馬雪茹， 尤蘇蓉

(東華大學(xué) 理學(xué)院， 上海 201620)

隨機(jī)時(shí)滯微分方程(stochastic delay differential equations, SDDEs)被廣泛應(yīng)用于隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的建模分析[1-6]。事實(shí)上，這些系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)往往會(huì)發(fā)生突變，故引入連續(xù)時(shí)間馬爾科夫(簡(jiǎn)稱“馬氏”)過程來(lái)模擬這些突變，從而產(chǎn)生了具有馬氏切換的 SDDEs，即混雜SDDEs。在局部Lipschitz條件和線性增長(zhǎng)條件下，混雜SDDEs的解存在且唯一[7]。但在實(shí)際應(yīng)用中，很多隨機(jī)系統(tǒng)不滿足線性增長(zhǎng)條件，針對(duì)這類高度非線性混雜SDDEs，當(dāng)系數(shù)滿足Khasminskii型條件時(shí)，解的存在唯一性、穩(wěn)定性問題得到了較為廣泛的研究[8]。此外，穩(wěn)定化分析也是微分方程研究的一個(gè)重要問題。考慮一個(gè)不穩(wěn)定的隨機(jī)系統(tǒng)，為使該隨機(jī)系統(tǒng)變得穩(wěn)定，經(jīng)典方法是根據(jù)被控系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)找到一個(gè)反饋控制器，使得受控系統(tǒng)穩(wěn)定。然而，鑒于狀態(tài)觀測(cè)與反饋控制到達(dá)系統(tǒng)之間存在時(shí)間間隔，依賴于過去狀態(tài)的控制則更為合理，因此反饋控制器應(yīng)為時(shí)滯反饋控制器。自文獻(xiàn)[9]建立了一個(gè)關(guān)于高度非線性混雜SDDEs的時(shí)滯反饋控制新理論以來(lái)，不同類型微分方程的相關(guān)問題受到學(xué)者的廣泛重視。例如，文獻(xiàn)[10]討論了基于離散時(shí)間觀測(cè)反饋控制的高度非線性混合隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定，文獻(xiàn)[11]通過反饋控制討論了高度非線性中立型混雜隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定等。

比例型隨機(jī)微分方程(pantograph stochastic differential equations, PSDEs)是一類具有無(wú)界延遲的特殊隨機(jī)微分方程，在機(jī)械、生物、工程和金融等領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[12-16]討論了PSDEs的存在唯一性和穩(wěn)定性。但當(dāng)給定的系統(tǒng)是高度非線性時(shí)，能否設(shè)計(jì)一個(gè)時(shí)滯反饋控制使得受控后PSDEs穩(wěn)定,這一問題目前還沒有結(jié)論。因此，有必要建立一個(gè)新的理論來(lái)說明如何設(shè)計(jì)時(shí)滯反饋控制來(lái)穩(wěn)定高度非線性混雜PSDEs。本文旨在設(shè)計(jì)一個(gè)時(shí)滯反饋控制來(lái)穩(wěn)定一類系數(shù)滿足Khasminskii型條件的高度非線性比例型混雜隨機(jī)微分方程。

1 問題背景及相關(guān)記號(hào)

設(shè)(Ω,,{t}t≥0,P)是一個(gè)完備概率空間，{t}t≥0是其上的一個(gè)σ域流，滿足通常條件(即單調(diào)遞增且右連續(xù)，0包含所有的P-零測(cè)集)。B(t)=(B1(t),B2(t),…,Bm(t))T是定義在該概率空間上的m維布朗運(yùn)動(dòng)。對(duì)于x∈n，用|x|表示其歐幾里得范數(shù)。若A是一個(gè)向量或者矩陣，使用AT表示其轉(zhuǎn)置，用表示它的跡范數(shù)。對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，記a∨b=max(a,b)，a∧b=min(a,b)。

令r(t),t≥0是該概率空間上的一個(gè)右連續(xù)的馬爾科夫鏈(簡(jiǎn)稱馬氏鏈)，取值于有限狀態(tài)空間S={1,2,…,N}，其生成矩陣Γ=(γij)N×N定義為

考慮如下的比例型混雜隨機(jī)微分方程

dx(t)=f(x(t),x(θt),r(t),t)dt+g(x(t),x(θt),r(t),t)dB(t),t≥0

(1)

初值條件為

x(0)=x0∈n,r(0)=i0∈S

(2)

其中f:n×n×S×+→n，g:n×n×S×+→n×m分別為方程的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)，0<θ<1為比例系數(shù)。假設(shè)方程(1)的兩個(gè)系數(shù)f和g滿足局部Lipschitz條件。

假設(shè)1假設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)h>0，存在Kh>0 使得對(duì)任意關(guān)于(i,t)∈S×+，有

(3)

且存在常數(shù)K>0,q1>1及qi≥1(2≤i≤4)使得對(duì)任意(x,y,i,t)∈n×n×S×+，有

(4)

假設(shè)1保證式(1)具有唯一的最大局部解，該局部解可能在有限時(shí)間內(nèi)爆破。為避免這種可能的解爆破，需要施加以下Khasminskii條件。

假設(shè)2假設(shè)存在一組常數(shù)p,q,α1,α2,α3,α4，滿足α3>α4且

q>(p+q1-1)∨(2(q1∨q2∨q3∨q4))

p≥2(q1∨q2∨q3∨q4)-q1+1

(5)

其中，q1,q2,q3,q4如假設(shè)1給出，使得對(duì)任意(x,y,i,t)∈n×n×S×+有

(6)

傳統(tǒng)解的存在唯一性定理要求方程系數(shù)滿足局部Lipschitz條件和線性增長(zhǎng)條件。在局部Lipschitz條件和Khasminskii條件下，方程具有非線性特征，引理1給出了這類方程解的存在唯一性。

引理1[13]若假設(shè)1和2成立，則對(duì)式(2)給出的初值條件，方程式(1)在t∈[0,∞)上存在唯一的解x(t)。

雖然式(1)的解在假設(shè)1和2的條件下是有界的，但是方程可能不穩(wěn)定。在這種情況下，需要設(shè)計(jì)一個(gè)時(shí)滯反饋控制u(x(t-τ),r(t),t)使得受控方程式(7)變得穩(wěn)定。

dx(t)=[f(x(t),x(θt),r(t),t)+u(x(t-τ),

r(t),t)]dt+g(x(t),x(θt),r(t),t)dB(t)

(7)

其中，控制器u:×S×+→n為Borel可測(cè)函數(shù)。為了進(jìn)一步討論需要，對(duì)方程式(7)加上初值條件，如式(8)所示。

{x(t):-2τ

(8)

同時(shí)，本文設(shè)計(jì)的控制函數(shù)將滿足假設(shè)3。

假設(shè)3存在一個(gè)正數(shù)κ，對(duì)所有x,y∈n,i∈S,且t≥0有

|u(x,i,t)-u(y,i,t)|≤κ|x-y|

(9)

此外，假設(shè)u(0,i,t)≡0。

也就是說，控制函數(shù)u(x,i,t)關(guān)于x是全局Lipschitz連續(xù)的，這個(gè)假設(shè)隱含了線性增長(zhǎng)條件，如式(10)所示。

|u(x,i,t)|≤κ|x|?(x,i,t)∈n×S×+

(10)

2 主要結(jié)果

定理1在假設(shè)1和2條件下，若控制函數(shù)u滿足假設(shè)3，則對(duì)式(8)給出的初值條件，方程式(7)在t∈[-τ,∞)上存在唯一的解x(t)，且解x(t)具有性質(zhì)：

其中ε>0為方程β3+β4=ε+β3θ-ε+(1+τ)ε的唯一解，β3,β4,C由式(13)定義。

證明對(duì)任意(x,i,t)∈n×S×+，取V(x,i,t)=，定義函數(shù)LV(x,y,z,i,t):n×n×n×S×+→

由假設(shè)2和3有

(11)

取正數(shù)α<α3-α4及α5<α3-α4-α，利用Young不等式，方程式(11)可進(jìn)一步變?yōu)?/p>

(12)

其中

β4=qα5

(β2-β3-β4)uq+p-2}<∞

(13)

下面將證明過程分兩步完成。

若能證明τ∞=∞，則可以得到σ∞=∞，即方程式(7)在t∈[-τ,∞)上存在唯一解得證。接下來(lái)給出τ∞=∞的證明。

EV(x(τk∧t),r(τk∧t),τk∧t)=V(x0,r0,0)+

將式(12)應(yīng)用至上式得

EV(x(τk∧t),r(τk∧t),τk∧t)-V(x0,r0,0)≤

θβ3U2(x(θs),θs)+β4U2(x(s-τ),s-τ)}ds

對(duì)任意(x,t)∈n×+，取U1(x(t),t)=則有

U1(x(t),t)≤V(x,i,t)≤U2(x(t),t)

(14)

從而可以得到

EU1(x(τk∧t),r(τk∧t),τk∧t)≤U2(x0,0)+

τ),s-τ)ds≤K1+Ct

(2)對(duì)(1+t)εV(x(t),r(t),t)應(yīng)用It公式。對(duì)t≥0有

E{(1+τk∧t)εV(x(τk∧t),r(τk∧t),τk∧t)}-

(1+s)εLV(x(s),x(θs),x(s-τ),r(s),s))ds

將式(12)和(14)應(yīng)用至上式可進(jìn)一步得到

E{(1+τk∧t)εU1(x(τk∧t),τk∧t)}-

U2(x(s-τ),s-τ)ds

(15)

從而式(15)可以進(jìn)一步變?yōu)?/p>

E{(1+τk∧t)εU1(x(τk∧t),τk∧t)}≤

又由ε為方程β3+β4=ε+β3θ-ε+(1+τ)ε的唯一解，故

E{(1+τk∧t)εU1(x(τk∧t),τk∧t)}≤

令k→∞，則

對(duì)上式兩邊同時(shí)除以(1+t)ε+1，令t→∞得

由定理1可知，只要控制函數(shù)滿足假設(shè)3，被控制系統(tǒng)(7)保持給定式(1)的有界性。然而，這樣的控制可能無(wú)法穩(wěn)定給定的PSDEs。為了使被控系統(tǒng)(7)穩(wěn)定，需要更仔細(xì)地設(shè)計(jì)控制函數(shù)。

假設(shè)4設(shè)計(jì)控制函數(shù)u:n×S×+→n，存在實(shí)數(shù)正數(shù)以及非負(fù)數(shù)使得對(duì)所有(x,y,i,t)∈n×n×S×+有

(16)

且

(18)

(δ1,δ2,…,δN)T=1-1(1,1,…,1)T

定義函數(shù)U:n×S→+為

(19)

對(duì)于方程dx(t)=[f(x(t),x(θt),r(t),t)+u(x(t),r(t),t)]dt+g(x(t),x(θt),r(t),t)dB(t)

定義L1U為

L1U(x,y,i,t)=2δi[xT[f(x,y,i,t)+u(x,i,t)]|+

(20)

那么根據(jù)文獻(xiàn)[4]和假設(shè)4可知受控系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。但實(shí)際應(yīng)用中，采取時(shí)滯狀態(tài)反饋控制u(x(t-τ),r(t),t)更為合理，也就是說，受控的PSDEs形式應(yīng)為方程(7)。接下來(lái)將分析如何找到τ>0，使得在時(shí)滯控制u(x(t-τ),r(t),t)下，方程(7)穩(wěn)定。

假設(shè)5存在8個(gè)正數(shù)ρj(1≤j≤8)且ρ4>ρ5,ρ6∈(0,1)，及函數(shù)W∈C(n;+)使得對(duì)所有(x,y,i,t)∈n×n×S×+有

(21)

且

(22)

定理2在假設(shè)1和2的條件下，若控制函數(shù)u滿足假設(shè)3和4并找出8個(gè)正數(shù)ρj(1≤j≤8)和函數(shù)W∈C(n;+)滿足假設(shè)5，且進(jìn)一步保證τ足夠小并滿足則對(duì)式(8)給出的初值條件，方程(7)的解x(t)具有性質(zhì)：

(23)

證明下面將證明過程分三步完成。

(24)

dU(x(t),r(t))=L2U(x(t),x(θt),

r(t),t)dt+dM(t)

(25)

L2U(x,y,i,t)=L1U(x,y,i,t)-(2δi+

u(x(t-τ),r(t),t)]

另一方面由

dI(t)=(ζτ[τ|f(x(t),x(θt),r(t),t)+|

可以得到

(26)

其中，

[u(x(t),r(t),t)-u(x(t-τ),r(t),t)]+

ζτ[τ|f(x(t),x(θt),r(t),t)+u(x(t-τ),|

(27)

綜上由定理1和假設(shè)1、2、3、5可知

(28)

[u(x(t),r(t),t)-u(x(t-τ),r(t),t)]≤

利用已知條件2ζτ2≤ρ2，ζτ≤ρ3及假設(shè)5，式(27)進(jìn)一步變成

(29)

(3)令k0>0為充分大的整數(shù)，使‖x0‖

k=inf{t≥0:|x(t)≥k|}

由定理1可知，當(dāng)k→∞時(shí)，k→∞。利用廣義It公式，可以由式(26)得到對(duì)任意t≥0,k≥k0有

令k→∞，運(yùn)用Fubini定理和控制收斂定理，對(duì)任意t≥0有

式(29)可進(jìn)一步變?yōu)?/p>

(30)

另一方面由式(7)有

將上式代入式(30)中可進(jìn)一步變?yōu)?/p>

從而有

令t→∞，由假設(shè)5得到

推論1在定理2的基礎(chǔ)上，將條件ρ6∈(0,1)替換成ρ6=1，則式(7)的解x(t)在初值條件下具有性質(zhì)：

3 算 例

考慮如下定義在t≥0上的比例型混雜隨機(jī)微分方程：

dx(t)=f(x(t),x(0.5t),r(t),t)dt+

g(x(t),x(0.5t),r(t),t)dB(t)

易知對(duì)任意q>6，當(dāng)q1=3,q2=2,q3=1,q4=1.5,p=4時(shí)假設(shè)1成立。

對(duì)任意(x,y,i,t)∈××S×+有

即對(duì)任意q>6，當(dāng)α1=0,α2=[1+0.01(q-1)2],α3=1,α4=0.04時(shí)假設(shè)2成立。

假設(shè)系統(tǒng)僅在模態(tài)1中可觀測(cè)而模態(tài)2中不能，那么僅能在模態(tài)1中使用反饋控制。取u(x,1,t)=-4x,u(x,2,t)=0，則當(dāng)κ=4時(shí)，假設(shè)3成立。故由定理1得到受控系統(tǒng)在t∈[-τ,∞)上存在唯一的解x(t)，且解x(t)具有性質(zhì):

為驗(yàn)證假設(shè)4，對(duì)任意(x,y,i,t)∈××S×+，有

故由式(16)和(17)得

從而假設(shè)4成立。

進(jìn)一步，由式(19)得：

那么L1U(x,y,i,t)≤-x2+0.26y2-0.998 3x4+0.22y4-0.235x6+0.03y6。

又因?yàn)閨f(x,y,i,t)|2≤x4+y4+8x6，|g(x,y,i,t)|2≤0.02y2+0.02y4

取ρ1=0.2，ρ2=0.006，ρ3=1，則

ρ2|f(x,y,i,t)|2+ρ3|g(x,y,i,t)|2≤

-0.95x2+0.28y2-W(x)+0.402 75W(y)

其中W(x)=0.867 3x4+0.072 5x6。所以當(dāng)ρ4=0.95,ρ5=0.56,ρ6=0.805 5,ρ7=0.072 5,ρ8=0.506 2時(shí)，假設(shè)5成立。那么由定理2可知，當(dāng)τ<0.008 728時(shí)，受控系統(tǒng)在控制函數(shù)下H∞穩(wěn)定。

4 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)高度非線性比例型混雜隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定化問題，設(shè)計(jì)一個(gè)時(shí)滯反饋控制使得受控系統(tǒng)在局部Lipschitz條件和Khasminskii條件下的解存在且唯一，同時(shí)給出了這類方程解的有界性。通過一系列技巧對(duì)反饋控制進(jìn)行處理，最終得到受控系統(tǒng)H∞穩(wěn)定的結(jié)論。后續(xù)可進(jìn)一步研究高度非線性比例型混雜隨機(jī)微分方程的多項(xiàng)式穩(wěn)定、指數(shù)穩(wěn)定的條件與相關(guān)性質(zhì)。