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        3-李2-代數(shù)的交換擴張

        2022-03-26 07:03:50王春月張慶成
        東北師大學報(自然科學版) 2022年1期
        關鍵詞:定義

        王春月,張 爽,張慶成

        (1.吉林工程技術師范學院應用理學院,吉林 長春 130052;2.吉林建筑大學基礎科學部,吉林 長春 130118;3.東北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,吉林 長春 130024)

        1 預備知識

        近年來,高階代數(shù)結構備受關注.高階代數(shù)就是將已有數(shù)學概念“范疇化”,最簡單的一種高階結構是2-向量空間[1],即范疇化的向量空間.目前,研究最廣泛的一種高階代數(shù)是李2-代數(shù),它是在2004年由Baez等[1]提出的.李2-代數(shù)被視為李代數(shù)的范疇化.關于李2-代數(shù)已經(jīng)取得了很多重要的結果[2-5].

        3-李2-代數(shù)作為3-李代數(shù)的范疇化以及李2-代數(shù)的一種推廣是近年來被提出的一類高階代數(shù).文獻[6]詳細闡述了3-李2-代數(shù)的基本概念及性質,并且證明了3-李2-代數(shù)與2-項3-Lie∞代數(shù)一一對應,因此3-李2-代數(shù)可由2-項3-Lie∞代數(shù)給出.文獻[7]解決了3-李2-代數(shù)的構造問題,利用3-Leibniz代數(shù)和Rota-Baxter 3-李代數(shù)構造了3-李2-代數(shù).本文主要研究3-李2-代數(shù)的交換擴張問題.本文所有的線性空間和代數(shù)均為數(shù)域K上的.

        定義1[6]3-李2-代數(shù)L=(L1,L0,d,l3,l5)包括:

        (ⅱ) 完全反對稱三線性映射l3:Li×Lj×Lk→Li+l+k(0≤i+j+k≤1).

        (ⅲ) 多重線性映射l5:(L0∧L0)?(L0∧L0∧L0)→L1.

        (ⅳ) 對于任意的x,y,xi∈L0(i=1,…,5),a,b,c∈L1,下列等式成立:

        dl3(x,y,a)=l3(x,y,da);

        (1)

        l3(a,b,c)=0,l3(a,b,x)=0;

        (2)

        l3(da,b,x)=l3(a,db,x);

        (3)

        dl5(x1,x2,x3,x4,x5)=-l3(x1,x2,l3(x3,x4,x5))+l3(x3,l3(x1,x2,x4),x5)+
        l3(l3(x1,x2,x3),x4,x5)+l3(x3,x4,l3(x1,x2,x5));

        (4)

        l5(da,x2,x3,x4,x5)=-l3(a,x2,l3(x3,x4,x5))+l3(x3,l3(a,x2,x4),x5)+
        l3(l3(a,x2,x3),x4,x5)+l3(x3,x4,l3(a,x2,x5));

        (5)

        l5(x1,x2,da,x4,x5)=-l3(x1,x2,l3(a,x4,x5))+l3(a,l3(x1,x2,x4),x5)+
        l3(l3(x1,x2,a),x4,x5)+l3(a,x4,l3(x1,x2,x5));

        (6)

        l3(l5(x1,x2,x3,x4,x5),x6,x7)+l3(x5,l5(x1,x2,x3,x4,x6),x7)+
        l3(x1,x2,l5(x3,x4,x5,x6,x7))+l3(x5,x6,l5(x1,x2,x3,x4,x7))+
        l5(x1,x2,l3(x3,x4,x5),x6,x7)+l5(x1,x2,x5,l3(x3,x4,x6),x7)+
        l5(x1,x2,x5,x6,l3(x3,x4,x7))=l3(x3,x4,l5(x1,x2,x5,x6,x7))+
        l5(l3(x1,x2,x3),x4,x5,x6,x7)+l5(x3,l3(x1,x2,x4),x5,x6,x7)+
        l5(x3,x4,l3(x1,x2,x5),x6,x7)+l5(x3,x4,x5,l3(x1,x2,x6),x7)+
        l5(x1,x2,x3,x4,l3(x5,x6,x7))+l5(x3,x4,x5,x6,l3(x1,x2,x7)).

        (7)

        若d=0(l5=0),則稱3-李2-代數(shù)為簡單的(嚴格的).

        F0°d=d′°F1,

        (8)

        (9)

        (10)

        (11)

        則稱F=(F0,F(xiàn)1,F(xiàn)2):L→L′是3-李2-代數(shù)同態(tài).

        若F2=0,則稱F是嚴格同態(tài).

        定理1[8](End(V),δ,l2)是嚴格李2-代數(shù).

        δρ1(a,x)=ρ0(da,x),

        (12)

        dVρ2(x1,x2,x3,x4)=ρ0(x3,l3(x1,x2,x4))+ρ0(l3(x1,x2,x3),x4)+
        ρ0(x3,x4)ρ0(x1,x2)-ρ0(x1,x2)ρ0(x3,x4),

        (13)

        ρ2(da,x2,x3,x4)=ρ1(x3,l3(a,x2,x4))+ρ1(l3(a,x2,x3),x4)+
        ρ0(x3,x4)ρ1(a,x2)-ρ1(a,x2)ρ0(x3,x4),

        (14)

        ρ2(x1,x2,da,x3)=ρ1(a,l3(x1,x2,x3))+ρ1(l3(x1,x2,a),x3)+
        ρ1(a,x3)ρ0(x1,x2)-ρ0(x1,x2)ρ0(a,x3),

        (15)

        ρ1(l5(x1,x2,x3,x4,x5),x6)+ρ1(x5(l5(x1,x2,x3,x4,x6)))+
        ρ0(x1,x2)ρ2(x3,x4,x5,x6)+ρ0(x5,x6)ρ2(x1,x2,x3,x4)+
        ρ2(x1,x2,l3(x3,x4,x5),x6)+ρ2(x1,x2,x5,l3(x3,x4,x6))+
        ρ2(x1,x2,x5,x6)ρ0(x3,x4)=ρ0(x3,x4)ρ2(x1,x2,x5,x6)+
        ρ2(l3(x1,x2,x3),x4,x5,x6)+ρ2(x3,l3(x1,x2,x4),x5,x6)+
        ρ2(x3,x4,l3(x1,x2,x5),x6)+ρ2(x3,x5,l3(x1,x2,x6))+
        ρ2(x1,x2,x3,x4)ρ0(x5,x6)+ρ2(x3,x4,x5,x6)ρ0(x1,x2).

        (16)

        (17)

        (18)

        (19)

        (20)

        (21)

        (22)

        2 3-李2-代數(shù)的交換擴張

        Im(i)=Ker(p),

        定理2 在上述條件下,線性映射ρ=(ρ0,ρ1,ρ2)是L在L′上的表示.

        證明由定義1、定義2和定義3直接計算可得.

        證明只需證明定義4的(3)式,其他等式類似可得.任取xi∈L0(1≤i≤5),由定義1可得,

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