張璠, 田國富

2001 年， 美國哈佛大學(xué)的Hutchinson 教授首次[1]提出點陣結(jié)構(gòu)的概念， 是由桿件在空間上的結(jié)點與結(jié)點間的連接組成， 按一定規(guī)則重復(fù)排列，也常被視作微桁架結(jié)構(gòu)。

隨著3D 打印技術(shù)的成熟， 點陣結(jié)構(gòu)制備的復(fù)雜程度和成本大大降低。 同時， 由于點陣結(jié)構(gòu)具有輕質(zhì)、 減震、 吸能和傳熱滲透等功能特性[2]，在航空航天、 機械、 醫(yī)療、 汽車等行業(yè)應(yīng)用廣泛[3～5]。

本文研究點陣結(jié)構(gòu)中最為經(jīng)典的BCC 點陣結(jié)構(gòu)， 分析其力學(xué)性能， 并應(yīng)用在輕量化設(shè)計中，證明點陣結(jié)構(gòu)在輕量化設(shè)計中有明顯優(yōu)勢。

1 BCC 點陣結(jié)構(gòu)模型與參數(shù)

1.1 BCC 點陣單胞的結(jié)構(gòu)

BCC 點陣結(jié)構(gòu)模型中的每個單胞模型由8 根橫截面為圓形的桿件組成， 各桿件在中心點相交且長度相同， 每根桿件長度為l， 單胞底邊為正方形， 底邊長為l1， 單胞的側(cè)邊長為l2， 桿件的半徑為r， 直徑為d， 桿件與底面夾角為θ（ 見圖1、 圖2）。

圖1 BCC 點陣結(jié)構(gòu)單胞模型示意圖

圖2 BCC 點陣結(jié)構(gòu)

1.2 BCC 點陣結(jié)構(gòu)的相對密度

相對密度用來描述材料的輕質(zhì)化程度， 也是影響點陣結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的關(guān)鍵因素之一。 由于點陣結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特殊性， 以及整體結(jié)構(gòu)是由點陣單胞在空間上呈周期性排列分布組成的， 整體結(jié)構(gòu)的相對密度可由單胞的相對密度得到， 所以取單胞的相對密度進行分析。

根據(jù)點陣結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)可得到桿長為：

同時， 根據(jù)相對密度的定義可以得到BCC 點陣結(jié)構(gòu)單胞的相對密度為：

2 BCC 點陣結(jié)構(gòu)的等效彈性模量

彈性模量是工程材料重要的性能參數(shù)， 負(fù)責(zé)衡量物體抵抗變形能力， 也是研究材料力學(xué)性能的重要指標(biāo)。 因此， 將點陣結(jié)構(gòu)視為一種材料并研究其等效彈性模量對研究其力學(xué)性能十分重要。

為了研究靜態(tài)力學(xué)性能， 參考文獻[6] 引入以下假設(shè)：

（1） 對制備點陣結(jié)構(gòu)的材料要求連續(xù)性、 各向同一性及均勻性。

（2） 組成點陣結(jié)構(gòu)的桿件橫截面為圓形。

（3） 點陣結(jié)構(gòu)單胞中所有桿件都屬于細(xì)長桿。

（4） 當(dāng)有外部載荷作用時， 各桿件只發(fā)生微小變形。

當(dāng)點陣結(jié)構(gòu)在豎直方向上受到載荷時， 每個桿件承受的壓力為Pr， 四個桿件的均分壓力載荷為P（見圖3）， P=4Pr。

圖3 BCC 桿件受力示意圖

取其中一個單一胞體中的桿件進行靜力學(xué)分析， 由于點陣結(jié)構(gòu)具有對稱性， 故對點陣結(jié)構(gòu)受力模型進行簡化， Pr從頂端點移至B 點產(chǎn)生的彎矩為：

根據(jù)得到的結(jié)果可知， 點陣結(jié)構(gòu)的等效彈性模量與桿件的半徑成正比， 與桿件長度成反比， 即桿件半徑越大， 桿件長度越小， 點陣結(jié)構(gòu)的承載能力越強。

3 在輕量化設(shè)計中的應(yīng)用

筆者以典型連桿結(jié)構(gòu)為例， 運用點陣結(jié)構(gòu)對其進行輕量化設(shè)計。 根據(jù)連桿的工作特點， 對底部的螺栓孔做固定約束， 在頂部圓環(huán)內(nèi)中心設(shè)置遠(yuǎn)程力， X 和Z 方向各100 N。

按照以上載荷邊界條件分析（見圖4）。

圖4 連桿機構(gòu)有限元分析結(jié)果

通過應(yīng)力分布可以看出， 整體結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力集中在連桿與底部圓環(huán)的連接側(cè)， 由于載荷條件的特殊性， 可知整體結(jié)構(gòu)最危險的地方就是連桿與頂部圓環(huán)、 底部圓環(huán)的連接部分， 此外， 連桿中間部分的應(yīng)力非常小， 應(yīng)力集中在外側(cè)， 故從輕量化角度考慮， 填充部分選擇在連桿中間位置以實現(xiàn)輕量化設(shè)計（見圖5）。

圖5 連桿-點陣結(jié)構(gòu)填充效果圖

填充后的模型轉(zhuǎn)邊界條件與載荷條件保持不變， 再次分析得到填充后的結(jié)果（ 見圖6～7， 表1）。

表1 連桿結(jié)構(gòu)填充前后有限元分析結(jié)果

圖6 連桿-點陣結(jié)構(gòu)有限元分析結(jié)果

結(jié)果表明， 填充前后連桿的質(zhì)量及體積均發(fā)生較大改變， 填充后重量下降41.67%， 體積下降41.34%； 連桿整體結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布發(fā)生改變， 填充前， 連桿中間部分的應(yīng)力很小， 填充后整體結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力值變大， 出現(xiàn)在填充部位的點陣結(jié)構(gòu)上。 由應(yīng)力分布云圖可知， 填充改變了填充部分的應(yīng)力分布， 而其他部分應(yīng)力分布的改變非常小。 對比發(fā)現(xiàn)， 點陣結(jié)構(gòu)的填充不僅改善整體結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布， 且大大減輕了整體結(jié)構(gòu)的重量和體積， 證明點陣結(jié)構(gòu)在輕量化設(shè)計上的優(yōu)勢， 同樣表明點陣結(jié)構(gòu)對連桿結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計的有效性。 定義相對剛度[7]為最大位移量與模型體積的比值， 通過計算得出填充后模型的比剛度是填充前的2.66 倍，故應(yīng)用點陣結(jié)構(gòu)同時實現(xiàn)輕質(zhì)與提升連桿結(jié)構(gòu)剛度的功能。

圖7 連桿結(jié)構(gòu)填充前后位移分布云圖

4 結(jié) 語

隨著增材制造技術(shù)不斷發(fā)展， 點陣結(jié)構(gòu)的制備更加方便， 成本大大降低， 點陣結(jié)構(gòu)的應(yīng)用更加廣泛。 現(xiàn)在， 全球?qū)c陣結(jié)構(gòu)性能及應(yīng)用的發(fā)掘仍在繼續(xù)， 包括點陣結(jié)構(gòu)快速建模軟件、 點陣結(jié)構(gòu)力學(xué)性能分析方法的開發(fā)， 對點陣結(jié)構(gòu)特性的探索及點陣結(jié)構(gòu)快速填充技術(shù)的實現(xiàn)等。