■江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 任琛琛 楊夢歡 楊蘇丹

高中數(shù)學(xué)立體幾何初步的學(xué)習(xí)要求有：運用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計算等認(rèn)識和探索空間圖形的性質(zhì)，并建立空間觀念。在“正方體截面的形狀”的教學(xué)過程中，可以利用問題驅(qū)動教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力；通過教學(xué)模具的活動式探究，培養(yǎng)學(xué)生的操作實踐能力；結(jié)合教育技術(shù)中“幾何畫板”，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力?；诖耍疚耐ㄟ^案例探究如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用問題驅(qū)動法。

問題驅(qū)動教學(xué)法即基于問題的教學(xué)方法(Prob?lem-Based Learning，PBL)。問題驅(qū)動教學(xué)法是一種以學(xué)生為主體、以專業(yè)領(lǐng)域內(nèi)的各種問題為學(xué)習(xí)起點，以問題為核心規(guī)劃學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生圍繞問題尋求解決方案的一種學(xué)習(xí)方法，這種方法不像傳統(tǒng)教學(xué)那樣先學(xué)習(xí)理論知識再解決問題。教師在教學(xué)過程中的角色是問題的提出者、課程的設(shè)計者以及結(jié)果的評估者。傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)立體幾何的教學(xué)比較重視定理的推理過程，即使在強調(diào)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的新課程標(biāo)準(zhǔn)下，高中立體幾何教學(xué)在操作上還是容易出現(xiàn)“滿堂灌”的形式，教師對立體幾何的推導(dǎo)過程做好了應(yīng)有的設(shè)問，學(xué)生不必要也難以提出自己的思考和問題。學(xué)生在這樣的立體幾何學(xué)習(xí)過程中容易產(chǎn)生思維定式，不利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的邏輯推理能力。史寧中先生曾言：“引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界?！被诖?，筆者以章節(jié)起始課“正方體截面的形狀”為例，結(jié)合問題驅(qū)動教學(xué)和活動式課堂，關(guān)注和培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力。

一、了解學(xué)生，對“癥”下“藥”

在學(xué)習(xí)“正方體截面的形狀”之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“立體幾何初步”，對三維空間有初步的認(rèn)識；對簡單的幾何體的基本特性和直觀圖、三視圖有基本了解；對空間的點、線、面的位置關(guān)系有了一定的理解，并初步學(xué)會用數(shù)學(xué)語言來描述和論證某些位置關(guān)系（特別是平行和垂直關(guān)系）；對直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證和度量計算等方法有了一定的體驗；有一定的空間想象能力、初步有了推理論證和運用圖形語言進(jìn)行交流的能力。但是學(xué)生對幾何體截面的概念不明晰，學(xué)生的抽象能力也處于初步發(fā)展的狀態(tài)。因此，筆者認(rèn)為在教學(xué)過程中要關(guān)注學(xué)生對截面的概念學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生對立體幾何的截面空間想象能力。

二、把握目標(biāo)，有“的”放“矢”

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂）中立體幾何初步的學(xué)習(xí)要求有：運用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計算等認(rèn)識和探索空間圖形的性質(zhì)，并建立空間觀念?；凇罢襟w截面的形狀”的教學(xué)，利用問題驅(qū)動教學(xué)設(shè)置問題串，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力；通過教學(xué)模具的活動式探究，培養(yǎng)學(xué)生的操作實踐能力；結(jié)合現(xiàn)代教育技術(shù)“幾何畫板”，彌補學(xué)生不便于操作難以得到較全的復(fù)雜模型的遺憾，為培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力提供教學(xué)支點。學(xué)生通過“正方體截面的形狀”的課題學(xué)習(xí)，在利用小組討論、借助道具以及利用軟件的探究正方體截面實際操作過程中，體會“關(guān)注如何獲得知識，比關(guān)注得到別人給予的知識更重要”；體會到“問題是思考的結(jié)果，是深入思考的開始”；從而培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

三、設(shè)計教學(xué)，“層”層遞進(jìn)

（一）創(chuàng)設(shè)情境、提出問題

通過視頻的展示，讓學(xué)生了解生活中有各種各樣幾何體截面的形狀。

【設(shè)計意圖】基于學(xué)生學(xué)情出發(fā)，大多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何初步之前，對立體幾何的截面了解甚少，單獨講述什么是截面過于枯燥，由此筆者進(jìn)行視頻導(dǎo)入，讓學(xué)生直觀感受截面形狀，得到截面的概念；拋出問題1：正方體的截面有哪些類型？

在學(xué)生的探究過程中，可以預(yù)設(shè)到學(xué)生容易得出的正方體截面為正方形和三角形的兩種情形。

（二）實驗探究、分析問題

探究活動1：教師明確給定實驗器材的標(biāo)準(zhǔn)，通過轉(zhuǎn)動裝有水的正方體，利用平靜的水面更好地反映正方體截面的形成及其變化特征。教師做示范展示，學(xué)生分小組利用實驗器材探究正方體的截面形狀類型。

【設(shè)計意圖】傳統(tǒng)的正方體截面教學(xué)是教師通過作圖向?qū)W生展示，這對學(xué)生的想象能力要求較高，而這階段的學(xué)生很難全部達(dá)到較高的抽象想象能力，因此筆者結(jié)合教具讓學(xué)生直觀感知正方體截面的形狀。活動預(yù)測大多數(shù)學(xué)生實驗探究將得到正方體截面結(jié)果可能是三角形、四邊形，個別同學(xué)也許會實驗得出六邊形截面。

探究活動2：教師用幾何畫板課件演示學(xué)生在活動1的探究結(jié)果。演示的過程中師生研討交流，討論問題2：會不會出現(xiàn)七邊形和八邊形？

【設(shè)計意圖】利用現(xiàn)代教育技術(shù)佐證實驗結(jié)果，彌補教具實驗中的客觀局限性，更清晰地模擬出正方體截面的形狀。通過截面概念的辨析，得到正方體截面多邊形的邊數(shù)上限為6，開啟對正方體截面形狀特征探究。

探究活動3：關(guān)于正方體三角形截面的探究。利用教具以及現(xiàn)代教育技術(shù)，小組探究正方體三角形截面形狀，拋出問題3：正方體有幾類三角形截面？小組派代表展示，教師點評，研究的過程中教師可以引導(dǎo)學(xué)生按角、按邊進(jìn)行分類研究。

探究結(jié)果：按邊分類：等腰三角形（等邊三角形）、非等腰三角形。按角分類：銳角三角形，不會出現(xiàn)直角三角形和鈍角三角形。在此基礎(chǔ)上將利用余弦定理等方法對探究結(jié)果給予證明。

【設(shè)計意圖】根據(jù)分類原則先確定研究的路徑，通過直觀想象、數(shù)學(xué)建模和演算等邏輯推理的數(shù)學(xué)思考探究結(jié)論，利用分類討論融入分類思想。

探究活動4：關(guān)于正方體四邊形截面的探究。同樣利用教具、幾何畫板對正方體四邊形截面探究，引導(dǎo)學(xué)生利用邊、角分類進(jìn)行探究。拋出問題4：正方體可以截出幾類不同的四邊形？會有正四邊形嗎？并且讓學(xué)生小組討論如何利用立體幾何公理、定理證明四邊形不可能出現(xiàn)直角梯形。

探究結(jié)果：兩組對邊分別平行；只有一組對邊平行；不會出現(xiàn)直角梯形。（如圖1）

圖1

【設(shè)計意圖】通過觀察四邊形截面形狀，找出共性，從而引導(dǎo)學(xué)生能從截面定義解釋為什么四邊形截面一定有一組對邊平行，探究過程中分類討論再次融入分類思想。

探究活動5：關(guān)于正方體五邊形截面的探究。利用關(guān)于對正方體的四邊形截面的探究活動的方法對正方體五邊形截面探究，按照之前探究活動提出問題5：正方體五邊形截面會有怎樣的性質(zhì)？會有正五邊形嗎？

探究結(jié)果：兩組邊分別平行。

【設(shè)計意圖】利用四邊形討論的方法，類比探究正方體截面五邊形的特征，融入類比思想，并探究得出不會出現(xiàn)正五邊形。

探究活動6:關(guān)于正方體六邊形截面的探究。類比四、五邊形截面的探究方式，得到六邊形截面的特征。

探究結(jié)果：三組邊分別平行。

【設(shè)計意圖】通過問題“正方體中,試畫出其中三條棱的中點P,Q,R的平面截得正方體的截面形狀”的解決；實現(xiàn)探究：正方體會出現(xiàn)正六邊形截面。

探究活動7：根據(jù)活動的探究進(jìn)程，自然拋出問題6：正方體的截面最多有多少種？歸納有哪有幾種正多邊形？師生共同歸納總結(jié)：正方體截面最多會出現(xiàn)正三角形、正方形、正六邊形。

（三）小試牛刀，解決問題

習(xí)題1：一個棱長為3的正方體給定三個點M、N、P(如圖2)，若

圖2

試一試，如何沿著這三個點做出一個截面？

活動重點：準(zhǔn)備一個道具和彩筆。各組的同學(xué)共同討論，看哪一組畫得好，畫得快，說得清。

【設(shè)計意圖】通過畫圖訓(xùn)練，讓學(xué)生結(jié)合探究活動的直觀感知，抽象出截面形狀，落實從直觀想象到抽象思維的轉(zhuǎn)化，同時小組探究也有助于解決學(xué)生在訓(xùn)練過程中遇到的難點，教師可以分組進(jìn)行點撥，提高課堂效率。

（四）課堂小結(jié)，歸納問題

教師在這個環(huán)節(jié)可以從學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容以及探究的方法兩方面展開，滲透教知識、學(xué)經(jīng)驗的新課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)理念。

歸納問題：主要用到立體幾何中的哪些公理與定理（師生共同進(jìn)行建構(gòu)知識系統(tǒng)）以及探究的步驟？回顧我們是怎樣研究正方體的三角形截面的？我們在數(shù)學(xué)建模、演算、推理驗證時，感悟到什么數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用了那些數(shù)學(xué)知識，沿用了什么活動經(jīng)驗？

【設(shè)計意圖】課堂不應(yīng)只關(guān)注知識的發(fā)生發(fā)展，也應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思維生長，注重學(xué)習(xí)、活動經(jīng)驗的積累，讓學(xué)生總結(jié)，讓學(xué)生學(xué)會用“數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題”。

（五）課后思考、延伸問題

學(xué)習(xí)不僅發(fā)生在課堂上，非常有必要把空間和時間延續(xù)到課外，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的學(xué)情布置相應(yīng)的課后思考題，供學(xué)有余力的同學(xué)深度學(xué)習(xí)。筆者基于學(xué)生的基礎(chǔ)能力，布置了如下思考題：

(1)通過對正方體截面形狀的探究方法，能否類比到其他幾何體？（如圓錐、圓柱、正四面體等。）

(2)與正方體的棱平行的截面有何特征？與正方體體對角線垂直的截面有何特征？

四、設(shè)計反思，追“本”溯源

立體幾何研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系。高中“立體幾何初步”的教學(xué)重點是幫助學(xué)生逐步形成空間觀念，應(yīng)遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，提供豐富的實物模型或利用計算機(jī)軟件呈現(xiàn)空間幾何體，幫助學(xué)生認(rèn)識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能?！罢襟w截面的形狀”在立體幾何的教學(xué)中屬于較為抽象以及較難的知識點，筆者的教學(xué)設(shè)計利用上述七個探究活動和六個問題串，通過活動的層層遞進(jìn)，問題的逐步深入，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、數(shù)學(xué)的思想方法和活動經(jīng)驗在探究活動中的運用。從簡單的截面形狀——三角形出發(fā)到多邊形，自然引導(dǎo)學(xué)生由一般到特殊思考：截面正多邊形的類型。在活動探究的過程，活動3到活動6這四個活動讓學(xué)生利用已有的互動探究經(jīng)驗，反復(fù)利用分類、類比思想解決問題，最后通過立體幾何定理讓學(xué)生從理論的高度上驗證猜想，得出結(jié)論，提供了嚴(yán)密的邏輯推理范式，學(xué)生可以養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。眾所周知，邏輯推理能力是高中立體幾何非常重要的一種能力，其中合情推理（分類、類比）占有非常大的比例。因此本節(jié)課的設(shè)計即是新知的探究，也是促進(jìn)立體幾何能力的培養(yǎng)和提升的實踐設(shè)計。

五、結(jié)語

問題驅(qū)動教學(xué)法能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，提高學(xué)生在教學(xué)過程中的參與程度，容易激起學(xué)生的求知欲，活躍思維，能達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生主動探求知識、自主創(chuàng)新思維的學(xué)習(xí)目的。通過設(shè)計探究活動，利用問題層層遞進(jìn)引導(dǎo)學(xué)生探究正方體的截面，可有效幫助學(xué)生掌握相關(guān)知識。在問題串的引導(dǎo)下，學(xué)生對探究活動和動手實踐驗證充滿興趣，學(xué)習(xí)積極性得到極大激發(fā)，可有效提高探究能力和思維能力，邏輯思維與學(xué)習(xí)效果也能得到有效提升。