李超,蔣健

(南華大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理與法學(xué)學(xué)院,湖南 衡陽 421001)

1 研究背景

經(jīng)濟(jì)人的時(shí)間偏好分析在跨期決策問題研究中具有的重要作用,將時(shí)間偏好引入委托代理問題中,為代理人設(shè)計(jì)一份最優(yōu)激勵(lì)合約具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。在處理時(shí)間偏好問題時(shí),一般的方法是假設(shè)經(jīng)濟(jì)人是時(shí)間偏好一致的。例如:薩繆爾森(Sa muelson)[1]提出的指數(shù)折現(xiàn)效用模型(DU-model)假設(shè)折現(xiàn)率是常數(shù),且不隨時(shí)間變化,這意味著目前人們所做的最優(yōu)選擇也將是未來任何時(shí)候的最優(yōu)選擇。而施特羅茨(Str otz)[2]對(duì)此觀點(diǎn)提出了質(zhì)疑,認(rèn)為人們?cè)诓煌臅r(shí)間點(diǎn)做決定時(shí)可能會(huì)不一致。而且不少學(xué)者通過時(shí)間偏好的實(shí)驗(yàn)證明:時(shí)間一致性的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)(一個(gè)恒定的貼現(xiàn)率)是不現(xiàn)實(shí)的[3-4]。進(jìn)一步,李彥昭等[5]發(fā)現(xiàn),當(dāng)人們進(jìn)行短期權(quán)衡時(shí),他們比進(jìn)行長(zhǎng)期權(quán)衡更沒有耐心,這表明所揭示的貼現(xiàn)率會(huì)隨著時(shí)間的推移而降低,從而產(chǎn)生雙曲貼現(xiàn)函數(shù)。

離散時(shí)間條件下,雙曲貼現(xiàn)函數(shù)得到了廣泛的應(yīng)用,其中卡拉凱(Karacay)等[6]將其引入多階段時(shí)間偏好不一致投資模型中,用于處理離散情況下的委托代理問題,得到與代理人偏好相關(guān)的最優(yōu)合約的主要結(jié)論。然而,只有少數(shù)研究考慮了連續(xù)時(shí)間下的不一致性問題,因?yàn)樵诜浅?shù)貼現(xiàn)率情況下尋找閉環(huán)解要復(fù)雜得多。事實(shí)上,標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)控制方法在這種情況下是不適用的,因?yàn)樗鼘?dǎo)致策略不一致[7-9]。

對(duì)于時(shí)間偏好不一致下的最優(yōu)控制問題,主要難點(diǎn)是在時(shí)間偏好不一致的情況下如何尋找最優(yōu)策略。一種常用的方法是將不同時(shí)間點(diǎn)的決策者選擇變?yōu)椴煌瑫r(shí)間點(diǎn)的“未來自我”的非合作博弈。這個(gè)博弈問題的時(shí)間一致性解是當(dāng)前自我與未來自我精煉納什均衡之間的子博弈精煉。例如:在離散時(shí)間框架下,萊布森(Laibson)[10]用這種方法討論了準(zhǔn)雙曲貼現(xiàn)下的消費(fèi)-儲(chǔ)蓄問題。在連續(xù)時(shí)間框架下,卡普(Kar p)[11]采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解了具有無限恒定折現(xiàn)率的子博弈精煉納什均衡。馬林·索拉諾(Marín-Solano)和納瓦斯(Navas)[12-13]也采用子博弈完美納什均衡方法研究了時(shí)間偏好不一致的投資消費(fèi)問題。而與Laibson[10]和Kar p[11]所研究的方法不同,埃克蘭德(Ekeland)等[14-16]采用馬爾可夫子博弈完美納什均衡方法處理投資和消費(fèi)問題,得到成熟決策者的時(shí)間一致性策略。

從以上研究來看,很多學(xué)者關(guān)于時(shí)間偏好不一致的最優(yōu)控制問題的研究得到了很多重要的結(jié)論與方法,但較少有學(xué)者關(guān)注連續(xù)時(shí)間框架下的時(shí)間偏好不一致委托代理問題,主要原因是連續(xù)時(shí)間委托代理問題的求解方法更為復(fù)雜。

本文中,我們基于茨維塔尼奇(Cvitani)等[17-18]所構(gòu)建的委托代理模型,在連續(xù)時(shí)間的動(dòng)態(tài)框架下,考慮多個(gè)代理人情形,引入委托人和代理人的時(shí)間偏好不一致因素,采用鞅方法和隨機(jī)最優(yōu)控制理論,求解具有時(shí)間不一致的最優(yōu)激勵(lì)合約問題。

2 模型設(shè)定

在道德風(fēng)險(xiǎn)下,委托人可以觀察到自己的項(xiàng)目收益過程Y,但卻不能觀測(cè)到代理人的努力 水平u和不確定性沖擊σ,即委托人無法區(qū)分勞動(dòng)和沖擊對(duì)風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目收益的影響。因此,若委托人希望代理人付出較高的努力(或目標(biāo)努力),那么委托人應(yīng)該設(shè)計(jì)合適激勵(lì)合約,否則代理人可能偏離目標(biāo)努力。

我們假設(shè)代理人沒有其他收入,他的消費(fèi)即他的薪酬收入C。此外,我們假設(shè)代理人的薪酬為兩個(gè)部分,一個(gè)是連續(xù)型支付ct,另一個(gè)是終止時(shí)刻支付CT。為了得到最優(yōu)合約的顯式解,我們假設(shè)委托人和代理人效用函數(shù)均為指數(shù)效用函數(shù),即U(x)＝-e-ρx。

2．1 產(chǎn)出過程

在初始時(shí)刻前,一個(gè)委托人擁有N≥1個(gè)不同的風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目(生產(chǎn)或投資項(xiàng)目),委托人需要雇傭N個(gè)代理人來管理這些風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目。對(duì)于每個(gè)代理人來說,如果被雇傭了,則需要提供一定的努力。為了更好地描述每個(gè)代理人的努力對(duì)項(xiàng)目收益的影響,我們先給出一些記號(hào)。

首先我們假設(shè)初始時(shí)刻為0 時(shí)刻,合約終止時(shí)刻為T＞0。給定概率空間 (Ω,F,P),(t∈[0,T],上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置)是定義在概率空間上的N維布朗運(yùn)動(dòng)。Bt的每個(gè)分量都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)與風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目有關(guān)的噪聲。記F＝(Ft)t∈[0,T]是Bt生成的濾波。接下來,我們來定義所謂的產(chǎn)出過程Yt(生產(chǎn)過程或投資過程),隨時(shí)間的推移產(chǎn)出過程演化如下:

當(dāng)代理人都與委托人簽訂合約后,每個(gè)代理人都管理一個(gè)生產(chǎn)(投資)項(xiàng)目,代理人的努力會(huì)影響其管理的項(xiàng)目的收益,ui(i＝1,2,…,N)表示代理人i為其管理的項(xiàng)目所提供的努力水平。記參數(shù)ai表示代理人i的生產(chǎn)率(或投資漂移率),生產(chǎn)率矩陣。代理人將從產(chǎn)出過程中得到連續(xù)性支付,委托人可以從每個(gè)投資項(xiàng)目過程中得到一個(gè)分紅。

通過代理人所提供努力來改變委托人原有產(chǎn)出過程的漂移項(xiàng),即,對(duì)于每個(gè)i＝1,2,…,N,所有的代理人將共同改變Bt的概率測(cè)度,從而將Yt的概率測(cè)度從P到Pui,我們定義新的概率測(cè)度Pui如下:

根據(jù)吉爾薩諾夫(Girsanov)定理,在測(cè)度Pui下,

是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)的向量。因此我們可以把式(1)重寫為:

在t時(shí)刻,由所有代理人產(chǎn)生的產(chǎn)出總和為Y1t+…+YNt。

2．2 代理人的效用函數(shù)

給定一份合約{ct,CT}＝,對(duì)于代理人i,若接受合約,則他選擇一個(gè)努力過程∈Ai(Ai表示努力策略集)來最大化自己的期望效用。記EPui表示在概率測(cè)度Pui下的期望算子。我們假設(shè)代理人的效用函數(shù)是指數(shù)效用函數(shù),即對(duì)于代理人i的效用函數(shù)如下:

2．3 委托人的效用函數(shù)

我們定義委托人的期望效用如下:

這里,我們采用的是線性可加的函數(shù)來表示委托人的期望效用,其中,為委托人的貼現(xiàn)函數(shù)。

(1)應(yīng)該使得委托人的期望效用函數(shù)最大化,即:

(3)合適的合約應(yīng)該對(duì)每個(gè)代理人都有激勵(lì)作用,以便實(shí)現(xiàn)代理人的努力目標(biāo)(激勵(lì)相容約束),即對(duì)于i＝1,2,…,N,

3 時(shí)間偏好不一致下的道德風(fēng)險(xiǎn)問題

3．1 代理人問題

根據(jù)模型中代理人之間完全獨(dú)立,且委托人的效用是線性可加的兩個(gè)假設(shè),我們可以將多代理模型分為N個(gè)單代理人模型,即我們可以將每個(gè)時(shí)間偏好不一致的代理人單個(gè)來考慮。

回顧委托人期望效用:

我們先考慮委托人對(duì)應(yīng)于一個(gè)代理人時(shí),如何在時(shí)間偏好不一致下求得最優(yōu)激勵(lì)合約,然后將每種情況下委托人的最優(yōu)效用相加,則可以得到委托人面對(duì)多個(gè)時(shí)間偏好不一致的代理人時(shí)的總的最優(yōu)效用。

這里,第一個(gè)等式是在測(cè)度Pui下取期望,而第二個(gè)等式是在測(cè)度P下取期望,則代理人將面對(duì)以下問題,給定,

使得:

顯然,這是一個(gè)時(shí)間偏好不一致的最優(yōu)控制問題,不能用傳統(tǒng)的最大值原理求解其均衡解的。因此,我們參考Ekeland等[14]處理時(shí)間偏好不一致問題的方法,首先給出時(shí)間偏好一致均衡策略的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義。

定義1映射Ei:[0,T]×R→R稱為時(shí)間偏好不一致代理人問題的一個(gè)均衡努力,如果對(duì)于t∈[0,T],

解決時(shí)間偏好不一致問題的基本想法為:時(shí)間偏好不一致的代理人隨著時(shí)間的推移有不同的貼現(xiàn)率,在連續(xù)時(shí)間區(qū)間內(nèi),一個(gè)代理人可以當(dāng)作很多個(gè)代理人的連續(xù)體。即,在每個(gè)時(shí)刻t,代理人與時(shí)刻τ(τ∈(t,t+ε])的自我(τ時(shí)刻的代理人)建立一個(gè)聯(lián)盟,且試圖在區(qū)間[t+ε,T]上達(dá)成一個(gè)均衡策略來最大化跨期期望效用。

根據(jù)委托人的理性假設(shè)以及庫恩-塔克(Kuhn-Tucker)條件,不難得到代理人的參與約束是緊的。在均衡努力下,我們定義委托人在t時(shí)刻估計(jì)代理人i的總預(yù)期效用Qit如下:

這里,代理人的承諾效用qit可以當(dāng)作從t時(shí)刻開始剩余合同中期望貼現(xiàn)效用,或qit可以認(rèn)為是委托人期望代理人t時(shí)刻后收到的總效用,即:

根據(jù)伊藤(Ito)公式,我們有如下倒向隨機(jī)微分方程(BSDE):

下面,我們將說明均衡努力選擇不依賴于代理人的貼現(xiàn)函數(shù)hi(t)。

命題1假設(shè)存在一個(gè)映射Ei:[0,T]×R→R關(guān)于Γi連續(xù)可微的,且使得每個(gè)t∈[0,T],方程(4)存在一個(gè)解qit,γit滿足:

證明:給定合約(cit,CiT),不失一般性,我們可以假設(shè)代理人終端時(shí)刻的效用為0。令{Γi,εt}t∈[0,T],表示與{ui,εt}t∈[0,T]相關(guān)的產(chǎn)出密度過程,則幾乎處處有:

過程{Yi,εt}t∈[0,T]和{Zi,εt}t∈[0,T]由如下隨機(jī)微分方程所定義:

分別表示產(chǎn)出密度過程{Γi,εt}t∈[0,T]的一階和二階變分。這里χDε(t)為符號(hào)函數(shù)。

根據(jù)雍(Yong)等[21]中的定理3．4．4,有如下展開式成立:

利用伴隨過程{qit,γit}t∈[0,T]進(jìn)行分部積分,則可以消掉上述方程中的Yi,εt和Zi,εt。

下面,我們引入一個(gè)漢密爾頓(Ha miltonian)函數(shù):

由于密度過程的波動(dòng)項(xiàng)中含有控制變量uit,因此我們需引入第二對(duì)伴隨過程{Pit,Yit}t∈[0,T]如下:

根據(jù)Yong等[21]中引理3．4．5和引理3．4．6,我們有:

因此,

這里,

因此,Ei(t,Γi)是一個(gè)均衡努力策略的充分條件為:。關(guān)于取一階導(dǎo)數(shù),則有,從而命題得證。

命題2令是一個(gè)均衡控制對(duì),則存在一對(duì)Ft適定過程滿足方程(4)且。進(jìn)一步,對(duì)于每個(gè)t∈[0,T],最優(yōu)努力策略幾乎處處滿足:

因此,如果努力策略集Ai是一個(gè)凸集,均衡努力策略Ei(t,Γi)必須滿足對(duì)于所有的uit∈Ai,都有≤0。

命題2給出代理人有均衡努力策略的必要條件。至此,我們已經(jīng)給出了時(shí)間偏好不一致的代理人存在均衡努力策略的充分必要條件。

3．2 委托人問題

現(xiàn)在,我們考慮委托人問題。首先,回顧委托人的期望效用如下:

定義2考慮一對(duì)控制策略。任意選擇一個(gè)控制策略,一個(gè)任意實(shí)數(shù)ε＞0,同時(shí)固定任意選擇的起始點(diǎn)。我們定義控制策略如下:

如果

進(jìn)一步,我們定義委托人面對(duì)代理人i時(shí)的均衡值函數(shù)為:

根據(jù)比約克(Bj?r k)和穆爾戈奇(Murgoci)[22]對(duì)具有均衡控制的廣義哈密頓-雅可比-貝爾曼(HJB)系統(tǒng)的定義和推導(dǎo)。同樣地,我們有下面的推導(dǎo)來證明均衡控制策略的存在。

對(duì)于一個(gè)C1,2(二階連續(xù)且可微)的函數(shù)f:[0,T]×R×R→R,定義一個(gè)算子Δf:

然后我們做出如下假設(shè):

假設(shè)1假設(shè)偏微分方程:

關(guān)于[0,T]×R×R→R有一C1,2的解,且g(yi,qi)是如下函數(shù)之一:或。

根據(jù)上述的定義與假設(shè),我們有如下關(guān)于均衡合約的充分條件:

命題3如果函數(shù)Vi滿足假設(shè)1,即△Vi(t,yi,qi)＝0,Vi(t,xi,qi)＝g(yi,qi),有一個(gè)二階連續(xù)可微的解。則定義2給出的控制策略是均衡控制策略,且函數(shù)Vi是相應(yīng)的值函數(shù)。

證明:我們將分兩步對(duì)命題3做出證明。第一步我們先給出一個(gè)引理,將證明值函數(shù)Vi滿足一個(gè)偏微分方程。

引理1函數(shù)Vi是如下方程的解:

引理證明:假設(shè)存在兩個(gè)函數(shù)υj,j＝1,2滿足如下偏微分方程:

根據(jù)假設(shè)1,上述兩個(gè)偏微分方程有C1,2的解。根據(jù)費(fèi)曼- 卡茨(Fey man- Kac)公式υ1(t,yi,qi)＝E[-e-rPDi(t)]和υ2＝E[-e-rP(YT-CT)],得到:

上式分別對(duì)t,yi,qi求偏微分則可得到方程(6)。

第二步,根據(jù)均衡策略(Ei,Fi)的定義以及函數(shù)Vi關(guān)于變量(yi,qi)的凹性,方程(5)可以寫為:

注意到,

根據(jù)勒貝格(Lebesgue)控制收斂定理,我們有

和

一方面,

另一方面,

我們應(yīng)用二維Ito公式,比較容易得到:

從而,我們就證明了命題3的結(jié)論。

3．3 均衡合約

這一小節(jié)中,根據(jù)前面小節(jié)分析得到的均衡合約和均衡努力的充分必要條件,我們來求得均衡合約的精確解。根據(jù)委托人的效用函數(shù)的形式以及,我們假設(shè)委托人的值函數(shù)有如下的形式:

因此,我們的問題是確定函數(shù)a(t)和b(t)的具體表達(dá)式。根據(jù)引理1,對(duì)于?t∈[0,T],委托人的HJB方程為:

固定值函數(shù)中的參數(shù),結(jié)合式(5),分別對(duì)Di,Fi,Ei求一階導(dǎo):

根據(jù)式(5),我們有:

解上述方程組,我們可以得到Ei關(guān)于b的表達(dá)式:

然后將式(11)代回到式(10)中就能得到函數(shù)l的隱式解。若σi＝0,則有,l＝b。

因此,均衡產(chǎn)出過程為:

隨機(jī)微分方程(12)的解為:

因此,

比較方程(13)等式兩邊,我們即可得到函數(shù)a(t)和b(t)的表達(dá)式:

至此,我們就得到了時(shí)間偏好不一致的委托人的值函數(shù)的顯示解。

命題4如果委托人是時(shí)間偏好一致,代理人是時(shí)間偏好不一致時(shí),則委托人的HJB方程如下:

且值函數(shù)中的函數(shù)(t)和(t)滿足如下的方程:

這里,

利用值函數(shù)關(guān)于(t,qi,yi)的偏導(dǎo)數(shù)以及式(7)～(9),經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算,我們就能得到命題4的結(jié)論。

通過對(duì)道德風(fēng)險(xiǎn)下的均衡合約的總結(jié),發(fā)現(xiàn)不同類型決策者(委托人和代理人)的均衡策略的形式存在較強(qiáng)的相似性,如表1所示。

表1 道德風(fēng)險(xiǎn)下不同類型委托人和代理人的均衡策略

4 結(jié)論

本文在完全信息和道德風(fēng)險(xiǎn)結(jié)構(gòu)下分析了具有時(shí)間不一致偏好的多代理人問題。通過對(duì)委托人的效用函數(shù)線性可加性以及代理人之間產(chǎn)出過程完全不相關(guān)的假設(shè),我們將多個(gè)代理人分為了委托人與代理人一對(duì)一問題。

我們首先分析了委托人和代理人為時(shí)間偏好一致這種特殊情況,利用鞅表示定理和隨機(jī)最優(yōu)控制方法可以得到最優(yōu)合約的解。委托人和代理人的貼現(xiàn)率不是一個(gè)常數(shù)導(dǎo)致了時(shí)間的不一致性,我們通過建立一個(gè)拓展的HJB方程和子博弈完美納什均衡策略來解決這種困境。在此基礎(chǔ)上,我們定義了一個(gè)均衡策略(均衡合約,均衡分紅,均衡努力)來得到時(shí)間偏好一致的最大值原則。為了求解均衡合約,我們建立了一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)的HJB 方程,利用猜解法求得均衡策略的顯式解。且我們證明了代理人的時(shí)間偏好不一致并不影響他所提供的努力。

本研究是在部分假設(shè)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,只考慮了完全信息和道德風(fēng)險(xiǎn)兩種情況。更現(xiàn)實(shí)的情況會(huì)導(dǎo)致更復(fù)雜的情況,例如,具有私人儲(chǔ)蓄的代理人、代理人的行為,相互影響,也就是說委托人不能將時(shí)間偏好不一致的代理人分開來求最優(yōu)效用時(shí)該如何設(shè)計(jì)最優(yōu)合約,或者代理人時(shí)間偏好的類型未知導(dǎo)致逆向選擇等問題,是我們需繼續(xù)研究的一個(gè)重要方向。