韓佳秀，龍玉梅，鄭 麗，張 雪，孫迎春，鄭泰玉

(1.東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024；2.大連工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧 大連 116034)

光與物質(zhì)的相互作用是腔光力學(xué)的核心[1-3].是光機(jī)械系統(tǒng)中的各種量子相干效應(yīng)的根源.腔光力學(xué)的研究主要是對(duì)腔機(jī)械耦合的理解、操作與開發(fā)應(yīng)用，對(duì)探索兩量子理論基本原理和現(xiàn)代量子技術(shù)有著重要的意義.腔光力學(xué)系統(tǒng)因?yàn)槠淇梢杂^測(cè)研究宏觀物體的量子特性，最近引起了人們極大的研究興趣.特別是光力腔中只有少數(shù)光子的情況[4-11].因?yàn)樵谶@個(gè)區(qū)域，光力腔具有非線性特征，會(huì)增強(qiáng)許多有趣的現(xiàn)象，比如空腔阻塞和宏觀量子相干性等.但是少光子光力效應(yīng)在實(shí)驗(yàn)中很難觀察到，因?yàn)樾?yīng)遠(yuǎn)小于噪音的影響.許多科學(xué)家正在從事如何增強(qiáng)單光子情況下的光力耦合，比如力學(xué)諧振腔陣列[12]、約瑟夫森結(jié)非線性應(yīng)用[13-15]、量子放大等[16].

交叉克爾效應(yīng)目前在量子態(tài)的制備[17-18]、量子通信協(xié)議[19-22]、光子計(jì)數(shù)[23]中應(yīng)用非常普遍.最近，有人提出通過(guò)交叉克爾效應(yīng)耦合來(lái)實(shí)現(xiàn)少光子的腔力系統(tǒng)中的超強(qiáng)耦合.這里超強(qiáng)耦合的定義是單光子耦合強(qiáng)度能夠達(dá)到力學(xué)諧振子頻率的數(shù)量級(jí)程度[24].

本文提出利用交叉克爾效應(yīng)在光力系統(tǒng)來(lái)制備宏觀量子疊加態(tài)，并討論其相干性的特點(diǎn)等.

1 理論模型

考慮一個(gè)二能級(jí)原子-光力系統(tǒng)，其中包含一個(gè)二能級(jí)原子、光腔和機(jī)械振子、二能級(jí)原子放置在一個(gè)單模光腔中，其相互作用可以用JC模型來(lái)描述，光腔包含一個(gè)固定反射鏡和一個(gè)可移動(dòng)反射鏡，可移動(dòng)反射鏡與光場(chǎng)之間通過(guò)輻射-壓力相互作用(即光機(jī)耦合)耦合，本文考慮單模機(jī)械振蕩的單模腔場(chǎng)，兩模式間的相互作用為交叉克爾相互作用.光力耦合系數(shù)是近共振可調(diào)諧的.因此，該系統(tǒng)的哈密頓量為

(1)

其中：a是光場(chǎng)的湮滅算符，σi是原子算符，b是機(jī)械振子的湮滅算符，Ω是原子與腔的耦合系數(shù)，g是機(jī)械振子與光腔的單光子光力耦合系數(shù)，ω和ωM分別是光腔和機(jī)械振子率.設(shè)原子和腔共振，χ為交叉克爾相互作用強(qiáng)度.

若考慮原子與腔相互作用強(qiáng)耦合的情況η=Ω/ω≥0.1，在二階近似下，文獻(xiàn)[25]利用微擾論給出了低能級(jí)子空間中的有效哈密頓量，H的有效哈密頓量可寫為

Heff=ω+|+〉〈+|+ω-|-〉〈-|+ωMb?b+[ɡ(b+b?)-χb?b](α+|+〉〈+|+α-|-〉〈-|+ξ).

(2)

(3)

(4)

變換到相互作用表象

(5)

在-χb?b的旋轉(zhuǎn)框架下，上述哈密頓量可以進(jìn)一步寫為

(6)

其中δ=ωM-χ.由Wei-Norm方法可得演化算符

UI(t)=ef1|+〉〈+|bef2|-〉〈-|bef3|+〉〈+|b?ef4|-〉〈-|b?ef5|+〉〈+|ef6|-〉〈-|ef7bef8b?ef9，

(7)

其中：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

2 宏觀量子疊加態(tài)的制備

t=0時(shí)刻，設(shè)系統(tǒng)的初態(tài)|+0〉，|0〉為機(jī)械振子真空態(tài)，計(jì)算出t時(shí)刻，系統(tǒng)的演化態(tài)為

|Ψ(t)〉+I=UI(t)|+0〉=eP++iQ+|+〉|γ+〉.

(17)

其中：

γ+=f3+f8；

同理可得：t=0時(shí)刻，設(shè)系統(tǒng)的初態(tài)為|-0〉，|0〉為機(jī)械振子真空態(tài)，計(jì)算出t時(shí)刻，系統(tǒng)的演化態(tài)為

|Ψ(t)〉-I=eP-+iQ-|-〉|γ-〉.

(18)

其中|γ-〉為機(jī)械振子的相干態(tài)，且

γ-=f4+f8，

變換到薛定諤表象，系統(tǒng)的波函數(shù)為

|Ψ(t)〉±=eP±+iv±(t)|±〉|β±〉.

(19)

其中|β±〉為機(jī)械振子的相干態(tài)，且

(20)

(21)

(22)

其中：

(23)

(24)

(25)

|φ3ɡ〉m=[eP++iv+(t)|β+〉-eP-+iv-(t)|β-〉].

(26)

|φ1ɡ〉m，|φ0e〉m，|φ2e〉m，|φ3ɡ〉m均為宏觀疊加態(tài).但是|φ2e〉m，|φ3ɡ〉m的幾率極小，后面的分析中我們近似將其忽略.可以看出，若對(duì)腔和原子進(jìn)行測(cè)量，不管其結(jié)果是|1g〉還是|0e〉，機(jī)械振子的狀態(tài)都會(huì)處在相應(yīng)的疊加態(tài)|φ1ɡ〉m或|φ0e〉m.

3 疊加態(tài)的宏觀可區(qū)分性及其量子相干性的討論

最后，分析一下兩個(gè)相干態(tài)之間的量子相干性，以|φ0e〉m態(tài)為例，其wigner函數(shù)為

(27)

假設(shè)ωM=20ɡ，η=0.1，點(diǎn)劃線對(duì)應(yīng)δ/ɡ=0.03，實(shí)線對(duì)應(yīng)δ/ɡ=0.01，虛線對(duì)應(yīng)δ/ɡ=0.005.

ωM=20ɡ，η=0.1，δ=0.01ɡ，t=π/δ

4 總結(jié)

本文考慮單模光腔中放置一個(gè)二能級(jí)原子并且考慮強(qiáng)耦合情況，光腔與一個(gè)單模的機(jī)械振子通過(guò)交叉克爾效應(yīng)進(jìn)行耦合，發(fā)現(xiàn)交叉克爾效應(yīng)耦合強(qiáng)度接近于機(jī)械振子的振動(dòng)頻率時(shí)，機(jī)械振子的機(jī)械位移可以被放大，并實(shí)現(xiàn)可區(qū)分的宏觀量子疊加態(tài)的制備.