○王文英

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》將“會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”作為素養(yǎng)目標(biāo)之一，說明數(shù)學(xué)語言對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及素養(yǎng)發(fā)展的重要性。

反觀當(dāng)下，由于教師對(duì)數(shù)學(xué)語言的重要性認(rèn)識(shí)不充分，數(shù)學(xué)課堂重“練”輕“說”的情況還很普遍：學(xué)生會(huì)做題，卻不會(huì)有條理地表達(dá)思維過程；學(xué)生有發(fā)現(xiàn)，卻無法用恰當(dāng)?shù)姆绞矫枋霈F(xiàn)象；學(xué)生能明白，卻很難用簡(jiǎn)潔的語言解釋交流……種種現(xiàn)象，暴露了數(shù)學(xué)語言能力培養(yǎng)的缺失。關(guān)注數(shù)學(xué)語言，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)是數(shù)學(xué)教學(xué)亟待思考并落實(shí)的問題。

一、數(shù)學(xué)語言的內(nèi)涵和意義

語言是人類用來表達(dá)和交流的重要工具。數(shù)學(xué)語言是自然語言的一種特殊的模式，一般分為文字語言、符號(hào)語言和圖形語言。

文字語言是數(shù)學(xué)化的自然語言，是對(duì)自然語言進(jìn)行加工、改造之后形成的精確化的表達(dá)。如“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”“兩點(diǎn)之間線段最短”“三角形任意兩邊之和大于第三邊”……像這樣的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)事實(shí)和公理就是文字語言，與一般的文字語言相比，更加簡(jiǎn)潔、完整和準(zhǔn)確。

符號(hào)語言是用字母、數(shù)字、運(yùn)算符號(hào)、邏輯符號(hào)等表達(dá)數(shù)學(xué)的觀念，有自身特有的符號(hào)系統(tǒng)。數(shù)學(xué)家M·克萊因曾指出：“數(shù)學(xué)的另一個(gè)重要特征就是它的符號(hào)語言。如同音樂利用符號(hào)來代表和傳播聲音一樣，數(shù)學(xué)也用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和空間形式?！睌?shù)學(xué)中公式、規(guī)律的表示，推理過程的記錄，幾何證明的過程都離不開符號(hào)語言。符號(hào)語言具有簡(jiǎn)明扼要、高度概括的特征。

圖形語言是通過圖形的視覺形態(tài)來準(zhǔn)確地傳遞信息，它是一種視覺語言。數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計(jì)圖、解決問題時(shí)畫的線段圖或示意圖等，都是通過圖形傳遞信息，是圖形語言。圖形語言具有直觀、生動(dòng)的特征。

數(shù)學(xué)語言與其他語言形式相比，其意義主要表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

1.更便于概括。

眾所周知，一個(gè)公式可以解決一類問題，一個(gè)字母表達(dá)式可以表示一類現(xiàn)象，數(shù)學(xué)語言的高度概括性讓數(shù)學(xué)充滿了無限魅力。比如，（a+b）×c=ac+bc表達(dá)了運(yùn)算中的重要規(guī)律——乘法對(duì)加法的分配律。再如，所有正方形周長(zhǎng)的計(jì)算都可以用C=4a表示。高度的概括性說明數(shù)學(xué)語言具有一般性。

2.更利于交流。

數(shù)學(xué)語言不會(huì)因教師的教學(xué)風(fēng)格、地域差異而改變，全國各地教材版本不同、語言不同，但數(shù)學(xué)的表達(dá)完全相同，尤其是符號(hào)語言，甚至可以跨越國界無阻礙地進(jìn)行交流。如14:00，不同國籍的人們看到它都明白表示什么，便于交流。說明數(shù)學(xué)語言具有科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

3.更助于理解。

相對(duì)于其他語言形式來講，數(shù)學(xué)語言的簡(jiǎn)潔能夠幫助學(xué)生更好地理解教學(xué)內(nèi)容。如加法結(jié)合律，用文字表述為：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再與第一個(gè)數(shù)相加，它們的和不變。這樣表述顯然比較繁瑣，學(xué)生也難以理解。如果用（a+b）+c=a+（b+c）表示，學(xué)生不僅容易理解，而且能很快地記住。

數(shù)學(xué)語言不僅可以簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地描述數(shù)量關(guān)系和空間形式，構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型，有助于解決問題，還可以解釋和預(yù)測(cè)日常生活中的不確定現(xiàn)象。諾貝爾獎(jiǎng)得主、物理學(xué)家費(fèi)格曼也曾說過：“若是沒有數(shù)學(xué)語言，宇宙似乎是不可描述的?！?/p>

二、如何指導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)學(xué)的語言”表達(dá)

1.強(qiáng)化用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的意識(shí)。

學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)，首先需要強(qiáng)化意識(shí)。

第一，在生活與數(shù)學(xué)間搭建橋梁。一是引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)到的知識(shí)去描述現(xiàn)實(shí)情境。如教學(xué)“認(rèn)識(shí)乘法”，學(xué)生掌握了“幾個(gè)幾”的表述之后，讓他們聯(lián)系生活舉例，“每個(gè)人有（2 個(gè)5）根手指”“小火車?yán)锕灿校? 個(gè)6）人”……二是讓學(xué)生用生活現(xiàn)象去解釋數(shù)學(xué)知識(shí)。如教學(xué)“減法的性質(zhì)”，可以結(jié)合購物中付錢的情境，去解釋為何能“先加后減”——買了練習(xí)本、筆、橡皮之后，可以把買這些文具花的錢加起來，然后用付的錢去減。如果教師經(jīng)常這么做，就能有效增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的意識(shí)。

第二，在不同語言形式間相互轉(zhuǎn)換。文字語言、符號(hào)語言和圖形語言是可以相互轉(zhuǎn)換的。轉(zhuǎn)換不僅可以促進(jìn)語言表達(dá)能力的提高，還能夠幫助學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)和解決問題。如這道題：已知甲、乙兩個(gè)數(shù)的和是14.3，當(dāng)甲數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位時(shí)正好等于乙數(shù)，甲數(shù)是（ ），乙數(shù)是（ ）。如果將乙數(shù)看作a，上述文字轉(zhuǎn)換成10a+a=14.3，問 題就容易解決。再如：計(jì)算，如果轉(zhuǎn)換成用圖表示，就能直接轉(zhuǎn)化為，使計(jì)算變得簡(jiǎn)便。這樣“互譯”可以幫助學(xué)生形成用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的自覺性。

第三，在比較和抽象中嘗試歸納。當(dāng)學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中體會(huì)到數(shù)學(xué)語言的價(jià)值時(shí)，就能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中自覺使用。教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言歸納的過程。如探索“和的奇偶性”，教師首先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)奇數(shù)和偶數(shù)的特征加以歸納：所有的奇數(shù)除以2 余數(shù)為1，所有的偶數(shù)除以2 余數(shù)為0，因此，兩數(shù)相加判斷奇偶的問題，事實(shí)上就是看余數(shù)相加的結(jié)果；偶數(shù)+偶數(shù)，除以2 余數(shù)依然為0，結(jié)果是偶數(shù)；奇數(shù)+奇數(shù)，除以2 余數(shù)為0，結(jié)果是偶數(shù)；奇數(shù)+偶數(shù)，除以2 余數(shù)為1，因此結(jié)果為奇數(shù)。用這樣的辦法推廣到幾個(gè)數(shù)相加，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加，除以2 余數(shù)一定是1，結(jié)果是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加，除以2 余數(shù)是0，結(jié)果是偶數(shù)……最后歸納出：判斷和的奇偶性，只需要看加數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)。一個(gè)看似復(fù)雜的問題，只用一句簡(jiǎn)潔的話就能解決，這無疑能激勵(lì)學(xué)生去學(xué)習(xí)并運(yùn)用。

2.創(chuàng)造用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的機(jī)會(huì)。

首先，教師在課堂上應(yīng)留出足夠的時(shí)間，讓學(xué)生充分地表達(dá)。比如，新授學(xué)習(xí)時(shí)，說說自己的解決方案或猜想；經(jīng)歷探究之后，介紹如何探究，有什么發(fā)現(xiàn)；當(dāng)同伴發(fā)言之后，說說自己的意見。當(dāng)然，學(xué)生的表達(dá)可能毫無章法，教師需要有耐心，鼓勵(lì)學(xué)生講完。

其次，教師要善于捕捉學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的多元表征，豐富學(xué)生的表達(dá)方式。如探索“乘法分配律”，師生共同歸納出字母式子（a+b）c=ac+bc后，教師追問：“這樣的現(xiàn)象是巧合，還是有科學(xué)依據(jù)？你能用學(xué)到的知識(shí)去解釋這樣的現(xiàn)象嗎？”有的學(xué)生用舉例的方式，有的學(xué)生聯(lián)系乘法的意義解釋，還有的學(xué)生用面積去說明（如圖）。

通過比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)舉例不能窮盡，這樣的解釋經(jīng)不起推敲，而用乘法意義或是用面積的方式更有說服力。可見，多元表征的呈現(xiàn)，既豐富了學(xué)生的認(rèn)知，也促進(jìn)了學(xué)生對(duì)不同數(shù)學(xué)語言表達(dá)方式的認(rèn)識(shí)。

再次，教師可以組織相關(guān)的競(jìng)賽展示活動(dòng)，鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力。筆者曾工作過的一所學(xué)校，每年都會(huì)舉辦“說思路”比賽，教師準(zhǔn)備多個(gè)實(shí)際問題，學(xué)生當(dāng)場(chǎng)抽簽，并在講臺(tái)前當(dāng)“小老師”，進(jìn)行解題思路的講解。此項(xiàng)活動(dòng)學(xué)生喜歡，同時(shí)也極大地鍛煉了學(xué)生的口頭表達(dá)能力。另外，學(xué)期末可以舉行口頭表達(dá)能力測(cè)試，教師結(jié)合本冊(cè)教材內(nèi)容，將公式推導(dǎo)、算理解釋及解題思路講述作為口試題目，學(xué)生抽簽接受測(cè)試。這樣的舉措，為學(xué)生營(yíng)造了數(shù)學(xué)表達(dá)的濃厚氛圍。

3.有序?yàn)閿?shù)學(xué)語言進(jìn)階服務(wù)。

學(xué)生一般都會(huì)經(jīng)歷從“不會(huì)說”到“會(huì)說”、從說得不規(guī)范到規(guī)范表述、從說得不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娇茖W(xué)表達(dá)的過程。為此，教師要做好數(shù)學(xué)語言進(jìn)階的規(guī)劃。對(duì)于低年級(jí)的學(xué)生，強(qiáng)調(diào)用完整的話表達(dá)。在描述圖意的時(shí)候，可以說“我看到（發(fā)現(xiàn)）圖上有……”；在表達(dá)自己的想法時(shí)，可以說“我是這樣想的……”；在表達(dá)不同意見時(shí)，可以說“我不同意××的想法，我的想法是……”。對(duì)于中年級(jí)的學(xué)生，要強(qiáng)調(diào)表達(dá)時(shí)有理有據(jù)，可以用“因?yàn)椤浴钡木涫?。而?duì)高年級(jí)的學(xué)生，則要求表達(dá)時(shí)有條有理，教師可以提供表達(dá)的基本范式，也可以通過表揚(yáng)的方式或幫助完善學(xué)生回答的方式，讓學(xué)生的語言表達(dá)能力實(shí)現(xiàn)逐層進(jìn)階。

三、提高數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的三項(xiàng)措施

1.加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀。

數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)應(yīng)該跟語文、英語的學(xué)習(xí)一樣，需要多閱讀、多積累。然而當(dāng)下，數(shù)學(xué)閱讀并未引起足夠的重視。一是數(shù)學(xué)課外讀物不夠豐富；二是數(shù)學(xué)閱讀難度較大，因?yàn)閷W(xué)生沒有數(shù)學(xué)知識(shí)的儲(chǔ)備，不具備一定的思維能力，面對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)定理等，很難真正理解；三是缺乏相應(yīng)的閱讀指導(dǎo)。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課外讀物進(jìn)行長(zhǎng)期閱讀，有了相應(yīng)的積累，學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力將會(huì)大幅提高。

2.撰寫數(shù)學(xué)論文。

十年前，筆者就開始關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)小論文的撰寫，指導(dǎo)學(xué)生將生活中觀察到的數(shù)學(xué)現(xiàn)象加以描述并進(jìn)行分析，將獨(dú)特的解題思路寫下來并加以說明，將探究的過程逐一記錄并反思得失，指導(dǎo)學(xué)生發(fā)表了《我會(huì)辯證地看問題》《抓住不變量解決問題》《我和媽媽一起“做數(shù)學(xué)”》等系列小論文。這一舉措極大地激發(fā)了學(xué)生的興趣，在寫作、修改的過程中，數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力也得到了培養(yǎng)。

3.開展主題式學(xué)習(xí)。

應(yīng)用意識(shí)是數(shù)學(xué)語言的主要表現(xiàn)之一，而主題式學(xué)習(xí)是應(yīng)用意識(shí)得以充分體現(xiàn)的重要方式。在主題式學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要有意識(shí)地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法，去解釋、解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題，切身體會(huì)數(shù)學(xué)作為通用的科學(xué)語言在其他學(xué)科中的應(yīng)用。因此，這將是提高學(xué)生數(shù)學(xué)語言能力的另一重要途徑。