堯祿華

解三角形題是歷年高考試題考查的重點(diǎn)，出現(xiàn)的位置常見(jiàn)于前兩道大題.這類題目并不屬于難題，但解題方法較為靈活，解題切入角度較多.部分考生在選擇解題方向時(shí)，經(jīng)常產(chǎn)生一定困惑.筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，感覺(jué)若能從三角形構(gòu)成的要素出發(fā)，即三邊三角的關(guān)系的視角，結(jié)合方程思想，能快速順利解決大部分考題.以下通過(guò)具體實(shí)例談?wù)剬ふ疫吔顷P(guān)系的幾個(gè)視角，以期幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解解三角形問(wèn)題的一般模式，從而快速尋找到突破口，提升解題能力，提高解題素養(yǎng).

視角1：補(bǔ)角視角

一個(gè)三角形中，若某邊出現(xiàn)中點(diǎn)，或者三等分點(diǎn)時(shí)，可以通過(guò)兩角互補(bǔ)，余弦值相加等于零，從而得到三邊的一個(gè)關(guān)系.或者利用兩角互補(bǔ)，正弦值相等，再結(jié)合正弦定理，得出邊角等量關(guān)系.

例1：（2017年全國(guó)III卷理科17題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sinA+3cosA=0 ，a=27，b=2.（1）求c;（2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積.

解：第（1）問(wèn)直接余弦定理即可得出答案c=4;第（2）問(wèn)，注意到點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，從補(bǔ)角入手，構(gòu)建等量關(guān)系，方法也不復(fù)雜，關(guān)鍵是此法操作性強(qiáng)，學(xué)生也更易掌握.

因?yàn)椤螦DB+∠ADC=π，sin∠ADB=sin∠ADC

又sin∠ADB=AB·sin∠BADBD，sin∠ADC=ACCD，

所以BD=CD，

所以S△ABD=S△ACD=3.

視角2：兩個(gè)三角形視角

一個(gè)三角形若已知兩角一邊，或者兩邊及這兩邊的夾角，或者三邊，結(jié)合正余弦定理、面積公式等，就可以求出這個(gè)三角形的其他要素，此時(shí)三角形是確定的，我們說(shuō)這個(gè)三角形是可解的.若是已知兩邊或一邊的對(duì)角，此時(shí)三角形不能確定，可能無(wú)解、一解或二解.實(shí)際解題中，給出的已知條件中，往往只給出其中的兩個(gè)條件，這時(shí)三角形并不能直接確定，需要通過(guò)借助旁邊與之相關(guān)的三角形再構(gòu)建一個(gè)邊角的等量關(guān)系，才能求解.我們把這種方法稱作解兩個(gè)三角形，下面舉例說(shuō)明.

例2：（2021佛山質(zhì)量檢測(cè)卷18題）如圖，梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，CD=5，∠ABC=2π3.

（1）若AC=27，求梯形ABCD面積;（2）若AC⊥BD，求tan∠ABD.

解：本題第（1）問(wèn)易得梯形高23，從而梯形ABCD面積為73;第（2）問(wèn)大部分學(xué)生感覺(jué)比較難，事實(shí)上，我們從兩個(gè)三角形出發(fā)，建立方程組，本題也是可以輕松拿下.注意到ΔABC與ΔDCB有一條公共邊BC，并且其他內(nèi)角都可以用∠ABD表示，不妨設(shè)∠ABD=θ，于是有ΔABC中，ABsin（θ-π6）=BCsin（π2-θ）……①;

ΔDCB中，DCsin（2π3-θ）=BCsinθ……②;

聯(lián)立①②化簡(jiǎn)得53tan2θ-7tanθ-23=0，

解得tanθ=233.

視角3：等面積視角

高中學(xué)了正弦定理后，則常見(jiàn)的三角形面積公式除了SΔ=12ah，還有SΔ=12absinC.對(duì)于有些題目從等面積角度出發(fā)，構(gòu)建邊與角的等量關(guān)系，往往解題更加方便，簡(jiǎn)潔.

例3：題目見(jiàn)上述例1第（2）問(wèn).

解：本題若從面積相等的角度考慮，步驟非常簡(jiǎn)潔，因?yàn)镾△ABDS△ACD=12AB·AD·sinπ612AC·AD=1，

又因?yàn)镾△ABC=12×4×2sin∠BAC=23，從而得出△ABD的面積為3.

本文從高考題出發(fā)，介紹了尋找邊角關(guān)系的三個(gè)視角，事實(shí)上，處理解三角形問(wèn)題，還有其他視角，其他文章也多有介紹.但無(wú)論哪種視角，都應(yīng)該從問(wèn)題本質(zhì)出發(fā).在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，要理解數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征.解題教學(xué)中，更應(yīng)該從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，對(duì)于解三角形，最本質(zhì)的特征就是從構(gòu)成三角形的基本要素三邊三角關(guān)系出發(fā)，結(jié)合正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理、平角余弦互補(bǔ)、面積公式等構(gòu)建等量關(guān)系，綜合方程思想，求出相關(guān)要素.