王麗艷

摘要：近年來(lái)，立體幾何中的空間角問(wèn)題已成為各大考試中的“常客”，而向量法是解決立體幾何問(wèn)題的常用方法。向量法避免引入繁雜的輔助線，是學(xué)生使用較多的方法。但學(xué)生在用向量法求解空間角問(wèn)題時(shí)，易混淆空間角與向量所成角的關(guān)系。本人帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行一輪復(fù)習(xí)，利用一節(jié)課時(shí)間，復(fù)習(xí)空間角知識(shí)，鞏固與加深學(xué)生對(duì)空間角與向量所成角關(guān)系的理解，并能解決相關(guān)題目。以下是本人授課中講解線面角與向量所成角關(guān)系的教學(xué)片段。

關(guān)鍵詞：向量法，空間角，線面角

一、知識(shí)講授

首先帶領(lǐng)學(xué)生回顧相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：兩向量數(shù)量積公式、兩向量夾角公式、平面法向量的概念、線面角θ的范圍（請(qǐng)學(xué)生回答，此處詳細(xì)的公式及概念省略）

α思考：設(shè)平面α的一個(gè)法向量為，則<，>與線面角θ的關(guān)系？（教師用幻燈片放映所用課件）。

教師問(wèn)：對(duì)于圖1，θ的余角與<，>的關(guān)系？

學(xué)生1答：相等，滿足關(guān)系式cos.

教師追問(wèn)：請(qǐng)你簡(jiǎn)單說(shuō)說(shuō)二者為什么滿足這個(gè)關(guān)系？

學(xué)生1答：因?yàn)橄蛄坑蟹较?，向量的夾角要求兩個(gè)向量平移到有共同的起點(diǎn)位置，當(dāng)兩個(gè)向量位置如圖1時(shí)，既滿足θ的余角與<，>相等。

教師問(wèn)：非常好，那么哪位同學(xué)可以說(shuō)說(shuō)圖2中，θ的余角與<，>的關(guān)系？

學(xué)生2答：互補(bǔ)，滿足關(guān)系式

教師問(wèn)：那么可以得出線面角與向量所成角之間的關(guān)系嗎？

學(xué)生3答：由誘導(dǎo)公式得到線面角與向量角的關(guān)系式：sinθ=

教師：這幾位同學(xué)掌握的都非常好，大家要理解并熟記這個(gè)公式，同學(xué)們?cè)谇蠼饩€面角時(shí)角問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意到方向向量與法向量夾角余弦值的絕對(duì)值與線面角的正弦值相等，如果要求線面角的余弦值需要用求解，大家務(wù)必牢記，在以后做題中不要混淆兩角關(guān)系，下面我們看一道求線面角的問(wèn)題。

二、相關(guān)例題

如圖，在四邊形ABCD中，BC=CD，BC⊥CD，AD⊥BD，以BD為折痕把△ABD折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PC⊥BC.若M為PB的中點(diǎn)，二面角P-BC-D等于60°，求直線PC與平面MCD所成角的正弦值.

教師分析：求解直線與平面所成的角步驟： 1.建系，將點(diǎn)、向量坐標(biāo)化;2.求出直線的方向向量、平面的法向量;3.求向量的夾角，根據(jù)sinθ=得出所求（該題的解答過(guò)程由學(xué)生書(shū)寫(xiě)，教師投影并進(jìn)行講評(píng)，強(qiáng)調(diào)重要步驟）。

解：∵PC⊥BC，CD⊥BC，∴∠PCD是二面角P-BC-D的平面角，即∠PCD=60°.在Rt△PCD中PD=CDtan60°=3CD.取BD中點(diǎn)O，連OM，OC.∵BC=CD，BC⊥CD，∴OC⊥BD.由題知OM為△PBD的中位線，∴OM∥PD.

又由PD⊥面BCD（易證），∴OM⊥面BCD，∴OM⊥BD，OM⊥OC，即OM，OC，BD兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OD，OM所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

設(shè)OB=1，則P（0，1，），C（1，0，0），D（0，1，0），M（0，0，），則，，.設(shè)平面MCD的一個(gè)法向量為，由得取，得

設(shè)線PC與面MCD所成角為θ，故線PC與面MCD所成角的正弦值為.

三、歸納總結(jié)

向量法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，是解決立體幾何問(wèn)題法的重要方法。學(xué)生在解決立體幾何問(wèn)題時(shí)，若題目可以建系，學(xué)生會(huì)首先考慮建立坐標(biāo)系來(lái)解題。通過(guò)本節(jié)課師生的討論與研究，鞏固學(xué)生對(duì)空間角與向量所成角的關(guān)系的認(rèn)識(shí)，降低思維高度，化繁為簡(jiǎn)，快速解題。

參考文獻(xiàn)：

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