北京市房山區(qū)教師進修學校(102401)劉雪明

1 試題再現(xiàn)

題目(2019年高考北京卷理科第17 題節(jié)選)改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校學生中隨機抽取了100 人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5 人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下:

支付方式支付金額(元)(0, 1000](1000, 2000]大于2000僅使用A 18 人9 人3 人僅使用B 10 人14 人1 人

(Ⅲ)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中,隨機抽查3 人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000 元.根據(jù)抽查結(jié)果,能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000 元的人數(shù)有變化?說明理由.

2 試題解答

分析本題答案開放,可以有不同的結(jié)論,只要理由合理就可以.

設(shè)事件H=“從樣本僅使用A的學生中,隨機抽查3 人,他們本月的支付金額都大于2000 元”.

答案一認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000 元的人數(shù)有變化.

因為P(H)很小,概率很小的事件在一次試驗中一般不容易發(fā)生,現(xiàn)在發(fā)生了,所以可以認為僅使用A的學生中本月支付金額大于2000 元的人數(shù)發(fā)生了變化.

答案二不能確定樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000 元的人數(shù)是否發(fā)生了變化.

雖然P(H)很小,概率很小的事件在一次試驗中一般不容易發(fā)生,但是也是有可能發(fā)生的,所以不能確定僅使用A的學生中本月支付金額大于2000 元的人數(shù)是否發(fā)生了變化.

3 試題解法再分析

我們重點分析一下答案一的思維過程:

首先提出假設(shè):假設(shè)僅使用A的學生中本月支付金額大于2000 元的人數(shù)沒有變化;然后在該假設(shè)下,計算隨機事件H的概率;最后進行推斷:推斷的依據(jù)是小概率原理(概率很小的事件在一次試驗中一般不容易發(fā)生).

實際上,這就是典型的假設(shè)檢驗的思維過程.假設(shè)檢驗,是用來判斷樣本與樣本、樣本與總體的差異是由抽樣誤差引起還是本質(zhì)差別造成的統(tǒng)計推斷方法.其基本原理是先對總體的特征做出某種假設(shè),然后通過抽樣研究的統(tǒng)計推理,對此假設(shè)應該被拒絕還是接受做出推斷.常用的假設(shè)檢驗方法有Z檢驗、t檢驗、卡方(獨立性)檢驗、F檢驗等[1].

獨立性檢驗是由被稱為數(shù)理統(tǒng)計學之父的卡爾·皮爾遜于1900年提出的.高中階段學習的獨立性檢驗是一種利用χ2的取值推斷某兩個分類變量是否獨立的統(tǒng)計方法,獨立性檢驗在生物統(tǒng)計、醫(yī)學統(tǒng)計、社會統(tǒng)計等領(lǐng)域有非常廣泛的應用.

4 對獨立性檢驗的再認識

獨立性檢驗開啟了人類認識世界的一種新的思維方式.學習獨立性檢驗不僅要學會用已知的樣本數(shù)據(jù)和確定的檢驗方法,會使用相關(guān)軟件,會正確解釋結(jié)果,更重要的是要理解獨立性檢驗中蘊涵的基本思想和方法.

4.1 關(guān)于變量

有些同學可能會有疑問:相關(guān)系數(shù)可以反映兩個變量之間的相關(guān)程度,為什么還要通過獨立性檢驗來檢驗兩個變量之間是否關(guān)聯(lián)呢? 這是因為相關(guān)分析和獨立性檢驗所研究的變量不一樣.相關(guān)分析所研究的對象是數(shù)值變量,比如人的身高、數(shù)學成績等,數(shù)值變量的取值是實數(shù),其大小和運算都有實際意義.而獨立性檢驗研究的對象是分類變量,分類變量是說明事物類別的一個名稱,其取值是分類數(shù)據(jù),比如“性別”是一個分類變量,其變量值為“男”或“女”,“學業(yè)成績”也是一個分類變量,其變量值為“優(yōu)秀”、“合格”、“不合格”.分類變量值也可以用實數(shù)表示,比如男生、女生可以用1,0表示,優(yōu)秀、合格、不合格可以用1,2,3 表示,這些實數(shù)一般只作為標記使用,并沒有通常的大小和運算意義.高中階段的獨立性檢驗中涉及的分類變量均有兩個變量值.

4.2 關(guān)于假設(shè)

有些同學可能還會有疑問:為什么要先提出假設(shè)? 零假設(shè)能設(shè)為兩個分類變量相關(guān)嗎? 實際上,假設(shè)在實際生活中無處不在,只是我們沒有意識到而已.當我們要對一件事物做出判斷的時候,其中就隱含著假設(shè).假設(shè)檢驗要求把這個隱含的假設(shè)顯性化,也是為了首先明確檢驗的目的.假設(shè)包含原假設(shè)(記作H0)和備擇假設(shè)(記作H1),原假設(shè)也叫零假設(shè),備擇假設(shè)也叫對立假設(shè),原假設(shè)和備擇假設(shè)是相互對立的.“是不是互為對立的兩個假設(shè)中哪一個作為零假設(shè)都可以呢? ”回答是否定的,假設(shè)的設(shè)置遵循著一些原則:

(1)保護原假設(shè).如果錯誤地拒絕假設(shè)A比錯誤地拒絕假設(shè)B帶來更嚴重的后果,則選A作為原假設(shè);比如在檢驗“某藥物是否有毒副作用”時,一般H0為“藥物有毒副作用”.

(2)原假設(shè)維持現(xiàn)狀.為解釋某些現(xiàn)象或效果的存在性,原假設(shè)常取為“無效果”“無改進”“無差別”等,拒絕原假設(shè)表示有較強的理由支持備擇假設(shè).比如在前面高考題中,H0為“人數(shù)沒有變化”.在獨立性檢驗中,一般H0為“兩個變量不相關(guān)”.可見,原假設(shè)和備擇假設(shè)的地位是不對等的.

在這些原則的基礎(chǔ)上,廣大師生在教學實踐中也總結(jié)出一些簡單易行的確定假設(shè)的方法:一般把有歷史數(shù)據(jù)或經(jīng)驗支持的陳述作為原假設(shè),把需要充分理由支持的陳述作為備擇假設(shè).

4.3 關(guān)于構(gòu)造χ2 統(tǒng)計量的基本思路

關(guān)于χ2的構(gòu)造過程,我們只要理解其合理性就可以了.χ2值表示觀察值與期望值之間的差異,χ2的構(gòu)造思路:

(1)設(shè)A代表觀察頻數(shù),E代表基于H0計算出來的期望頻數(shù),A與E之差稱為殘差;教材中通過實例解釋了觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)的含義[2];

(2)仿照方差的構(gòu)造過程,不能將所有殘差簡單相加,可以將殘差平方后相加;

(3)殘差大小是相對的,比如,相對于期望頻數(shù)10,殘差50 就很大,但相對于期望頻數(shù)1000,殘差50 就非常小.為了合理平衡這種影響,又將殘差平方除以期望頻數(shù)后再求和.于是得到χ2統(tǒng)計量,.

可以算出,在2×2 列聯(lián)表中,

4.4 關(guān)于臨界值

正態(tài)分布是一個連續(xù)型隨機變量的分布,我們知道,若X ～N(μ,σ2),則X取值不小于x的概率P(X≥x)為圖1中區(qū)域A的面積,x值越大,區(qū)域A的面積越小,也就是相應的概率值越小;概率值越小,x值越大.對于任何小概率值α,可以找到相應的實數(shù)xα,使得P(X≥xα)=α,稱xα為α的臨界值.

圖1

圖2

統(tǒng)計上已經(jīng)證明，在假定H0的條件下,當樣本量很大時,χ2近似服從一個已知的分布χ2(1),并可以得到幾個常用的小概率值和相應的臨界值.我們可以類比正態(tài)分布來理解獨立性檢驗中的臨界值.表1 給出了獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值

表1

由表1 可知,P(χ2≥ 3.841)≈0.05.可理解為在H0成立的情況下,χ2的觀測值大于等于3.841 的概率不會超過0.05.現(xiàn)在在一個具體問題中由抽樣數(shù)據(jù)算得χ2= 5.059＞3.841,這表明這一事件發(fā)生的概率不會超過0.05,這是一個小概率事件,但是發(fā)生了.因此,可以認為H0不成立,從而判斷X與Y有關(guān)系.我們做出這樣的判斷有可能犯錯誤,χ2的觀測值仍然可能大于3.841,但這一事件發(fā)生的概率不超過0.05,也就是說犯錯誤的概率不超過0.05.

4.5 獨立性檢驗的一般步驟

設(shè)兩個分類變量X,Y均有兩個變量值,獨立性檢驗的一般步驟:

(1)提出原假設(shè)H0:X與Y相互獨立;

(2)根據(jù)2×2 列聯(lián)表,計算χ2的值;

(3)確定臨界值xα,得出推斷結(jié)論:

若χ2＞xα,拒絕H0,認為“X與Y之間有關(guān)系”,此時犯錯的概率不超過α;

若χ2＜xα,就認為沒有充分的證據(jù)拒絕H0,于是接受H0,認為“X與Y相互獨立”.

4.6 反證法與獨立性檢驗

用反證法證明結(jié)論A正確的一般步驟是:首先否定A,即假設(shè)結(jié)論A錯誤,然后以結(jié)論A錯誤為前提條件進行推理,推理得出一個矛盾結(jié)論,從而說明假設(shè)不成立,即結(jié)論A正確.在全部邏輯推理正確的情況下,反證法不會犯錯.

獨立性檢驗的統(tǒng)計思想是:要研究“兩個分類變量有關(guān)系”的可靠程度,首先假設(shè)該結(jié)論不成立,即假設(shè)“H0:兩個分類變量沒有關(guān)系”成立[3],在該假設(shè)下,如果出現(xiàn)一個與H0相矛盾的小概率事件,則推斷H0不成立,且該推斷犯錯誤的概率不大于這個小概率值.從反證法與獨立性檢驗的比較中我們還可以再次感受到,原假設(shè)與備擇假設(shè)的不對等性.

身處大數(shù)據(jù)時代,統(tǒng)計無處不在,數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)已成為當代公民必備素養(yǎng)之一.我們學習常用統(tǒng)計方法,就要領(lǐng)悟其思想、從數(shù)據(jù)中找出規(guī)律、感悟推斷結(jié)果的合理性,并運用統(tǒng)計知識解決實際問題,進一步體會統(tǒng)計的作用與價值.