中山市桂山中學(xué)(528463)劉丹峰

廣東省五邑大學(xué)(529020)王喜建

解析幾何中動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題是高考中常考的類型題,以近五全國(guó)卷為例,在2017年、2018年以及2020年這三年的考查方向均為直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的正向或逆向考查.所不同的是題中的主干條件或所推結(jié)論或是斜率之和為定值關(guān)系,或是斜率之積為定值關(guān)系.文[1-2]均對(duì)這兩種情況作了推廣得出一般化的結(jié)論,然而均是對(duì)和與積關(guān)系的獨(dú)立分析,論證中均是通過(guò)斜率和或積的定值關(guān)系去構(gòu)建關(guān)于動(dòng)直線的斜率與截距之間的等量關(guān)系,從而得到直線過(guò)定點(diǎn).值得思考的是,若題中所給條件兼有和積關(guān)系,動(dòng)直線是否還有過(guò)定點(diǎn)的性質(zhì)呢? 本文通過(guò)對(duì)浙江省杭州市第二中學(xué)一道周末練習(xí)題的逐步深入分析,引入曲線系概念,旨在綜合分析這一模型,以期能將問(wèn)題模型更加一般化.

一、似曾相識(shí)燕歸來(lái)

二、柳暗花明又一村

不難發(fā)現(xiàn)以上兩種方法計(jì)算都非常繁雜,計(jì)算核心難點(diǎn)在于直線AP,AQ與動(dòng)圓相切所得到的關(guān)系式21(k1+k2)+ 20k1k2-20 = 0 相對(duì)于所列的高考題更為復(fù)雜.考慮到這一點(diǎn),筆者引入曲線系的概念和方法來(lái)處理,以圖減少計(jì)算量.基于本文模型,給出如下曲線系概念.如圖所示,設(shè)二次曲線方程為f(x,y)= 0,A為曲線上一點(diǎn),直線l為曲線在點(diǎn)A處的切線,過(guò)點(diǎn)A的兩條直線l1,l2與曲線交于P,Q,記直線PQ為l3,顯然,A,P,Q三點(diǎn)坐標(biāo)均能使得方程ll3+λl1l2= 0 成立(這里的l,li表示直線方程非零端),則過(guò)A,P,Q點(diǎn)的二次曲線系方程可表示為ll3+λl1l2=0.

三、舉網(wǎng)以綱,千目皆張

由文[1-2]可知,當(dāng)過(guò)曲線上一點(diǎn)的兩條直線,若兩斜率之和為定值,則PQ過(guò)定點(diǎn);若斜率之積為定值,則PQ亦過(guò)定點(diǎn).而在該題中,由直線AP,AQ與動(dòng)圓相切所得到的關(guān)系式21(k1+k2)+20k1k2-20 = 0 中既有斜率之和,又有斜率之積,和與積之間滿足一個(gè)線性關(guān)系式,此時(shí)亦有過(guò)定點(diǎn)的性質(zhì),這是該題的巧合還是性質(zhì)使然.為此筆者提出下述定理,并對(duì)其加以證明,以探求該題模型背后的意義.

定理不失一般性,假設(shè)曲線C:mx2+ny2= 1,點(diǎn)A(x0,y0)為曲線上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作斜率分別為k1,k2兩條直線交曲線于P,Q,若k1,k2滿足p(k1+k2)+qk1k2+r=0,則直線PQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

證明設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b,過(guò)點(diǎn)A(x0,y0)的切線為l,則l的方程為mx0x+ny0y-1 = 0 由題可知AP:y-y0=k1(x-x0),AQ:y-y0=k2(x-x0),則過(guò)點(diǎn)A,P,Q的曲線系方程可表示為l·lPQ+λlAP ·lAQ= 0,代入直線方程可得:(ny0y+mx0x-1)(y-kx-b)+λ(y-k1x+k1x0-y0)(y-k2x+k2x0-y0)=0,整理可得:

由此我們論證了,只要斜率的和與積之間滿足一個(gè)線性關(guān)系式,直線便會(huì)經(jīng)過(guò)定點(diǎn).所得推論中,由參數(shù)的不同取值,再次證明和與積分別為定值時(shí),直線所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)與題干參數(shù)之間的關(guān)系,并得到斜率的倒數(shù)之和為定值時(shí),亦能得到直線過(guò)定點(diǎn)的性質(zhì),可謂“舉網(wǎng)以綱,千目皆張”.

四、不畏浮云遮望眼

基于以上所得定理及其推論,下面給出相對(duì)應(yīng)問(wèn)題用以說(shuō)明其應(yīng)用