蔣垣騰，趙敏

（1.上海交通大學(xué)海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240；2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心,上海 200240）

0 引 言

隨著潛水器的工作環(huán)境向著更大的深度發(fā)展，其耐壓結(jié)構(gòu)起到極大的作用。潛水器的耐壓結(jié)構(gòu)用來(lái)裝載電子元件以及檢測(cè)設(shè)備，為確保這些設(shè)備不會(huì)因?yàn)槭艿胶Ｋ膲毫εc腐蝕而損壞，其耐壓結(jié)構(gòu)需要有足夠的強(qiáng)度和穩(wěn)定性。但是，其結(jié)構(gòu)的質(zhì)量增加同樣造成總體性能的下降，因此，潛水器的耐壓結(jié)構(gòu)優(yōu)化的目的是在保證結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與穩(wěn)定性的條件下使結(jié)構(gòu)的質(zhì)量最小，并且使其結(jié)構(gòu)的浮力與重力之比最大。

在以往的耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，常見的潛水器耐壓結(jié)構(gòu)有球形、橢球形、圓筒形等。采取的優(yōu)化手段往往是通過(guò)尺寸優(yōu)化或者簡(jiǎn)單的形狀優(yōu)化，尺寸優(yōu)化方法主要是以結(jié)構(gòu)的厚度、半徑以及加強(qiáng)筋等的尺寸大小為設(shè)計(jì)變量進(jìn)行的以輕量化等為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，形狀優(yōu)化則是在給定的形狀下，以與設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)物理參量無(wú)關(guān)的形狀參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量進(jìn)行的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，這類優(yōu)化方式得到的結(jié)構(gòu)在該形狀下可以滿足最優(yōu)化條件。因此，究竟如何選取潛水器耐壓結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)湫问?，即材料空間分布的最佳拓?fù)湫问?，有必要在常?guī)的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，采用一種新的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行深入探究。目前，越來(lái)越多的設(shè)計(jì)者將目光投向拓?fù)鋬?yōu)化，拓?fù)鋬?yōu)化方法是一種根據(jù)給定的負(fù)載情況、約束條件和性能指標(biāo)，在給定的區(qū)域內(nèi)對(duì)材料分布進(jìn)行優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法。在拓?fù)鋬?yōu)化方法下，以結(jié)構(gòu)的形狀作為設(shè)計(jì)變量，通過(guò)這種優(yōu)化手段，尋求得到一個(gè)滿足設(shè)計(jì)要求的最佳拓?fù)湫螤?。這一方法很大程度上將打破工程設(shè)計(jì)人員的思維定式，在工程實(shí)踐中具有一定的指導(dǎo)意義。

在水下耐壓結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，施加在結(jié)構(gòu)上的載荷與傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中的固定載荷不同，該類靜水壓力載荷隨著結(jié)構(gòu)輪廓的變化而發(fā)生改變，因此，此類載荷又被稱作設(shè)計(jì)相關(guān)載荷[1]。關(guān)于在設(shè)計(jì)相關(guān)載荷作用下的拓?fù)鋬?yōu)化問題，其關(guān)鍵問題在于受力邊界的搜索。

在以往的研究中，在受力邊界的搜索方法上，國(guó)內(nèi)外許多研究者提出了多種解決方案。2000 年，由Hammar和Olhoff[2]開創(chuàng)了設(shè)計(jì)相關(guān)壓力載荷拓?fù)鋬?yōu)化的先河，采用基于SIMP模型的變密度方法，在固體各向同性材料的灰度密度分布范圍內(nèi)利用貝塞爾樣條曲線代表加載邊界，樣條曲線的控制點(diǎn)是由節(jié)點(diǎn)相對(duì)密度插值得到的等值點(diǎn)；2007 年，Sigmund 和Clausen[3]提出了一種混合位移壓力有限元公式，其中使用重疊壓力變量將空白單元定義為靜水不可壓縮流體；2008年，Zhang 等[4]提出了新的邊界搜索算法，通過(guò)預(yù)設(shè)搜索的起點(diǎn)與終點(diǎn)，并規(guī)劃壓力的加載路線，直接將壓力加載于結(jié)構(gòu)單元邊界上，并避免了載荷的靈敏度分析；2009年，Zheng 等[5]引入了偽等勢(shì)函數(shù)來(lái)確定結(jié)構(gòu)的邊界，采用伴隨法進(jìn)行靈敏度分析；2012年，Lee 等[6]同樣直接連接單元邊界上的等密度值點(diǎn)作為壓力作用邊界，但是在設(shè)計(jì)模型中引入初始空白區(qū)域，壓力則是由空白區(qū)域加載到設(shè)計(jì)區(qū)域邊界上。從而，無(wú)需預(yù)先定義壓力作用曲線的端點(diǎn)，這種方法的優(yōu)點(diǎn)在內(nèi)部受壓和多壓力艙的優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到了充分的體現(xiàn)。并且，利用高斯積分的方法將等效節(jié)點(diǎn)力表達(dá)為節(jié)點(diǎn)密度值和密度閾值的表達(dá)式，并提出了載荷靈敏度計(jì)算的解析方法。

也有研究者針對(duì)水下耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)這一工程問題，給出了解決方法。2006 年，茍鵬等[7]提出一種以柔度最小化為目標(biāo)的優(yōu)化算法OC-LE 法，用以解決在設(shè)計(jì)相關(guān)載荷作用下的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，并給出外部邊界受靜水壓力作用下的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)算例，證明該方法在水下耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的可行性；2015年，王存福等[8]提出一種基于圖像分割技術(shù)的加載面搜索算法，利用Li 等[9]提出的DRLSE 模型實(shí)現(xiàn)圖像邊界探測(cè)，為了避免載荷靈敏度分析，運(yùn)用了新的優(yōu)化算法模型，即認(rèn)為加載面在連續(xù)的一定迭代步內(nèi)保持不變，并且，著重討論了水下耐壓結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)問題；2017年，戴揚(yáng)等[10]討論了采用不同復(fù)合材料的水下耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題，從復(fù)合材料的鋪層方式以及角度的變化等因素，探究了復(fù)合材料在水下耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的前景以及應(yīng)用意義。

上文提到的文獻(xiàn)都是采用密度法對(duì)在設(shè)計(jì)相關(guān)載荷下的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)或水下耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)進(jìn)行的研究，密度法雖然具有較強(qiáng)的拓?fù)浔憩F(xiàn)能力以及成熟的優(yōu)化算法，但是由于密度法得到的結(jié)構(gòu)邊界過(guò)于模糊，導(dǎo)致在計(jì)算過(guò)程中有大量時(shí)間花費(fèi)在邊界搜索上，因此降低了計(jì)算效率。但是，水平集方法在優(yōu)化過(guò)程中將時(shí)刻提供輪廓清晰的結(jié)構(gòu)邊界，這在處理表面發(fā)生多物理場(chǎng)相互作用的問題時(shí)具有優(yōu)勢(shì)，并縮短計(jì)算時(shí)間，大大提高計(jì)算效率，在工程實(shí)踐中，這將縮短設(shè)計(jì)周期，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

由于上述優(yōu)勢(shì)所在，水平集方法吸引了許多學(xué)者進(jìn)行研究。2005年，趙康等[11]提出一種利用水平集演化技術(shù)求解設(shè)計(jì)相關(guān)載荷作用下結(jié)構(gòu)拓?fù)鋯栴}的數(shù)值方法，由于結(jié)構(gòu)的邊界可以用零水平集加以描述，文中利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換，方便地處理施加在結(jié)構(gòu)上的設(shè)計(jì)相關(guān)載荷，避免了以往算法中繁復(fù)的邊界提取工作以及為了處理設(shè)計(jì)相關(guān)載荷所采取的特殊技巧；2015 年，Xia 等[12]分別利用兩個(gè)水平集函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的水平集，來(lái)確定結(jié)構(gòu)的壓力邊界以及進(jìn)行水平集方法的拓?fù)鋬?yōu)化，并且，為了保證優(yōu)化結(jié)構(gòu)的最優(yōu)性，文中采用了一種周長(zhǎng)正則化處理的方法；2019年，Picelli等[13]采用一種偽單元材料插值的固定有限網(wǎng)格，文中邊界搜索策略是采用由拉普拉斯方程控制的流體場(chǎng)來(lái)計(jì)算靜水壓力場(chǎng)加載線彈性結(jié)構(gòu)，并將固定網(wǎng)格的偽單元材料法與等效節(jié)點(diǎn)力相結(jié)合。

在以往的研究中，學(xué)者普遍采用傳統(tǒng)水平集方法應(yīng)用于設(shè)計(jì)相關(guān)載荷下的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中，但是，傳統(tǒng)水平集方法在處理該問題上存在一些缺陷：第一，傳統(tǒng)水平集方法的偏微分方程的解法主要采用有限差分法，有限差分方法不適應(yīng)不規(guī)則網(wǎng)格；第二，由于有限差分法對(duì)迭代步長(zhǎng)的限制，因而導(dǎo)致尋優(yōu)過(guò)程過(guò)長(zhǎng)；第三，在結(jié)構(gòu)的輪廓演化過(guò)程中，反復(fù)的重新初始化操作影響了計(jì)算效率。此外，在不考慮拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)的條件下，傳統(tǒng)水平集方法的優(yōu)化結(jié)果依賴于初始結(jié)構(gòu)輪廓選取，即傳統(tǒng)水平集方法無(wú)法自行為設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)開孔。為了提高計(jì)算效率，并提高計(jì)算結(jié)果的可信性，本文采用基于徑向基函數(shù)的參數(shù)化水平集方法。參數(shù)化水平集方法由Wang 等[14]在2006 年首次提出；2018 年，Wei 等[15]提供了以柔度最小為目標(biāo)的88行參數(shù)化水平集方法下的MATLAB 程序，該方法繼承了傳統(tǒng)水平集方法的優(yōu)點(diǎn)：如結(jié)構(gòu)輪廓光滑且清晰，無(wú)需重新劃分網(wǎng)格等，將該方法應(yīng)用在設(shè)計(jì)相關(guān)載荷作用下的問題可以解決傳統(tǒng)水平集方法中在該問題上諸如需要重新初始化等的一些弊端，最為重要的是這一方法將提高耐壓結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的效率。

本文將采用參數(shù)化水平集方法來(lái)解決水下耐壓結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，研究在體積約束下不同邊界約束條件下的以水下耐壓結(jié)構(gòu)柔度最小化為目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。由于水平集方法中結(jié)構(gòu)的邊界信息隱含在水平集函數(shù)中，因此，本文提出一種邊界掃描的方法，簡(jiǎn)便地提取壓力邊界信息，同時(shí)提出與參數(shù)化水平集方法匹配的拉格朗日算子更新策略，實(shí)現(xiàn)水下耐壓結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，并通過(guò)四個(gè)經(jīng)典水下耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的數(shù)值算例以證明本文方法的有效性。

1 參數(shù)化水平集方法

參數(shù)化水平集方法是指采用徑向基函數(shù)插值得到的水平集函數(shù)的方法，其中，徑向基函數(shù)的插值精度和插值過(guò)程中的計(jì)算效率與所選取的徑向基函數(shù)的種類有關(guān)，徑向基函數(shù)一般按種類分為全局徑向基函數(shù)(GSRBF)和緊支徑向基函數(shù)(CSRBF)[15]。

本文將采用的徑向基函數(shù)為MQ（Multiquadric）樣條曲線，這種徑向基函數(shù)屬于全局徑向基函數(shù)，這種曲線用公式表示為

式中，D為設(shè)計(jì)區(qū)域，xi為設(shè)計(jì)區(qū)域的一個(gè)樣本點(diǎn)，c為一個(gè)常數(shù)。一般而言，采用MQ 樣條曲線插值的精度由樣本點(diǎn)的選取個(gè)數(shù)與c的大小決定，本文中c取10-4。在水平集方法中，水平集函數(shù)正是一個(gè)相對(duì)結(jié)構(gòu)輪廓而言的大型高維度標(biāo)量場(chǎng)，隨時(shí)間推演而變化，并且沒有具體的函數(shù)表達(dá)形式。因此，將一組徑向基函數(shù)分布在對(duì)應(yīng)的n個(gè)樣本點(diǎn)處，對(duì)水平集函數(shù)進(jìn)行擬合，表示為

采用徑向基函數(shù)對(duì)水平集函數(shù)進(jìn)行插值擬合，將Hamilton-Jacobi 方程從偏微分方程簡(jiǎn)化成為一個(gè)常微分方程，將對(duì)計(jì)算產(chǎn)生積極影響，主要表現(xiàn)為以下幾點(diǎn)：

首先，采用徑向基函數(shù)插值后得到的水平集函數(shù)保證了其光滑性和連續(xù)性要求，并在其零水平集的附近能保持符號(hào)距離函數(shù)的特性，因此這種方法不需要在優(yōu)化過(guò)程中反復(fù)地重新初始化，大幅減輕計(jì)算壓力并提高計(jì)算效率。

其次，步長(zhǎng)不再受限于CFL 條件，步長(zhǎng)的選取相較于傳統(tǒng)水平集方法更大，并得到合理的結(jié)構(gòu)。這將會(huì)加快目標(biāo)函數(shù)向最優(yōu)解收斂的時(shí)間，并減少得到最優(yōu)解所需的迭代步數(shù)。同樣，這一因素將會(huì)大幅提高計(jì)算效率。

此外，在傳統(tǒng)水平集方法中，初始設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的選取對(duì)最終設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的影響較大，而在基于徑向基函數(shù)插值的參數(shù)化水平集方法中，優(yōu)化結(jié)構(gòu)對(duì)初始設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的選取依賴較小，即在這種方法下，結(jié)構(gòu)在優(yōu)化過(guò)程中可以自行生成孔洞，這使得優(yōu)化結(jié)果更具有普遍性意義。

2 問題描述

首先，本文所討論的問題為考慮靜水壓力載荷下的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，為了簡(jiǎn)化所涉及的優(yōu)化問題，本文在二維空間內(nèi)討論，并且討論的問題均認(rèn)為處于平面應(yīng)力狀態(tài)下。在設(shè)計(jì)相關(guān)載荷作用下的優(yōu)化問題中，結(jié)構(gòu)輪廓邊界可以劃分為三部分：

式中：ΓN為Neumann 邊界，即壓力所施加的邊界；ΓD為Dirichlet 邊界，即固定位移邊界；Γ0為自由邊界，在Γ0邊界上位移不固定且沒有施加外力。在優(yōu)化過(guò)程中，這三種邊界將隨著結(jié)構(gòu)輪廓的演變而變化。

結(jié)構(gòu)的力平衡條件以及邊界約束條件如式（7）所示：

式中，u為結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)，f為結(jié)構(gòu)內(nèi)部的體積力，為了將問題簡(jiǎn)化，本文將不考慮體積力，即令f=0，p0（p0≤0）為Neumann邊界上的壓力。

本文目標(biāo)函數(shù)為結(jié)構(gòu)的柔度，結(jié)構(gòu)的柔度等于外力在結(jié)構(gòu)作用點(diǎn)上作的功，在設(shè)計(jì)相關(guān)載荷作用下，目標(biāo)函數(shù)可以寫作

以上是本文優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)變量為結(jié)構(gòu)的形狀。由于優(yōu)化算法要基于梯度的下降方向，因此，本文引入形狀導(dǎo)數(shù)的概念，關(guān)于形狀導(dǎo)數(shù)的具體定義與定理，已有多篇文獻(xiàn)[12,16]給出，本文將不再贅述。

3 靈敏度分析

本文將采用形狀導(dǎo)數(shù)的理論得到Hamilton-Jacobi方程的速度場(chǎng)，對(duì)于優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)，存在兩種約束：結(jié)構(gòu)平衡方程以及邊界條件和設(shè)計(jì)約束，即體積約束。所以，下面將逐一求解在兩種約束下的速度場(chǎng)，即先求解在結(jié)構(gòu)平衡方程以及邊界條件約束下的速度場(chǎng)，再在此基礎(chǔ)上，求解在體積約束下的速度場(chǎng)。

根據(jù)平衡方程，并通過(guò)高斯散度定理，可以得到平衡方程的弱形式為

4 體積約束處理

體積約束通過(guò)確定上文所提到的拉格朗日算子來(lái)實(shí)現(xiàn)，此前，有多篇論文討論過(guò)拉格朗日乘子的選取問題，例如：采用固定拉格朗日乘子[16]，通過(guò)每一迭代步中得到的速度場(chǎng)求得拉格朗日乘子[11]以及采用二分法[14]求解等，這些方法得到的拉格朗日算子應(yīng)用于基于徑向基函數(shù)插值的水平集方法表現(xiàn)相對(duì)保守，收斂過(guò)程較長(zhǎng)；針對(duì)載荷數(shù)量較大時(shí)，如設(shè)計(jì)相關(guān)載荷條件下，不能保證使目標(biāo)函數(shù)在收斂過(guò)程中過(guò)渡平緩。因此，本文采用以下的拉格朗日算子的更新方法：

5 邊界搜索方法以及等效靜水壓力載荷

為了處理設(shè)計(jì)相關(guān)載荷，需要確定載荷作用的邊界，本文的搜索策略為：沿外載荷作用方向逐行或逐列進(jìn)行定向掃描，在掃描方向上依次對(duì)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)在與掃描方向垂直的方向進(jìn)行側(cè)向掃描，直到節(jié)點(diǎn)的?≥0 后停止掃描，并標(biāo)記為主標(biāo)記點(diǎn)。之后再把與其鄰近的單元節(jié)點(diǎn)標(biāo)記為副標(biāo)記點(diǎn)。只有在主副標(biāo)記點(diǎn)上，靜水壓力系數(shù)p0(x)不為0。壓力邊界搜索實(shí)現(xiàn)的基本思想如圖1所示。

圖1 靜水壓力邊界搜索的實(shí)現(xiàn)方式Fig.1 Realization of hydrostatic pressure boundary search

本文提出的壓力邊界搜索方法可以有效解決有結(jié)構(gòu)遮蔽區(qū)域的問題，得到的壓力邊界將更加準(zhǔn)確。

為了準(zhǔn)確且方便地將設(shè)計(jì)相關(guān)載荷施加在結(jié)構(gòu)的壓力邊界上，將討論設(shè)計(jì)相關(guān)載荷的計(jì)算方法，通過(guò)有限元分析中等效節(jié)點(diǎn)力的方式以及線積分轉(zhuǎn)化為體積分的公式，可以得到

6 數(shù)值算例

本文的算法總結(jié)如下：

（1）初始化水平集函數(shù)，定義結(jié)構(gòu)輪廓以及結(jié)構(gòu)內(nèi)外區(qū)域；

（2）輸入一組徑向基函數(shù)并對(duì)水平集函數(shù)進(jìn)行擬合，從而得到這組徑向基函數(shù)的插值系數(shù)；

（3）輸入材料參數(shù)以及結(jié)構(gòu)的邊界條件；

（4）進(jìn)入迭代步，檢測(cè)壓力邊界并計(jì)算壓力大小，形成有限元分析中的力向量F；

（5）組裝當(dāng)前結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣K，通過(guò)有限元分析得到位移場(chǎng)U；

（6）計(jì)算當(dāng)前結(jié)構(gòu)的形狀導(dǎo)數(shù)以及拉格朗日算子，得到Hamilton-Jacobi方程的速度場(chǎng)；

（7）演化水平集函數(shù)，更新徑向基函數(shù)前的插值系數(shù)；

（8）判斷收斂性，比較目標(biāo)函數(shù)在相鄰5 個(gè)迭代步中的相對(duì)誤差是否在合理范圍內(nèi)，若不滿足收斂性條件，則返回到（4）。

本文通過(guò)具體數(shù)值算例來(lái)表明上述方法處理設(shè)計(jì)相關(guān)載荷作用下結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題的有效性，數(shù)值算例為平面應(yīng)力拓?fù)鋬?yōu)化問題，楊氏模量的取值為1，泊松比的取值為0.3，編程語(yǔ)言為Python。

6.1 受外壓拱形結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

本文將先通過(guò)水平集方法中的經(jīng)典算例，初步證明方法的有效性。受外壓的拱形耐壓結(jié)構(gòu)模型的設(shè)計(jì)區(qū)域、位移邊界條件以及初始?jí)毫d荷條件如圖2 所示，設(shè)計(jì)區(qū)域?yàn)椋? m×4 m）的矩形。結(jié)構(gòu)在左右兩端部附近受到固定約束，其約束寬度為0.3 m，設(shè)計(jì)材料體積為不超過(guò)設(shè)計(jì)區(qū)域的30%。設(shè)計(jì)區(qū)域的網(wǎng)格劃分為60×40，受靜水壓力的大小為1。

圖2 受外壓拱形結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)模型Fig.2 Design model of arched structure subjected to external pressure

受外壓的拱形耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的最終結(jié)果如圖3 所示，最終柔度為81.56。這一算例作為經(jīng)典算例出現(xiàn)在中外多篇水平集方法的研究論文[11-13]中，本文得到的結(jié)構(gòu)形式與以往論文相類似，算例的計(jì)算模型與趙康等[11]文中相似，趙康等對(duì)比了在初始設(shè)計(jì)域設(shè)置空洞與否以及在不同網(wǎng)格尺寸下的結(jié)果，得出剛度最大的結(jié)構(gòu)為初始設(shè)置空洞的結(jié)果，其柔度為92.32。拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)作為概念設(shè)計(jì)階段的主要工具，其主要目的是為工程設(shè)計(jì)提供方案，因此在概念設(shè)計(jì)中得到的結(jié)果將極大程度影響結(jié)構(gòu)的性能，這將會(huì)更好地為工程實(shí)踐服務(wù)。

圖3 本文最終結(jié)果與趙康等[11]得到的結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison between results in this paper and those obtained by Zhao et al[11]

6.2 靜水壓力下的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

耐壓結(jié)構(gòu)在水下工程中起到至關(guān)重要的作用，尤其是在潛水器的設(shè)計(jì)過(guò)程中。在實(shí)際工程中，耐壓結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)需要考慮諸多方面的因素，為了方便研究，本文只在靜水壓力下分為兩種情況進(jìn)行討論，在固定約束下受靜水壓力的耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和自由約束下受靜水壓力的耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，這兩種情況在工程中具有應(yīng)用意義，可應(yīng)用于潛水器的封頭以及平行中體的形狀設(shè)計(jì)中。

6.2.1 在固定約束下受靜水壓力的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

在固定約束下受靜水壓力的耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)區(qū)域、位移邊界條件以及初始?jí)毫d荷條件如圖4 所示，設(shè)計(jì)區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)正方形（4 m×4 m），其固定約束點(diǎn)位于正方形中線距中心點(diǎn)1.5 m 處，設(shè)計(jì)約束為體積約束，最終結(jié)構(gòu)的體積不超過(guò)設(shè)計(jì)區(qū)域的20%。且為了計(jì)算的簡(jiǎn)便性，本算例取用1/4 模型，設(shè)計(jì)區(qū)域的網(wǎng)格劃分為40×40，受靜水壓力的大小為1。

圖4 在固定約束下受靜水壓力的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)模型和1/4模型Fig.4 Design model and 1/4 model of underwater pressure structure under fixed constraints

1/4 模型的結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果如圖5 所示，最終結(jié)構(gòu)的柔度為16.41，目前本算例沒有出現(xiàn)在以往的水平集方法的研究文章中。因此，對(duì)比在密度法下得到的結(jié)構(gòu)，本文算例結(jié)果與Zheng 等[5]、Li 等[17]得到的結(jié)果類似。Zheng等[5]在文中沒有給出具體的柔度值，因此，將本文的柔度與Li等[17]得到的結(jié)果相比較，在其論文中，楊氏模量取100，體積約束取設(shè)計(jì)區(qū)域的30%。在算例中提供了目標(biāo)函數(shù)柔度在優(yōu)化過(guò)程中的收斂曲線，再經(jīng)過(guò)換算，在本文體積約束的條件下，本文結(jié)果的柔度依然小于Li 等[17]得到的結(jié)果（見圖6）。

圖5 在固定約束下受靜水壓力的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的中間結(jié)果以及最終結(jié)果Fig.5 Intermediate results and final results of underwater pressure structure design subjected to hydrostatic pressure under fixed constraints

圖6 本文結(jié)果與Zheng[5]等得到的結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison between results in this paper and those obtained by Zheng et al[5]

6.2.2 自由約束下受靜水壓力下的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

自由約束下受靜水壓力的耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)區(qū)域、位移邊界條件以及初始?jí)毫d荷條件如圖7所示，設(shè)計(jì)區(qū)域同樣為一個(gè)正方形（4 m×4 m），本算例中在正方形的兩條對(duì)稱軸上設(shè)計(jì)約束，限制對(duì)稱軸上的區(qū)域只能在中心線方向移動(dòng)，約束寬度為0.9 m，設(shè)計(jì)約束為體積約束，最終結(jié)構(gòu)的體積不超過(guò)設(shè)計(jì)區(qū)域的10%。同樣，為了計(jì)算的簡(jiǎn)便性，本算例將取用1/4模型，設(shè)計(jì)區(qū)域的網(wǎng)格劃分為40×40，受靜水壓力的大小為1。

圖7 自由約束下受靜水壓力的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)模型與1/4模型Fig.7 Design model and 1/4 model of underwater pressure structure under free constraints

1/4 模型的結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果如圖8 所示，最終結(jié)構(gòu)的柔度為13.13，目前這一算例也沒有出現(xiàn)在以往水平集方法的研究文章中。因此，對(duì)比在密度法下得到的結(jié)構(gòu)，本文算例結(jié)果與王存福等[8]的論文中得到的結(jié)果完全相似，在王存福等人的論文中，取材料的楊氏模量為210 GPa，泊松比為0.3，靜水壓力大小取2 MPa，體積約束與本文相同，王存福等文中得到的結(jié)構(gòu)最終柔度為250.15 J，無(wú)量綱化后的最終柔度值為13.15，本文結(jié)構(gòu)的柔度略小于王存福等文中的柔度，得到的結(jié)構(gòu)趨近于圓環(huán)狀（見圖9），這一結(jié)果與實(shí)際設(shè)計(jì)中采用的形狀相同。

圖8 自由約束下受靜水壓力的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的中間結(jié)果以及最終結(jié)果Fig.8 Intermediate results and final results of underwater pressure structure design subjected to hydrostatic pressure under free constraints

圖9 本文結(jié)果與王存福等[8]得到的結(jié)果對(duì)比Fig.9 Comparison between results in this paper and those obtained by Wang et al[8]

6.3 空心水下耐壓結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

在潛水器耐壓結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，一般需要提供一定的儲(chǔ)物空間，因此空心耐壓結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)更加具有工程意義。與靜水壓力下的耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不同，上述討論給出了潛水器橫剖面的優(yōu)化形狀，在本節(jié)將討論潛水器的縱剖面的優(yōu)化形狀?？招哪蛪航Y(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)模型中，在其矩形設(shè)計(jì)區(qū)域（20 m×8 m）中預(yù)留一塊矩形（16 m×4 m）空白區(qū)域，空心耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)模型的設(shè)計(jì)區(qū)域、位移邊界條件以及初始?jí)毫d荷條件如圖10 所示，作用在設(shè)計(jì)模型上的約束在圖10 中進(jìn)行了標(biāo)注，約束類型分為完全固定和縱向固定兩種情況。設(shè)計(jì)材料體積為不超過(guò)設(shè)計(jì)區(qū)域的30%，為了降低計(jì)算壓力，本算例將選用1/4模型，設(shè)計(jì)區(qū)域的網(wǎng)格劃分為100×40，受靜水壓力的大小為1（見圖11）。

圖10 空心耐壓結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)模型Fig.10 Design model of hollow underwater pressure structure

圖11 空心耐壓結(jié)構(gòu)的1/4模型Fig.11 1/4 model of hollow underwater pressure structure

1/4 模型的結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果如圖12 中所示，其中圖12（a）是約束處為完全固定約束的，最終結(jié)構(gòu)的柔度為80.32，圖12（b）是約束處為縱向固定約束的，最終結(jié)構(gòu)的柔度為94.88。目前這一算例也沒有出現(xiàn)在以往的水平集方法的研究文章中。因此，與用密度法下得到的結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比，本文結(jié)果與以往論文中得到的多球交接結(jié)構(gòu)在形式上類似，用Li等[17]的算例對(duì)比本文，其楊氏模量以及受力大小分別為7.0×1010Pa、10 000 N/m，其體積約束取設(shè)計(jì)區(qū)域的30%，得到的結(jié)構(gòu)柔度值為0.5877 和0.6771,兩個(gè)算例換算為本文單位結(jié)果分別為83.96 和96.72，本文結(jié)果與Li 等[17]得到的結(jié)構(gòu)柔度值相比較小，因此，證明了本文結(jié)果的有效性。圖13 中比較了本文結(jié)果與Li 等[17]的結(jié)果，圖14 為MIT 水下潛水設(shè)計(jì)團(tuán)隊(duì)[17]提出的多球交接耐壓結(jié)構(gòu)模型，本文結(jié)果的結(jié)構(gòu)形狀與其類似，這一概念設(shè)計(jì)的提出預(yù)示著這種結(jié)構(gòu)形式具有工程參考價(jià)值，且本文方法將會(huì)引導(dǎo)工程設(shè)計(jì)的實(shí)踐。

圖12 空心耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的1/4模型的最終結(jié)果Fig.12 Final results of 1/4 model of hollow underwater pressure structure

圖13 本文最終結(jié)果與Li等[17]得到的結(jié)果對(duì)比Fig 13 Comparison of the results in this paper and those obtained by Li et al[17]

圖14 MIT提出的多球交接耐壓結(jié)構(gòu)模型[18]Fig.14 Multiple intersecting spherical pressure hull model proposed by MIT[18]

7 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了考慮靜水壓力下水下耐壓結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題，該問題是一個(gè)典型的設(shè)計(jì)相關(guān)載荷作用下的拓?fù)鋬?yōu)化問題。由于傳統(tǒng)水平集方法在該問題中的低效性，因而選取基于徑向基函數(shù)插值的水平集方法，并利用參數(shù)化水平集方法可以得到結(jié)構(gòu)輪廓清晰邊界的特性，提出了一種可掃描有遮蔽區(qū)域的邊界搜索方法。該方法利用了參數(shù)化水平集方法中邊界信息隱含于水平集函數(shù)的特性，通過(guò)逐列或逐行掃描的方式得到了結(jié)構(gòu)受靜水壓力的邊界，可以有效并完整地得到結(jié)構(gòu)的受力邊界，在此基礎(chǔ)上可以有效解決靜水壓力下水下耐壓結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題。

本文重點(diǎn)討論了水下耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以及在殼體內(nèi)部局部加強(qiáng)對(duì)耐壓結(jié)構(gòu)剛度的影響。水下耐壓結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)是以柔度最小化為目標(biāo)，以結(jié)構(gòu)體積為設(shè)計(jì)約束，結(jié)合改進(jìn)的拉格朗日算子，在平穩(wěn)的優(yōu)化過(guò)程中，得到了在不同邊界約束條件下水下耐壓結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果，文中的邊界約束條件是對(duì)諸如加強(qiáng)筋以及球殼交接處等的簡(jiǎn)化。優(yōu)化結(jié)果表明，該方法可以處理諸如多球交接耐壓結(jié)構(gòu)等存在較為復(fù)雜邊界下的水下耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題，經(jīng)過(guò)對(duì)比可知，該方法與以往研究得到的結(jié)構(gòu)形式相吻合，且得到的結(jié)構(gòu)相較以往論文得到的結(jié)構(gòu)具有較高的剛性。在未來(lái)新型水下耐壓結(jié)構(gòu)的探索過(guò)程中，該方法可以為工程設(shè)計(jì)人員的設(shè)計(jì)工作提供參考依據(jù)，具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

綜上，本文提出的邊界搜索方法在二維平面應(yīng)力問題中簡(jiǎn)易且有效，為了進(jìn)一步與工程實(shí)際情況接軌，接下來(lái)將針對(duì)在三維空間中的水下耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題、以及探究考慮應(yīng)力約束下的水下耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題進(jìn)行研究。