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        例談用換元法解題

        2022-04-01 11:26:58劉大鵬
        數(shù)理化解題研究 2022年7期
        關(guān)鍵詞:差量黑山縣先求

        劉大鵬

        (遼寧省黑山縣第一高級中學 121400)

        1 根式換元

        所以值域為(-∞,5].

        2 增量換元

        例2(自編題)設(shè)x≥0,y≥0,3x+y≤6,x+3y≤6,求u=2x+3y的最大值.

        解析設(shè)t=6-(3x+y),s=6-(x+3y),

        則t≥0,s≥0.

        將x,y視為主元,解方程組得

        評注用增量換元法解決線性規(guī)劃問題新穎、簡易,不需要繁瑣的作圖過程.

        3 均值換元

        所以f(x0)=64,g(x0)=8,f(x0)g(x0)=512.

        4 整體換元

        所以2x2-tx+3y2-ty+5=0.

        5 倒數(shù)換元

        x,y,z>0,xyz(x+y+z)≥1.

        6 分母換元

        證明令a+b=x,b+c=y,c+a=z,

        7 差量換元

        不妨設(shè)0

        令t=x2-x1>0,

        所以x2=x1et,x1(et-1)=t.

        令M(t)=e2t-2tet-1,

        則M′(t)=2e2t-2et-2tet=2et[et-(t+1)]≥0.

        所以M(t)>M(0)=0.

        所以K′(t)>0.

        8 和差換元

        解法1 令x=m+n,y=m-n,

        代入已知,得3m2+13n2=5.

        9 比值換元

        (4S-5)k2-5Sk+4S-5=0.

        當4S-5=0時,y=0或x=0;

        當4S-5≠0時,

        Δ=25S2-4(4S-5)2=(13S-10)(10-3S)≥0,

        比值換元還常用于解決極值點偏移問題.

        令M(t)=t3-t2+t-1-(t2+t)lnt,

        則M′(t)=3t2-2t+1-(2t+1)lnt-t-1

        =3t(t-1)-(2t+1)lnt

        ≥3t(t-1)-(2t+1)(t-1)

        =(t-1)2>0,

        M(t)>M(1)=0,

        所以K′(t)>0.

        10 三角換元法

        方法小結(jié)對條件式(x-a)2+(y-b)2=R2,可設(shè)x=a+Rcosθ,y=b+Rsinθ;

        文[5]解答有誤,本文加以修正.

        所以tanθn+6=tan(θn+5π)=tanθn.

        所以an+6=an,2009=6×334+5.

        評注本例可用不動點法先求數(shù)列通項公式,再求a2009.

        左=cos2α+cos2β+cos2γ

        =-sin2γ+sinγ+2

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