于術娟，劉竹琴，曹冬梅，劉艷峰，李雁鵬

（延安大學物理與電子信息學院，陜西延安716000）

0 引言

原子和分子的高次諧波產(chǎn)生［1-2］是實驗和理論研究的熱點。高次諧波在阿秒科學中有重要應用［3-4］，如對電子結構和動力學的阿秒探測等［5-6］。高次諧波產(chǎn)生過程可以用一個半經(jīng)典的三步模型來很好地理解［7］：1）通過隧穿使活性電子電離；2）電子在激光場中的傳播；3）釋放的電子通過發(fā)射高能光子復合到束縛態(tài)。

本文通過改進偶極矩的計算來探討這個問題。隨著有效電荷和核間距等分子參數(shù)變化，本文選擇最簡單的對稱雙原子分子和不對稱雙原子分子HeH2+作為靶分子。通過虛實演化方法，得到了對稱分子和不對稱分子HeH2+精確的基態(tài)波函數(shù)數(shù)值表達式。利用數(shù)值的基態(tài)波函數(shù)，計算了基態(tài)和連續(xù)態(tài)之間的躍遷偶極矩。對于對稱分子，比較計算得到的奇次偶極矩與諧波頻譜，對于不對稱分子HeH2+，比較計算得到的奇次偶極矩與奇次諧波頻譜及諧波極化。并都與純解析方法得到的躍遷矩陣元進行對比。

1 數(shù)值和解析方法

2 數(shù)值結果和討論

圖1 中，比較了核間距R=1.7 a.u.的對稱分子在θ=10（o實線）、θ=40（o虛線）和θ=70（o點虛線）的奇次諧波譜及對應的數(shù)值和解析偶極矩曲線。其中，圖1（a）的精確諧波譜是通過二維含時薛定諤方程得到，精確諧波譜展示一個顯著的最小值，這個最小值是由兩中心干涉效應引起的，在諧波譜最小值對應的諧波階上，通過式（9）得到的圖1（b）中改進偶極矩曲線也顯示了一個顯著的最小值，如垂直箭頭所示。相比之下，通過式（6）得到的圖1（c）中解析偶極矩的最小值位置與諧波譜上的最小值有顯著差異，且隨著取向角增大，差異更明顯。這些結果證明了數(shù)值方法計算的偶極矩是適用的。同時，對其他核間距進行了模擬，結果如圖2 和圖3所示，隨著核間距R的改變，改進的數(shù)值偶極矩曲線上顯著的最小值都與奇次諧波譜上最小值對應的諧波階符合得很好。然而，在某些情況下，純解析偶極矩曲線上最小值的位置與諧波譜上最小值對應的諧波階有顯著不同。

圖1 核間距R=1.7 a.u.的對稱分子 的諧波譜、數(shù)值和解析偶極子的比較Fig.1 The comparation of the harmonic spectra and corresponding numerical and analytical dipoles for symmetrical molecule with the internuclear distance R=1.7 a.u.

圖2 核間距R=2 a.u.的對稱分子 的諧波譜、數(shù)值和解析偶極子的比較Fig.2 The comparation of the harmonic spectra and corresponding numerical and analytical dipoles for symmetrical molecule with the internuclear distance R=2 a.u.

圖3 核間距R=2.3 a.u.的對稱分子 的諧波譜、數(shù)值和解析偶極子的比較Fig.3 The comparation of the harmonic spectra and corresponding numerical and analytical dipoles for symmetrical molecule with the internuclear distance R=2.3 a.u.

值得注意的是，圖3 中夾角為10o時，偶極矩未出現(xiàn)最小值，但是在諧波譜中標出了最小值，由于高次諧波產(chǎn)生過程可用半經(jīng)典三步模型來很好地理解［7］，在復合過程中，電子將降低其能量并釋放出高能光子ω。這個過程被稱為高次諧波產(chǎn)生，如果電子的返回制動能為Ep，則光子的能量為ω=Ep+Ip，由于電子的制動能大于零，那么光子的返回能量總是接近或大于Ip（閾上諧波），躍遷偶極矩符合半經(jīng)典三步模型的描述，夾角為10o時，偶極矩只計算了與閾上諧波對應的躍遷偶極矩數(shù)據(jù)，因此未出現(xiàn)最小值。然而，在實驗和數(shù)值模擬中，發(fā)射的光子能量ω可以小于Ip，稱之為閾下諧波，因此諧波譜既包括閾上諧波也包括閾下諧波，圖3諧波譜是通過數(shù)值模擬得到的，并且諧波譜上的最小值位置位于閾下諧波，所以在諧波譜中標出了最小值。

不對稱模型HeH2+分子的相關結果如圖4～6所示。已有研究結果表明，對于具有小核間距R的模型HeH2+分子，式（7）預言的奇次偶極矩展示出顯著的最小值。然而，這個最小值在奇次諧波譜中消失。相反，奇次諧波的極化曲線上的最大值對應的諧波階卻出現(xiàn)在奇次偶極矩最小值處。因此，諧波的極化可以作為探測偶極矩中最小值位置的工具。偶極矩上的最小值解碼了分子結構的信息，在不對稱分子軌道成像中有潛在的應用。然而，在某些情況下，偶極矩曲線中最小值的位置與最大極化的諧波階并不一致，應用諧波的極化測量作為判斷偶極矩最小值的工具對其進行研究。

比較了有效電荷比為Z1/Z2=1.5、核間距R=2 a.u.的不對稱模型HeH2+分子在不同角度的奇次諧波譜、諧波極化和偶極矩曲線，如圖4。其中，圖4（a）的精確諧波譜通過二維含時薛定諤方程得到，并且精確諧波譜曲線沒有顯著的最小值，由于諧波的極化可以作為探測偶極矩中最小值位置的工具，圖4（c）的諧波極化曲線出現(xiàn)了一個顯著的最大值。尤其是，最大極化對應的諧波階，在該諧波階上，通過式（10）得到的圖4（b）中改進的偶極矩曲線上顯示了一個顯著的最小值，如垂直箭頭所示。相比之下，通過式（7）得到的圖4（c）中解析偶極矩上的最小值位置與諧波極化最大值有顯著差異，且隨著取向角增大，差異更明顯。這些比較揭示了偶極矩曲線上最小值和極化最大值之間存在著一一對應的關系。由于式（7）中的基態(tài)波函數(shù)有一個粗略的近似，導致通過式（7）計算得到的偶極矩曲線上最小值的位置低估了10 到30 諧波階。

圖4 Z1/Z2=1.5 及核間距R=2 a.u.的不對稱分子He 諧波的極化、諧波譜和偶極子的比較Fig.4 The comparation of the ellipticity of harmonic，harmonic spectra and corresponding dipole for asymmetric molecule He with Z1/Z2=1.5 and internuclear distance R=2 a.u.

為了驗證本文結果，固定核間距R的值，改變有效電荷比Z1/Z2的值，對其他分子參數(shù)進行了模擬，如圖5所示。改進偶極矩中最小值的位置與最大極化出現(xiàn)的諧波階基本一致。相比之下，在某些情況下，純解析偶極矩中最小值的位置與最大極化的諧波階有顯著不同。對于圖5（b）中θ=40o的中間角情況，改進的數(shù)值偶極矩曲線上最小值位置與最大極化出現(xiàn)的諧波階不對應，在這種情況下，改進的數(shù)值偶極矩與諧波極化之間的對應關系不是很明顯。但是與純解析偶極矩相比，改進的數(shù)值偶極矩的最小值更接近極化最大值出現(xiàn)的諧波階。此外，固定Z1/Z2的值，改變核間距R的值，如圖6所示。在擴展模擬中也觀察到了偶極矩、諧波譜和諧波極化之間的密切關系。應該強調的是，盡管虛實演化法的使用改善了奇偶諧波極化和數(shù)值奇偶偶極矩之間的一致性，但是在偶極矩最小值的位置上仍有一些區(qū)別。原因是在計算偶極矩時，這些差異起源于具有有效動量pk的連續(xù)電子的平面波近似，庫侖效應沒有得到很好地描述。

圖5 Z1/Z2=2 及核間距R=2 a.u.的不對稱分子He 諧波的極化、諧波譜和偶極子的比較Fig.5 The comparation of the ellipticity of harmonic，harmonic spectra and corresponding dipole for asymmetric molecule He with Z1/Z2=2 and internuclear distance R=2 a.u.

圖6 Z1/Z2=2 及核間距R=1.7 a.u.的不對稱分子He 諧波的極化、諧波譜和偶極子的比較Fig.6 The comparation of the ellipticity of harmonic，harmonic spectra and corresponding dipole for asymmetric molecule He with Z1/Z2=2 and internuclear distance R=1.7 a.u..

對于不對稱分子，有兩種高次諧波產(chǎn)生路徑導致奇（偶）次諧波的釋放，可以用和來表示，通常，奇（偶）次諧波的主要貢獻來自路徑然而，當沿激光偏振方向的兩中心干涉效應導致奇（偶）次平行諧波在路徑上被強烈抑制時，另一條路徑開始對這些諧波的產(chǎn)生有顯著影響，導致兩條路徑相互干涉，這種干涉改變了平行諧波的相位，并將其與垂直諧波區(qū)分開來。奇（偶）次諧波展示出高的橢偏率，但本文模擬的不同參數(shù)下的HeH2+分子，偶次諧波通常整體較弱，并且偶次躍遷偶極矩不顯示最小值，只在低階諧波觀察到偶次諧波高的橢偏率，偶次諧波的極化峰現(xiàn)象不顯著，只有奇次諧波譜在特定的諧波階展示了顯著的極化最大。因此本文只關注奇次諧波。

3 結論

本文主要通過數(shù)值和解析相結合的方法研究了對稱和不對稱分子諧波輻射與其結構的內(nèi)在關系。應用虛實演化法得到了對稱分子和不對稱分子HeH2+的基態(tài)波函數(shù)的數(shù)值表達式。利用數(shù)值的基態(tài)波函數(shù)，計算了基態(tài)和連續(xù)態(tài)之間的躍遷偶極矩，進一步將躍遷偶極矩減去跟核間距成比例這項。模擬結果表明，對于對稱分子，用虛實演化方法計算得到的基態(tài)波函數(shù)顯著地改善了奇次偶極矩和奇次諧波譜的一致性，尤其在不同核間距下，改進的偶極矩最小值與高次諧波譜上的最小值符合地很好。對于不對稱分子HeH2+，由于在不對稱分子的高次諧波譜中通常不存在最小值，諧波的極化測量可以作為探測最小值位置的工具，得到的基態(tài)波函數(shù)顯著地改善了奇偶偶極矩最小值和奇偶諧波極化最大值之間的一致性。這些現(xiàn)象揭示了再結合過程在對稱分子和不對稱分子的諧波輻射中起著關鍵作用，研究結果對奇偶諧波輻射在不對稱分子超快探測中的作用具有一定意義。