王思敏， 陸見秋， 毛學(xué)榮

(1.東華大學(xué) 理學(xué)院， 上海 201620； 2.思克萊德大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計系， 格拉斯哥 G1 1XT)

混雜隨機微分方程被廣泛用于描述具有可變結(jié)構(gòu)且易受隨機突變影響的實際系統(tǒng)，例如受環(huán)境擾動的傳染病模型和宏觀調(diào)控下的金融模型，為了實現(xiàn)這類系統(tǒng)的自動控制，學(xué)者們對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了大量的研究與分析[1-6]。

在實際應(yīng)用中，由于傳輸速度的限制，動態(tài)系統(tǒng)(例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和復(fù)雜動態(tài)系統(tǒng))中不可避免地存在時滯，而時滯的存在通常會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生負面影響，因此，近年來含時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與自動控制問題引起了學(xué)者們的廣泛研究[7-13]。

反饋控制是自動控制中一種鎮(zhèn)定系統(tǒng)(通過加入控制器使不穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定)的有效方式。為了降低控制成本，2013年，Mao[14]在經(jīng)典的連續(xù)時間觀測系統(tǒng)狀態(tài)和模態(tài)的反饋控制器的基礎(chǔ)上，開發(fā)了一種基于系統(tǒng)狀態(tài)離散觀測值設(shè)計的反饋控制器(只需要在固定的時間點對系統(tǒng)狀態(tài)進行觀測)，在全局Lipschitz條件下，用比較定理證明了受控系統(tǒng)的均方指數(shù)穩(wěn)定性，并給出了觀測間隔τ的上界。2014年，Mao等[15]從系統(tǒng)本身的性質(zhì)出發(fā)，在同樣的條件下證明了受控系統(tǒng)的均方指數(shù)穩(wěn)定性，并給出了τ的更優(yōu)上界。2015年，You等[16]在局部Lipschitz條件下引入了一個Lyapunov泛函，從而研究了受控系統(tǒng)的幾乎必然漸近穩(wěn)定性，并再次優(yōu)化了τ的上界?？紤]到在實際應(yīng)用中，觀測系統(tǒng)狀態(tài)設(shè)計控制器時，無法避免地會產(chǎn)生延遲，Qiu等[17]和Zhu等[18]在文獻[14-16]的基礎(chǔ)上考慮離散延遲觀測系統(tǒng)狀態(tài)，從而設(shè)計反饋控制器，研究了含延遲的控制器作用下受控系統(tǒng)達到穩(wěn)定的充分條件。

上述文獻中討論的反饋控制器仍然是利用系統(tǒng)模態(tài)當(dāng)前的值進行設(shè)計的，然而，在很多現(xiàn)實問題中，系統(tǒng)當(dāng)前的模態(tài)是未知的，因此,設(shè)計控制器時連續(xù)觀測系統(tǒng)模態(tài)也是相當(dāng)耗費成本的。為了進一步節(jié)約控制器的成本，學(xué)者們開始考慮設(shè)計同時離散觀測系統(tǒng)狀態(tài)和模態(tài)的控制器。Geromel等[19]從數(shù)值角度論證了同時離散觀測系統(tǒng)狀態(tài)和模態(tài)的必要性。Li等[20]證明了小區(qū)間上馬爾可夫跳發(fā)生的概率有界性，并利用系統(tǒng)狀態(tài)和模態(tài)的離散觀測值設(shè)計了反饋控制器，使受控系統(tǒng)達到均方指數(shù)穩(wěn)定。

目前，還未有相關(guān)文獻考慮利用系統(tǒng)狀態(tài)和模態(tài)同時離散觀測且狀態(tài)觀測帶有延遲的反饋控制器從而鎮(zhèn)定混雜隨機時滯系統(tǒng)。本文綜合考慮設(shè)計此類離散時間和狀態(tài)延遲觀測的控制器，以期使控制后的隨機系統(tǒng)達到多種意義下的穩(wěn)定。

1 符號與問題表述

1.1 預(yù)備知識

本文中(Ω,,{t}t≥0,P)為一個完備概率空間，其中域流{t}t≥0是遞增且右連續(xù)的，并且0包含所有P空集。令w(t)=(w1(t),…,wm(t))T為定義在以上完備概率空間中的m維布朗運動[6]。若x∈Rn，則用|x|表示其歐幾里德范數(shù)。若A是一個矩陣，則用AT表示其轉(zhuǎn)置，用表示其跡范數(shù)，用‖A‖=max{|Ax|∶|x|=1}表示其算子范數(shù)。若A是一個對稱矩陣(A=AT)，則分別用λmin(A)以及λmax(A)表示其最小和最大特征值，分別用A≤0以及A<0表示A是半負定或負定矩陣。如果a,b均為實數(shù)，則令a∨b=max{a,b}且a∧b=min{a,b}。若A是Ω的子集，則用IA表示其特征函數(shù)，即當(dāng)ω∈A時IA(ω)=1，否則IA(ω)=0。令C([-u,0];Rn)是一族有界的，其中0是可測的，取值為C([-u,0];Rn)中的隨機變量。若x(t)是定義在t∈[-u,∞)上取值在Rn中連續(xù)的隨機過程，則當(dāng)t≥0時，令xt={x(t+θ):-u≤θ≤0}，并將其視為取值在C([-u,0];Rn)中的隨機過程。

令r(t)(t≥0)為概率空間中取值在有限狀態(tài)空間S={1,2,…,N}中的右連續(xù)馬爾可夫鏈。給定其生成元Γ=(γij)N×N為

P{r(t+Δ)=j|r(t)=i}=

1.2 問題表述

考慮一個n維混雜隨機變時滯微分方程(stochastic differential delay equation，SDDE)：

dx(t)=f(x(t),x(t-h(t)),r(t),t)dt+

g(x(t),x(t-h(t)),r(t),t)dw(t)t≥-τ*

(1)

其中

f:Rn×Rn×S×R+→Rn，

g:Rn×Rn×S×R+→Rn×m，

本文旨在設(shè)計一個離散反饋控制u(x(δt-τ0),r(δt),t)使得受控混雜SDDE如式(2)所示。

dx(t)=(f(x(t),x(t-h(t)),r(t),t)+

u(x(δt-τ0),r(δt),t))dt+

g(x(t),x(t-h(t)),r(t),t)dw(t)

(2)

為了研究受控混雜SDDE(式(2))的穩(wěn)定性，給出以下假設(shè)。

假設(shè)1假設(shè)系數(shù)f和g滿足局部Lipschitz和線性增長條件。

成立。

(2)線性增長條件：存在常數(shù)L>0使得對所有的(x,y,i,t)∈Rn×Rn×S×R+有

|f(x,y,i,t)|∨|g(x,y,i,t)|≤L(|x|+|y|)

成立。

由該假設(shè)可知，對所有的(i,t)∈S×R+有f(0,0,i,t)=0,g(0,0,i,t)=0成立。

假設(shè)2假設(shè)存在一個正常數(shù)K使得對所有(x,y,i,t)∈Rn×Rn×S×R+有

|u(x,i,t)-u(y,i,t)|≤K|x-y|

成立，且對所有(i,t)∈S×R+有u(0,i,t)=0成立。

根據(jù)該假設(shè)，令y=0，可知u滿足線性增長條件，即對所有(x,i,t)∈Rn×S×R+有

|u(x,i,t)|≤K|x|

成立。

為建立本文中的定理體系，對于受控混雜的SDDE(式(2))，需要以下額外信息：xη={x(η),-2τ*-2τ≤η≤-τ*}，但這些xη的具體值并不影響定理的結(jié)果，因此本文設(shè)置系統(tǒng)初值為ξ∈C([-2τ*-2τ,0];Rn)以及r0∈S。同時定義常數(shù)：觀察到對于受控混雜SDDE(式(2))，若定義和ζ3:[0,∞)→[0,τ+τ0]為

ζ1(t)=h(t)t∈[0,∞)

ζ2(t)=t-kτ，kτ≤t<(k+1)τ，k=0,1,2,…

ζ3(t)=t-kτ+τ0，kτ≤t<(k+1)τ，

k=0,1,2,…

則式(2)可寫為

dx(t)=(f(x(t),x(t-ζ1(t)),r(t),t)+u(x(t-ζ3(t)),r(t-ζ2(t),t))dt+g(x(t),x(t-ζ1(t)),r(t),t)dw(t)

2 主要結(jié)論

2.1 漸近穩(wěn)定性

為了建立受控混雜SDDE(式(2))在不同意義下穩(wěn)定的充分條件，首先構(gòu)造一個Lyapunov泛函：

x(v-h(v)),r(v),v)+

u(x(δv-τ0),r(δv),v)Iv≥0|2+

|g(x(v),x(v-h(v)),r(v),v)|2]dvds

t≥0

(3)

{x(s)∶-2τ*-2τ≤s≤0}=φ∈

C([-2τ*-2τ,0];Rn)，r(s)=r0，

f(x,y,i,s)=f(x,y,i,0)，u(x,i,s)=

u(x,i,0)，g(x,y,i,s)=g(x,y,i,0)。

對于U∈C2,1(Rn×S×R+;R+)，定義算子LU:Rn×Rn×S×R+→R：

(4)

下面給出關(guān)于U的假設(shè)。

假設(shè)3假設(shè)存在函數(shù)U∈C2,1(Rn×S×R+;R+)以及3個正數(shù)λ1、λ2以及λ3使

LU(x,y,i,t)+λ1|Ux(x,i,t)|2≤

-λ2|x|2+λ3|y|2

(5)

對所有(x,i,t)∈Rn×S×R+，(x,y,i,t)∈Rn×Rn×S×R+成立。

在說明結(jié)果之前，依次給出一個引理和定理。

定理1令假設(shè)1、假設(shè)2以及假設(shè)3成立。假設(shè)存在正定對稱矩陣Pi(i∈S)使得λ2>λPM∶=maxi∈Sλmax(Pi)，λ3≤λPm∶=mini∈Sλmin(Pi)。令

(6)

若τ>0,τ0>0充分小，且滿足

(4(τ+τ0)+2)L2+4θ(τ+τ0)2K2+λPM

(7)

則對于任意初值φ∈C([-2τ*-2τ,0];Rn)以及r0∈S，受控混雜SDDE(式(2))在均方意義下是H∞穩(wěn)定的，即

(8)

證明：給定φ∈C([-2τ*-2τ,0];Rn)以及r0∈S，將受控混雜SDDE(式(2))的解x(t)看成是過程，對式(3)中定義的Lyapunov泛函使用廣義公式[6]，則有

(9)

其中M(t)是初值為M(0)=0的連續(xù)鞅。根據(jù)假設(shè)1、假設(shè)2、引理1以及條件(7)易知

(10)

其中

τ0)(4(τ+τ0)+2)L2-4θ(τ+τ0)2K2-λPM。

注意到t-δt+τ0≤τ且當(dāng)t

f(x(s),x(s-h(s)),r(s),s)+u(x(δs-τ0),r(δs),

s)Is≥0|2+|g(x(s),x(s-h(s)),r(s),s)|2]ds，

當(dāng)0≤t

r(s),s)+u(x(δs-τ0),r(δs),s)Is≥0]ds+

綜上可得，

f(x(s),x(s-h(s)),r(s),s)+u(x(δs-τ0),r(δs),s)·

Is≥0|2+|g(x(s),x(s-h(s)),r(s),s)|2]ds

(11)

對任意t≥0成立。令

則由式(10)和(11)可推出

(12)

由條件式(7)可知λ>0。又根據(jù)式(9)可知

(13)

其中

θ(τ+τ0)2[(4(τ+τ0)+2)L2+(τ+τ0)K2]‖φ‖2

是正數(shù)。則由式(13)可得

即式(8)成立。證畢。

(14)

(15)

則受控混雜SDDE(式(2))的解對于任意t≥0，均滿足

(16)

證明：由定理1的證明可知，x(t)和x(δt-τ0)在0≤t

首先，考慮t≥kτ的情形。令n≥k為整數(shù)，則δt-τ0=nτ-τ0≥0對任意t∈[nτ,(n+1)τ)成立，在這種情形下，可以得到

(17)

另外注意到

(18)

將式(18)代入式(17)可得

(19)

由Gronwall不等式可得

(20)

然后，考慮0≤t

顯然該式與式(19)一致。因此式(20)對0≤t

整理可得

(21)

定理2假設(shè)定理1和引理2中的條件均成立，則受控混雜SDDE(式(2))均方漸近穩(wěn)定，即

對任意初值φ∈C([-2τ*-2τ,0];Rn)以及r0∈S成立。

證明：給定φ∈C([-2τ*-2τ,0];Rn)以及r0∈S。根據(jù)公式，當(dāng)t≥0時，有

根據(jù)假設(shè)1及假設(shè)2可知

x(δs-τ0)|2ds，

該處以及下文中的C代表一個正數(shù)，它的取值可隨著項的不同而改變。由引理2可得(令α=0)

(22)

又

將上式代入式(22)并應(yīng)用定理1的結(jié)論可知，存在正數(shù)C，使得對任意t≥0都有

E|x(t)|2≤C

[f(x(t),x(t-h(t)),r(t),t)+u(x(δt-τ0),

r(δt),t)]+|g(x(t),x(t-h(t)),r(t),t)|2)dt≤

對任意0≤t1

|E|x(t2)|2-E|x(t1)|2|≤C(t2-t1)

即E|x(t)|2在t∈R+關(guān)于t一致連續(xù)。

2.2 指數(shù)穩(wěn)定性

第2.1節(jié)構(gòu)造的狀態(tài)和模態(tài)同時離散的反饋控制器討論了混雜SDDE(式(1))的漸近穩(wěn)定性問題，并證實了當(dāng)t趨于∞時，E|x(t)|2將趨近于0，但不知道E|x(t)|2趨于0的速率。本節(jié)為研究E|x(t)|2以及x(t)趨向于0的速率，對混雜SDDE(式(1))的指數(shù)穩(wěn)定性進行研究。首先，給出以下假設(shè)。

假設(shè)4假設(shè)存在兩個正數(shù)c1，c2使得

c1|x|2≤U(x,i,t)≤c2|x|2

對所有(x,i,t)∈Rn×S×R+成立。

定理3令假設(shè)1～4以及引理1成立，θ定義同式(6)，令

(4(τ+τ0)+2)L2-4θ(τ+τ0)2K2-λPM(λ>0)

(23)

且

(24)

其中，γ>0是方程

(τ+τ0)γe(τ+τ0)γ(H1+

(25)

的唯一解，該方程中

H1=4θ(τ+τ0)2(L2+K2)+2θ(τ+τ0)L2，

H2=2θ(τ+τ0)L2(2(τ+τ0)+1)，

H3=4θ(τ+τ0)2K2

(26)

其中t≥0。根據(jù)Lyapunov泛函的定義式(3)以及式(12)和(13)，可推得

(27)

令

u(x(δv-τ0),r(δv),v)|2+|g(x(v),

x(v-h(v)),r(v),v)|2]dvds。

則由式(3)及假設(shè)4可知

(28)

首先，由假設(shè)1、假設(shè)2及引理2可得

H2E|x(v-h(v))|2+

H3E|x(v)-x(δv-τ0)|2Iv≥0]dv

(29)

其中，H1、H2、H3的定義如式(26)所示。將式(29)代入式(28)，并將結(jié)果進一步代入式(27)可得，對于z≥τ+τ0，有

(30)

其中，

(31)

(32)

(33)

代入式(30)可得

又式(25)成立，故對任意t≥τ+τ0都有

c1eγtE|x(t)|2≤C

成立，顯然該定理中結(jié)論式(23)成立。根據(jù)Mao等[6]的研究結(jié)論，可由式(23)得到該定理中的另一結(jié)論即式(24)。證畢。

3 算 例

在實際應(yīng)用中，二次型常被用于構(gòu)造Lyapunov函數(shù)。本節(jié)使用二次型U(x,i,t)=xTQix，其中Qi是n×n階對稱正定矩陣。令c1=mini∈Sλmin(Qi)，c2=maxi∈Sλmax(Qi)，假設(shè)4顯然成立。進一步給出以下假設(shè)。

假設(shè)5假設(shè)存在對稱正定矩陣Qi∈Rn×n(i∈S)以及兩個正數(shù)λ4和λ5，使得對所有的(x,i,t)∈Rn×S×R+以及(x,y,i,t)∈Rn×Rn×S×R+都有

2xTQi[f(x,y,i,t)+u(x,i,t)]+

trace[gT(x,y,i,t)Qi(x,i,t)g(x,y,i,t)]+

(34)

成立。

根據(jù)上述假設(shè)，可以立刻得到定理3的推論。

推論1若假設(shè)1、假設(shè)2以及假設(shè)5成立。令

c1=mini∈Sλmin(Qi)，c2=maxi∈Sλmax(Qi)，

λ6=2maxi∈S‖Qi‖，

在推論1的基礎(chǔ)上，給出如下算例：

例1考慮一個線性不穩(wěn)定混雜SDDE：

dx(t)=(A(r(t))x(t)+Ad(r(t))·

x(t-h(t)))dt+(B(r(t))x(t)+

Bd(r(t))x(t-h(t))dw(t)t>0

(35)

系統(tǒng)中的矩陣分別為

混雜SDDE(式(35))并不是均方指數(shù)穩(wěn)定的。因此要構(gòu)造一個基于狀態(tài)和模態(tài)的離散觀測的反饋控制器。假設(shè)受控混雜SDDE的形式如式(36)所示。

dx(t)=(A(r(t))x(t)+Ad(r(t))x(t-h(t))+

F(r(δt))G(r(δt))x(r(δt-τ0)))dt+

(B(r(t))x(t)+Bd(r(t))x(t-h(t))dw(t)。

(36)

選定

則可以求得

0.910 5>1 152(1-e-τ-τ0)+21 256.240 4(τ+τ0)

(4(τ+τ0)+2)+331 776(τ+τ0)2+0.5，

21 256.240 4(τ+τ0)(4(τ+τ0)+2)≤0.14，

τ+τ0≤0.020 8。

(37)

式(37)只有在τ+τ0<0.000 220 7時才成立。

根據(jù)推論1，若令Fi和上文給定的一樣，同時確保τ+τ0<0.000 220 7，則該例中基于狀態(tài)和模態(tài)同時離散的受控SDDE(式(36))呈均方指數(shù)穩(wěn)定且?guī)缀醣厝恢笖?shù)穩(wěn)定。電腦仿真結(jié)果(見圖1)也表明該結(jié)論成立。

圖1 用Euler-Maruyama方法估計混雜SDDE(式(36))的路徑(步長為10-6，初值 x1(0)=2，x2(0)=2，r(0)=1)

4 結(jié) 語

本文構(gòu)造了利用系統(tǒng)狀態(tài)和模態(tài)同時離散觀測且狀態(tài)觀測帶有延遲的反饋控制器，研究了非線性變時滯混雜系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題。通過構(gòu)造Lyapunov泛函，建立了非線性變時滯混雜系統(tǒng)在均方意義下H∞穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定和指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。此外，得到了兩次狀態(tài)和模態(tài)觀測時間間隔的上限。