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        非線性SEIR流行病模型的平穩(wěn)分布

        2022-03-26 07:04:06宋宇恒仲崇陽韓七星
        關(guān)鍵詞:感者正數(shù)鄰域

        宋宇恒,仲崇陽,韓七星

        (長春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 長春 130032)

        (1)

        其中:S(t)表示在t時(shí)刻易感者的密度;E(t)表示在t時(shí)刻潛伏者的密度;I(t)表示在t時(shí)刻感染者的密度;R(t)表示在t時(shí)刻恢復(fù)者的密度;Bi(t)表示獨(dú)立的布朗運(yùn)動;σi為噪聲強(qiáng)度;A表示單位時(shí)間成為易感者的新生兒的數(shù)量;q(0≤q≤1)為已接種的新生兒比例;β為易感者與感染者之間的轉(zhuǎn)移系數(shù);d1為易感者的自然死亡率;d2為疾病潛伏后所誘發(fā)的總死亡率;d3為感染者的死亡率與因病死亡率之和;d4為恢復(fù)者的死亡率;1/α為潛伏狀態(tài)的平均時(shí)間;γ為感染者的恢復(fù)率.

        1 系統(tǒng)(1)的平穩(wěn)分布

        引理1[15]假設(shè)存在有界區(qū)域U?El,有以下條件成立:(ⅰ)存在鄰域U及其某鄰域,使得擴(kuò)散陣A(x)的最小特征值是非零的;(ⅱ)當(dāng)x∈ElU,由x出發(fā)的軌道到達(dá)集合U的平均時(shí)間τ是有限的.則Markov過程x(t)存在不變分布μ(·),且對所有的x∈El,使得對任意的Borel集B?El,

        對所有的x(t)∈El均成立,其中f(x)為關(guān)于測度μ的可積函數(shù).

        建立一個C2-函數(shù)Q(S,E,I,R),

        Q(S,E,I,R)=P(-logS-c1logE-c2logI)+(S+E+I+R)ρ+1-logS-logE-logR∶=
        PV1+V2+V3+V4+V5.

        P>0是充分大的正數(shù),ρ是充分小的正數(shù)且P,ρ滿足

        (2)

        (3)

        (4)

        (5)

        由于f是由(3)式定義的,可得

        (6)

        (7)

        (8)

        由(4)—(8)式可得

        考慮有界區(qū)域

        其中ε1,ε2>0是充分小的正數(shù),并滿足下列條件:

        (9)

        (10)

        (11)

        (12)

        (13)

        (14)

        (15)

        考慮下面8種情況:

        情況1 (S,E,I,R)∈D1.

        滿足條件(9),從而LV≤-1.

        情況2 (S,E,I,R)∈D2.則由條件(10)可得

        情況3 (S,E,I,R)∈D3.則

        (16)

        則由(11)與(16)式,有

        情況4 (S,E,I,R)∈D4.由條件(12)和(16)可以得到

        情況5 (S,E,I,R)∈D5.由(13)式得

        情況6 (S,E,I,R)∈D6.由(14)式得

        情況7 (S,E,I,R)∈D7.由(15)式得

        情況8 (S,E,I,R)∈D8.由(15)式得

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