統(tǒng)的平衡點(diǎn)分析法無(wú)法確定非線性角運(yùn)動(dòng)的具體運(yùn)動(dòng)規(guī)律和穩(wěn)定初始條件，而結(jié)合正規(guī)形分析給出的幅值方程(16)則給出了較為準(zhǔn)確的分析。

3 解析解的精度驗(yàn)證及相關(guān)分析

本節(jié)將通過(guò)數(shù)值積分驗(yàn)證正規(guī)形給出的角運(yùn)動(dòng)解析解及穩(wěn)定性分析的正確性，為便于對(duì)比，這里采用文獻(xiàn)[14]中給出的氣動(dòng)參數(shù)組合，如表2所示。

表2 數(shù)值積分驗(yàn)證用氣動(dòng)參數(shù)[14]

3.1 考慮無(wú)阻尼五次靜力矩的解析解

3.1.1 穩(wěn)定初始條件范圍的確定

無(wú)阻尼情況下，首先計(jì)算四種氣動(dòng)力條件下的攻角平衡點(diǎn)δ*及其對(duì)應(yīng)特征根，結(jié)果如表3所示。

表3 無(wú)阻尼五次靜力矩角運(yùn)動(dòng)方程穩(wěn)定性分析

由表3結(jié)果可知，情形Ⅰ和情形Ⅱ均為全局穩(wěn)定；情形Ⅲ和情形Ⅳ均存在原點(diǎn)之外的平衡點(diǎn)且為鞍點(diǎn)，由于原點(diǎn)為中心，因此相平面軌跡分別如圖1(a)、圖1(b)所示，取k=0.90、C(0.90δ*)與數(shù)值積分確定的最大初始條件范圍CM相比，正規(guī)形方法給出的初始條件關(guān)系式(19)，雖相對(duì)保守，但可較快捷地確定穩(wěn)定初始條件范圍。

(a) 情形Ⅲ(a) Case Ⅲ

3.1.2 正規(guī)形攻角解有效性驗(yàn)證

下面選取不同的初始攻角δ0(表3中的情形Ⅰ～Ⅳ分別對(duì)應(yīng)8°、 10°、 19°、 6°)，在初始攻角速度δ′0=0時(shí)，分別用正規(guī)形法給出的攻角解析解和數(shù)值積分方法計(jì)算攻角隨彈道弧長(zhǎng)的變化，如圖2所示。在一定的初始攻角范圍內(nèi)，正規(guī)形解析解和數(shù)值積分結(jié)果(下同)吻合得很好，這表明采用正規(guī)形法獲取五次靜力矩作用下攻角運(yùn)動(dòng)方程解析解的有效性。

(a) 情形Ⅰ(a) Case Ⅰ

圖3給出了四種氣動(dòng)組合下，彈箭穩(wěn)定擺動(dòng)周期T=2π/Ω與攻角線性幅值a之間的關(guān)系。其中，線型對(duì)應(yīng)正規(guī)形解析解，符號(hào)標(biāo)志對(duì)應(yīng)數(shù)值解。當(dāng)攻角不大時(shí)(如小于15°)，正規(guī)形解析解較好地預(yù)測(cè)了頻率與幅值之間的關(guān)系；當(dāng)攻角較大時(shí)，情形Ⅲ的結(jié)果依然吻合得較好，其余三種情況存在一定誤差，但總體上仍在可接受的范圍內(nèi)。這主要是由于a僅為攻角幅值的線性部分，當(dāng)攻角較大時(shí)，非線性部分的影響變強(qiáng)，故用a預(yù)測(cè)出的周期會(huì)與實(shí)際值產(chǎn)生一定的偏差。如圖4所示，由實(shí)際攻角初值δ0與a0之間的關(guān)系可見(jiàn)，對(duì)于情形Ⅲ，攻角大于20°時(shí)，δ0與a0相差較大，因此攻角小于20°時(shí)，直接用δ0代替a0得到的解析解與真實(shí)解吻合得較好。

圖3 周期和線性幅值關(guān)系Fig.3 Period variation with amplitude

圖4 正規(guī)形法得出初始攻角δ0與初始線性幅值a0之間的關(guān)系(情形Ⅲ)Fig.4 Relationship between δ0 and a0 by method of normal forms (CaseⅢ)

3.2 考慮有阻尼五次方靜力矩的解析解

3.2.1 極限環(huán)的形成及對(duì)穩(wěn)定性的影響

仍采用文獻(xiàn)[14]算例中的氣動(dòng)力系數(shù)：M0=-5×10-5,M2=-4.5×10-5,M4=-8×10-3，組合不同的阻尼系數(shù)得到表4所示的氣動(dòng)系數(shù)組合。其中，情形Ⅴ為無(wú)阻尼，情形Ⅴ.1為穩(wěn)定極限環(huán)，情形Ⅴ.2為不穩(wěn)定極限環(huán)。這些組合情形將用于驗(yàn)證正規(guī)形解析解在有阻尼條件下的有效性。

表4 有阻尼五次方靜力矩角運(yùn)動(dòng)方程平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

從表4和表3可以看出，情形Ⅴ和情形Ⅰ相似，僅有原點(diǎn)一個(gè)平衡點(diǎn)，因此彈軸均以初始條件確定的幅值做穩(wěn)定周期擺動(dòng)，如圖5和圖6所示。而在有阻尼的情況下，如情形Ⅴ.1，負(fù)阻尼使得原點(diǎn)變得不穩(wěn)定，于是當(dāng)初始攻角條件在原點(diǎn)附近時(shí)，攻角將會(huì)發(fā)散，但正阻尼H2的存在避免了攻角無(wú)限增大，最終穩(wěn)定在δLC=8.10°，該穩(wěn)定極限環(huán)也吸引了環(huán)外的軌道，使得初始條件在環(huán)外的軌道脫離自由振蕩而最終穩(wěn)定于極限環(huán)，如圖5(a)所示；圖5(b)～(c)給出了情形Ⅴ.1在不同初始條件下正規(guī)形解和數(shù)值積分結(jié)果，兩者吻合得很好。對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定極限環(huán)的情形Ⅴ.2則恰好相反，其相平面圖如圖6(a)所示，由于極限環(huán)排斥環(huán)內(nèi)、環(huán)外軌道，當(dāng)初始條件處于極限環(huán)內(nèi)時(shí)，攻角收斂到0，處于極限環(huán)外時(shí)則發(fā)散。

(a) 相平面軌跡(a) Phase trajectory

(a) 相平面軌跡(a) Phase trajectory

圖6(b)～(c)給出了情形Ⅴ.2在不同初始條件下正規(guī)形解和數(shù)值積分的結(jié)果，結(jié)果表明，兩者吻合得很好。綜上可見(jiàn)，正規(guī)形解很好地預(yù)測(cè)了攻角收斂和發(fā)散的趨勢(shì)，在圖示攻角范圍內(nèi)，線性幅值仍占主導(dǎo)作用。

3.2.2 極限環(huán)與平衡點(diǎn)的共同作用

圖7 情形Ⅲ.1不穩(wěn)定平衡點(diǎn)對(duì)極限環(huán)吸引域的影響Fig.7 Influence of unstable equilibrium point on the attraction region of limit cycle in case Ⅲ.1

對(duì)比無(wú)阻尼情形Ⅲ所對(duì)應(yīng)的圖1(a)與此處有阻尼情形的圖7可知，阻尼的存在使原點(diǎn)由穩(wěn)定中心變?yōu)椴环€(wěn)定焦點(diǎn)，從而造成了相軌跡的變化。

對(duì)比情形Ⅴ.1全局收斂于極限環(huán)，此處情形Ⅲ.1中其他不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的存在限制了周期軌道的吸引域。實(shí)際上，在彈箭角運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，全局穩(wěn)定的可能性不大，這是因?yàn)楫?dāng)攻角較大時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的非線性從而使氣動(dòng)系數(shù)產(chǎn)生較大變化，極限圓的幅值和平衡點(diǎn)的位置、穩(wěn)定性都將發(fā)生改變而形成新的攻角運(yùn)動(dòng)形態(tài)，原周期軌道有可能不復(fù)存在。

3.3 考慮無(wú)阻尼七次靜力矩的解析解

在情形Ⅰ的基礎(chǔ)上，本文合理假設(shè)七次非線性靜力矩系數(shù)取值M6=-0.01，形成如表5所示的氣動(dòng)參數(shù)組合，用于驗(yàn)證正規(guī)形法求取七次靜力矩角運(yùn)動(dòng)方程解析解的有效性。

表5 有阻尼七次靜力矩角運(yùn)動(dòng)方程穩(wěn)定性分析

如圖8和圖9所示，對(duì)于無(wú)阻尼情形Ⅵ和有阻尼情形Ⅵ.1，正規(guī)形解析解和數(shù)值積分結(jié)果吻合得很好，說(shuō)明正規(guī)形解對(duì)七次靜力矩角運(yùn)動(dòng)方程依然是有效的，并準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出表4情形Ⅴ.1作用下穩(wěn)定極限環(huán)的存在。由于攻角穩(wěn)定在8.10°，因此解析解可以在更大的攻角范圍內(nèi)給出較好的結(jié)果。

(a) δ0=5°

(a) δ0=5°

七次非線性靜力矩下的穩(wěn)定性分析和五次類似，只是其他可能存在的實(shí)平衡點(diǎn)從最多2對(duì)增加到3對(duì)。若這些平衡點(diǎn)與可能存在的極限環(huán)幅值接近，則在分析角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性時(shí)應(yīng)注意考慮系統(tǒng)平衡點(diǎn)和極限環(huán)的相互作用。若形成的極限環(huán)或平衡點(diǎn)都較大，超出了現(xiàn)實(shí)中可能存在的攻角范圍，則只需分析原點(diǎn)的穩(wěn)定性就足以確定攻角運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，此時(shí)，正規(guī)形方法給出的解析解將完全能夠滿足計(jì)算或分析的精度要求。

4 結(jié)論

本文將正規(guī)形法引入彈箭非線性運(yùn)動(dòng)理論研究領(lǐng)域，通過(guò)求解一個(gè)考慮阻尼項(xiàng)和七次靜力矩項(xiàng)的彈箭攻角運(yùn)動(dòng)方程，展示了正規(guī)形的構(gòu)造過(guò)程，得到了形式簡(jiǎn)潔且通用的攻角解析表達(dá)式，也適用于更高次的非線性靜力矩。與數(shù)值積分對(duì)比，驗(yàn)證了常用攻角范圍(如小于20°)內(nèi)，該解析解和數(shù)值仿真吻合得很好：無(wú)阻尼情況下，攻角較大(如大于20°)時(shí)相位誤差較大；而有阻尼情況下，由于收斂到零或極限環(huán)的存在，能在更大的攻角范圍內(nèi)吻合得很好。同時(shí)，本文利用正規(guī)形解析解，給出了彈軸幅值和擺動(dòng)頻率與彈道弧長(zhǎng)之間的關(guān)系，綜合考慮幅值方程與攻角解析解的初始條件，給出了較簡(jiǎn)潔的穩(wěn)定初始條件范圍計(jì)算方法；通過(guò)將幅值方程和角運(yùn)動(dòng)方程相結(jié)合，分析了阻尼項(xiàng)對(duì)角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響，評(píng)估了極限環(huán)的產(chǎn)生條件和穩(wěn)定范圍。上述研究結(jié)果表明，正規(guī)形方法為彈箭非線性角運(yùn)動(dòng)特性分析提供了一個(gè)有力的方法，后續(xù)將開(kāi)展更為深入的應(yīng)用研究。