沈婷

分類討論思想，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種邏輯方法，同時又是一種重要的解題策略.分類討論思想具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，有利于提高學(xué)生對學(xué)習(xí)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性，縝密性，科學(xué)性，所以在數(shù)學(xué)解題中占有重要的位置。

筆者今年從事六年級數(shù)學(xué)教學(xué)，帶領(lǐng)學(xué)生一次一次體會到分類嚴(yán)謹(jǐn)之美。

案例一 《有理數(shù)的意義》

在學(xué)習(xí)《有理數(shù)的意義》第一節(jié)課，我們引進(jìn)了負(fù)數(shù)的概念，同學(xué)們體會到數(shù)的大家庭在擴(kuò)大，于是在本節(jié)課進(jìn)行中，提到了將我們學(xué)得有理數(shù)進(jìn)行歸類。這就是一個分類討論的問題，如何分？

1.按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類

2.按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類

同學(xué)們分類時開始有同學(xué)在按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類時會漏了0，按整數(shù)分?jǐn)?shù)分類時，也會漏了0.這其實就是“相稱性原則”——分類應(yīng)當(dāng)相稱，即劃分后子項外延的總和（并集）應(yīng)當(dāng)與母項的外延相等。當(dāng)然六年級的學(xué)生對這個肯定是會不明白的，筆者在教學(xué)時不會講到這么理論的東西，但是有意識的問：“同學(xué)們，我們有沒有遺漏了什么？是不是有理數(shù)的大家族的成員們都在里面了呢？”喚起大家對于分類完整的意識。

案例二《絕對值》

在絕對值的學(xué)習(xí)過程中，有這樣一個典型問題：

例：數(shù)軸上到原點距離等于3個單位長度的點是

這其實也是一個分類討論，學(xué)生開始會覺得只有3，忽略距離要考慮原點的左邊和右邊，這個問題在高年級也會逐步加深，出現(xiàn)在復(fù)雜函數(shù)，或者幾何計算中。所以在預(yù)備年級就應(yīng)該引起重視。

變式1：數(shù)軸上到3距離等于5個單位長度的點是

變式2：|a|=4，a=

變式3：|a-3|，a=

案例三《線段和角的畫法》

例1已知：線段如圖，在直線l上取A，B兩點，使AB=10厘米，若在l上再取一點C，使AC=2厘米，M，N分別是AB，AC中點.求MN的長度.

這兩題是六年級學(xué)生最不擅長的分類討論題目，原因有幾何是他們剛開始接觸，在圖形上怎么分類？為何分類？如何能準(zhǔn)確地分類？仔細(xì)看其實例題一就是我們案例二提到的距離問題，AB=10，AC=2，其實可以理解為C到A的距離是2，那么其實和絕對值是類似的。我們要考慮到A的左邊和右邊。知識的遷移，我們從數(shù)軸問題來到了線段的圖形中，同時還有方法二我們可以抓住AB，AC公共點是A，分為B，C在A的同側(cè)，和B，C在A的異側(cè)。也能達(dá)到很好的效果。在不給圖形中效果尤其明顯。

變式1：已知線段AC和BC在一條直線上，如果AC=5cm，BC=3cm，求線段AC和線段BC的中點間的距離。

變式2：已知∠AOC與∠BOC互余，∠AOC=60°，OM是∠AOB的平分線，則∠MOC=

案例四《長方體的再認(rèn)識》

在棱與棱位置關(guān)系的學(xué)習(xí)中，有學(xué)生向筆者反應(yīng)：“老師，為什么棱與棱位置關(guān)系分類時在同一平面內(nèi)分的是：平行，相交？不是平行，相交和垂直？”同學(xué)們已經(jīng)學(xué)會思考分類的方法，敢于提出自己的困惑。說明分類已經(jīng)進(jìn)到了他們數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，于是就順勢問大家：“你們有誰能說一說？”

同學(xué)一：“那不如分類成平行和垂直。”

同學(xué)二“這怎么成呢？這樣會遺漏那些不垂直的情況”

同學(xué)三：“相交和垂直有重復(fù)，垂直也會有交點，是不是也是相交呢？”

同學(xué)們陷入了思考，孔子曰：“不憤不啟，不悱不發(fā)。”

師：“那么大家現(xiàn)在覺得分類應(yīng)該注意什么？”

同學(xué)們七嘴八舌：“不能有重復(fù)的！也不能漏！”

效果達(dá)到了，這其實就是分類討論的“互斥性原則”，同學(xué)們能主動體會到是相當(dāng)好的。

需要分類的數(shù)學(xué)問題，在整個初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，都是一個重點和難點。分類討論的數(shù)學(xué)思想更是重要，在六年級數(shù)學(xué)中，如果我們就有很好的啟蒙，引導(dǎo)，那么對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定是非常有幫助的！