周維娜

“位置”的內容屬于“圖形與幾何”領域，是對應學段目標“探索一些圖形的位置關系，了解確定物體位置的方法”的要求而設計編排的，是數學課程改革新增的內容，主要學習在具體情境中根據行與列這兩個因素確定物體的位置，繼而學習用數對表示具體情境中物體的位置，同時學會在方格紙上根據數對確定物體的位置。這一內容的學習是基于生活實際與現(xiàn)實的需要，以學生的學習經驗為抓手，培養(yǎng)學生的空間觀念，同時為溝通六年級上冊“位置與方向”及第三學段“圖形與坐標”的學習打下良好的基礎。

一、課前追問、整理與思考

（一）課前追問

學生在日常生活中已有豐富的用數表示位置的經驗，而且第幾排第幾個、第幾列第幾行已經夠簡潔了，也能確定位置，那么為什么還要引入用數對確定位置呢？這種經驗對學習數對是一種促進還是干擾？教學中，經常用“哪種表示法比較簡潔”“還有更簡潔的表示方法嗎”引入數對，強調用數對表示位置的簡潔性。從學生的思維角度看，真的是這樣嗎？在平面圖和現(xiàn)實空間中確定位置，哪個更重要呢？

（二）整理與思考

1.學習用數對確定位置是數學內部發(fā)展的需求

2011年版課標對“位置”教學做了如下規(guī)定：

在具體情境中，能在方格紙上用數對（限于正整數）表示位置，知道數對與方格紙上點的對應。例如：小青坐在教室的第3行第4列，請用數對表示，并在方格紙上描出來。在同樣的規(guī)則下，小明坐在教室的第1行第3列應當怎樣表示？

【說明】需要先在方格紙上標明正整數刻度，希望學生能夠把握數對與方格紙上點（行列或者列行）的對應關系，并且知道不同的數對之間可以進行比較。這個過程有利于學生將來直觀理解直角坐標系。

按照2011年版課標的要求，其教學目標主要不在于用“數對”找位置，而是要為日后的平面直角坐標系提供直觀的認識，用數對分析幾何圖形，為“數”與圖形中的“點”架起一座橋梁。可見學習數對確定位置不是為了解決生活問題，而是數學內部發(fā)展的需求：建立平面直角坐標系，在平面內描述點的位置。

2.日常生活經驗會干擾學生用數對表示位置

數對這一內容的學習是基于生活實際與現(xiàn)實溝通的需要，以學生的學習經驗為抓手。數對是一個整體，是有序的、不可調換的。學生用數對表示位置時，首先，要克服自己已有生活經驗的負遷移；其次，要理順數對表示位置的有序性：從左往右觀察第幾列，從下往上觀察第幾行。而現(xiàn)實教室空間中描述位置的規(guī)定又和平面圖上不一樣?，F(xiàn)實空間中遵循方便原則，只要大家都明白，“數”與“位置”就建立了一一對應的關系。可見學生的現(xiàn)實經驗和現(xiàn)實空間情境給學生造成了一定的干擾。數對表示位置的簡單、簡潔，只是書寫上的簡單、簡潔，對初學的學生來說在思維上反而更復雜。

3.平面圖上確定位置是學習重點

2011年版課標中說明，學習“有序數對”的目的是“為進一步學習平面直角坐標系做好鋪墊”。也就是說，“有序數對”的價值更多地體現(xiàn)在表示平面中點的位置。在實際的教室中，學生用第幾排第幾個完全能說得清楚，為什么非要用數對表示位置呢？鑒于此，我們不能花大量時間在現(xiàn)實空間實際教室中學習用數對確定某位同學的位置，在平面圖上確定位置才是學習的重點。

那么要不要適當在實際教室中確定位置呢？我覺得是有必要的?，F(xiàn)實教室中確定同學的位置，觀察方向和平面圖上不同，為了能正向引導學生在平面圖上用數對確定位置，不受現(xiàn)實教室的干擾，教學中，有必要經歷將平面圖轉化為現(xiàn)實空間、將現(xiàn)實空間轉化為平面圖的過程。如果只是在平面圖上用數對確定某個點的位置，形式單一，學生會覺得枯燥，會降低學習的興趣和積極性。

二、教學實踐思考

基于上述課前追問、整理與思考，我從數對本身的特性、價值入手進行了課堂教學實踐。

（一）經歷數對表示位置的統(tǒng)一性、結構性和唯一性

1.自主建構用數對確定位置：體會數對的統(tǒng)一性、結構性

用數對確定位置，更為重要的是：數對表示方法的統(tǒng)一性、結構性。也就是說，所有人都這樣表示，不會產生分歧和異議，便于溝通和交流。在課堂教學中，如何體現(xiàn)這種統(tǒng)一性和結構性呢？主要通過“激發(fā)生活經驗，制造矛盾沖突，加入統(tǒng)一規(guī)定，引入數對表示，介紹數對各部分組成”實現(xiàn)。

對在生活中已具有一定找位置經驗的五年級學生來說，本節(jié)內容沒有太大難度。那么為什么要安排學生自主探索呢？因為學生在生活中已經能用“第幾”描述物體的位置，還經歷了類似用“第幾排第幾個”的方法找到物體的位置，如教室里的座位、電影院的座位等，已初步積累了在二維空間中用2個數表示位置的經驗。為了不讓學生的生活經驗對數對學習造成干擾，教學時，充分肯定、利用學生的這些已有經驗，同時讓每個學生感受到：如果每個人都用自己的經驗、自己的標準確定位置，每一次都需要做說明，若不說明別人不一定看得懂。此時，學生的數學學習經驗被調出來：這樣不方便溝通和交流，需要做統(tǒng)一規(guī)定。這個統(tǒng)一規(guī)定是怎樣的？

2.多種形式體會數對的唯一性

用數對確定位置的本質是數與點的一一對應性：一個具體的有序數對只能表示一個位置，平面內的任意一個點都可以用一個有序數對表示。課堂教學中，如何讓學生體會這種一一對應的唯一性呢？我是通過三個層次的任務設計實現(xiàn)的。

任務設計1：游戲形式體會數對的唯一性。

師：我們玩一個難度大一點兒的。周老師寫一個數對，請符合的同學站起來。

數對（3，x）讓第3列的學生站起來，數對（x，4）讓第4行的學生站起來，而數對（5，4）只讓1個學生站起來。通過這樣的游戲形式，學生感受到同列數對只確定了列數，行數不確定；同行數對只確定了行數，列數不確定，所以數對（3，x）、（x，4）可以表示多個學生的位置，又由于現(xiàn)實班級人數原因，這里的x不能表示任意數，只是正整數，還是有范圍的，是根據現(xiàn)實中教室座位確定的。數對（5，4）是列數、行數都確定的具體的數對，它只能確定1個學生的位置。一個有序數對確定位置的唯一性通過游戲形式在不知不覺中完成。

任務設計2：體會數對和點一一對應。

師：請用數對寫出自己的位置。

反饋時，指明學生到黑板上點著圖匯報。

層次反饋：

第一層次：直接能在方格圖上找到；

第二層次：在方格圖上找不到自己的位置，需要擴大方格圖。

這幅座位圖故意不按班級實際人數設計。如果班里學生正好40人，我會追問：班里又來了1個同學，坐在數對（5，6），你能找到他的位置嗎？如果班里學生超出了40人，肯定有學生不能直接找到自己的位置。這時，引發(fā)學生思考：我的座位還能在這幅座位圖上找到嗎？如果可以，怎么確定呢？增加1行，擴大方格圖，就可以找到自己的位置?？磥恚硎疚恢玫臄祵Χ伎梢栽诜礁駡D上找到對應的位置，如果方格圖不夠，就增加行或列擴大方格圖，埋下一個有序數對表示位置唯一性的種子。

任務設計3：體會點和數對一一對應。

“平面內任意一個點都可以用數對表示”看起來挺深奧的，不容易理解?！叭绻c在方格外，你怎么確定它的位置”？這么一問，學生想起來可以增加行或列，擴大方格圖，這樣點就能用數對表示。如果點在方格圖的左下方，其實也是增加行或列，只是增加的是-1這行、-2這行或-1這列、-2這列而已。小學階段“用數對確定位置”只表示第一象限，現(xiàn)在擴展到四個象限都有，初步建立了平面直角坐標系。盡管這個環(huán)節(jié)考試時不會考，和學生的成績也無關，但是我覺得非常有必要，符合學生的學習認知。既然方格上的點都可以用數對表示位置，那方格外的點呢？這是學生自然會想到的問題，所以不妨拿出來討論一下。同時讓學生更好地體會到：平面內的任意一個點都可以和一個有序數對一一對應，更好地體會數對的唯一性。

用“數對確定位置的方法”是人為規(guī)定的，但是這種“人為規(guī)定性”方法方便溝通和交流，給我們帶來便利，更為重要的是體會到這種表示法的價值。

（二）經歷抽象化過程，初步體會直角坐標思想

用“數對確定位置”的學習重點是在平面內描述點的位置，而“平面圖”是需要逐級抽象的，在這個抽象的過程中，讓學生初步體會直角坐標思想。

數對其實就是坐標的原型，是點的位置的抽象。因此，從座位圖引入數對后，及時把座位圖抽象成點子圖。

任務設計：

師：為了看得更清楚，我們可以把全班學生的座位用一個個小圓點表示。

確定學生的位置，其實質是：把學生的位置看成一個點，在平面圖上確定點的位置。以學生座位表為依托，引入數對表示位置的過程中，具體的學生座位平面圖已具有直角坐標系的雛形，此時用小圓點表示學生的座位，從具體的座位平面圖中抽象出點子圖，學生是可以接受的。這樣可以避免生活經驗干擾學生用數對確定位置，更多的是從統(tǒng)一規(guī)定出發(fā)確定點的位置，更接近學習數對的本質：在平面圖上確定點的位置，同時為后面“0”起點的方格圖做了必要的鋪墊。

（三）經歷分析數對，體會數對的價值

為什么要在平面內描述點的位置呢？為什么要建立“數對”和格點之間的一一對應關系呢？2011年版課標給出的答案是：為了以后建立坐標系，數形結合，用“數”表示幾何對象，研究直線和曲線。課堂教學中，讓學生經歷數形結合、位置關系推導、分析數對等過程，發(fā)展學生的空間觀念，進一步認識到學習數對的價值。

如列數相同的數對如（6，x）表示豎著的直線，行數相同的數對如（x，6）表示橫著的直線。根據數對的某種特性，在幾何上可以表示許多不同的直線，此時可以想象，學生內心的震動是非常強烈的。

任務設計：以AB邊為底，頂點C與頂點A、B組成等腰三角形，想一想，頂點C會在哪兒移動呢？把你找的點連接起來，說說你發(fā)現(xiàn)了什么。

找頂點C的過程中，有的學生只是零散地找到頂點C的位置；有的學生頂點C（正整數點）都找到了，還主動排除了數對（6，3）；還有的學生發(fā)現(xiàn)（6，0）、（6，1）、（6，2）、（6，4）、（6，5）、（6，6）、（6，7）、（6，8）這些數對都是第6列，但是行數不同，可以用數對（6，x）表示，把這些點連接起來是一條豎著的直線，不過學生心中x代表的數是1、2、4、5、6、7、8。這時，教師可以指著圖上“x=1.5、9、-1”的點追問：頂點C在這里可以嗎？學生發(fā)現(xiàn)也可以，思路被打開，x可以表示除3外的任何數，也知道數對（6，x）表示頂點C在第6列這條豎著的直線上移動。

盡管當頂點C在方格外時或者表示類似數對（6，1.5）這樣的點時，學生理解起來有一定的難度；盡管學生的理解反饋層次不一，但是不影響學生更進一步認識、體會數對的價值：當列數確定、行數不確定時，數對表示豎著放的直線；數對可以表示點的移動，數和圖形建立起聯(lián)系。

學習用數對確定位置的價值，絕不僅僅是為了確定生活中諸如公園景點、教室中某個學生的位置確定等問題，更為重要的是體會這種“表示”的價值。數對是人為規(guī)定的，具有結構性、統(tǒng)一性和唯一性；在經歷抽象化的過程中，初步感知平面直角坐標系的思想和方法；數對可以用來分析圖形?？梢?，數對本身的“特性”“價值”是“用數對確定位置”這節(jié)課的“魂”。