沈婷
分類討論思想,是一種重要的數(shù)學(xué)思想,也是一種邏輯方法,同時又是一種重要的解題策略.分類討論思想具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性,有利于提高學(xué)生對學(xué)習(xí)學(xué)的興趣,培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性,縝密性,科學(xué)性,所以在數(shù)學(xué)解題中占有重要的位置。
筆者今年從事六年級數(shù)學(xué)教學(xué),帶領(lǐng)學(xué)生一次一次體會到分類嚴(yán)謹(jǐn)之美。
案例一 《有理數(shù)的意義》
在學(xué)習(xí)《有理數(shù)的意義》第一節(jié)課,我們引進(jìn)了負(fù)數(shù)的概念,同學(xué)們體會到數(shù)的大家庭在擴(kuò)大,于是在本節(jié)課進(jìn)行中,提到了將我們學(xué)得有理數(shù)進(jìn)行歸類。這就是一個分類討論的問題,如何分?
1.按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類
2.按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類
同學(xué)們分類時開始有同學(xué)在按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類時會漏了0,按整數(shù)分?jǐn)?shù)分類時,也會漏了0.這其實就是“相稱性原則”——分類應(yīng)當(dāng)相稱,即劃分后子項外延的總和(并集)應(yīng)當(dāng)與母項的外延相等。當(dāng)然六年級的學(xué)生對這個肯定是會不明白的,筆者在教學(xué)時不會講到這么理論的東西,但是有意識的問:“同學(xué)們,我們有沒有遺漏了什么?是不是有理數(shù)的大家族的成員們都在里面了呢?”喚起大家對于分類完整的意識。
案例二《絕對值》
在絕對值的學(xué)習(xí)過程中,有這樣一個典型問題:
例:數(shù)軸上到原點距離等于3個單位長度的點是
這其實也是一個分類討論,學(xué)生開始會覺得只有3,忽略距離要考慮原點的左邊和右邊,這個問題在高年級也會逐步加深,出現(xiàn)在復(fù)雜函數(shù),或者幾何計算中。所以在預(yù)備年級就應(yīng)該引起重視。
變式1:數(shù)軸上到3距離等于5個單位長度的點是
變式2:|a|=4,a=
變式3:|a-3|,a=
案例三《線段和角的畫法》
例1已知:線段如圖,在直線l上取A,B兩點,使AB=10厘米,若在l上再取一點C,使AC=2厘米,M,N分別是AB,AC中點.求MN的長度.
這兩題是六年級學(xué)生最不擅長的分類討論題目,原因有幾何是他們剛開始接觸,在圖形上怎么分類?為何分類?如何能準(zhǔn)確地分類?仔細(xì)看其實例題一就是我們案例二提到的距離問題,AB=10,AC=2,其實可以理解為C到A的距離是2,那么其實和絕對值是類似的。我們要考慮到A的左邊和右邊。知識的遷移,我們從數(shù)軸問題來到了線段的圖形中,同時還有方法二我們可以抓住AB,AC公共點是A,分為B,C在A的同側(cè),和B,C在A的異側(cè)。也能達(dá)到很好的效果。在不給圖形中效果尤其明顯。
變式1:已知線段AC和BC在一條直線上,如果AC=5cm,BC=3cm,求線段AC和線段BC的中點間的距離。
變式2:已知∠AOC與∠BOC互余,∠AOC=60°,OM是∠AOB的平分線,則∠MOC=
案例四《長方體的再認(rèn)識》
在棱與棱位置關(guān)系的學(xué)習(xí)中,有學(xué)生向筆者反應(yīng):“老師,為什么棱與棱位置關(guān)系分類時在同一平面內(nèi)分的是:平行,相交?不是平行,相交和垂直?”同學(xué)們已經(jīng)學(xué)會思考分類的方法,敢于提出自己的困惑。說明分類已經(jīng)進(jìn)到了他們數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,于是就順勢問大家:“你們有誰能說一說?”
同學(xué)一:“那不如分類成平行和垂直。”
同學(xué)二“這怎么成呢?這樣會遺漏那些不垂直的情況”
同學(xué)三:“相交和垂直有重復(fù),垂直也會有交點,是不是也是相交呢?”
同學(xué)們陷入了思考,孔子曰:“不憤不啟,不悱不發(fā)。”
師:“那么大家現(xiàn)在覺得分類應(yīng)該注意什么?”
同學(xué)們七嘴八舌:“不能有重復(fù)的!也不能漏!”
效果達(dá)到了,這其實就是分類討論的“互斥性原則”,同學(xué)們能主動體會到是相當(dāng)好的。
需要分類的數(shù)學(xué)問題,在整個初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中,都是一個重點和難點。分類討論的數(shù)學(xué)思想更是重要,在六年級數(shù)學(xué)中,如果我們就有很好的啟蒙,引導(dǎo),那么對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定是非常有幫助的!