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        記憶性洪災(zāi)模型及其債券定價(jià)

        2022-03-21 07:11:46張節(jié)松
        關(guān)鍵詞:記憶性泊松巨災(zāi)

        張節(jié)松,張 勇

        (淮北師范大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,安徽 淮北 235000)

        0 引言

        我國大約有2/3的國土面積遭受過不同程度的洪澇災(zāi)害.洪災(zāi)的發(fā)生常常帶來超幾百億元的巨額損失,單純依靠政府的無償賑災(zāi)與救濟(jì),不僅加重政府財(cái)政負(fù)擔(dān),也不利于災(zāi)后恢復(fù)效率的提高,迫切需要新型的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移方式.我國的國家突發(fā)事件應(yīng)急體系建設(shè)“十三五”規(guī)劃明確指出,要加快推進(jìn)巨災(zāi)保險(xiǎn)制度,推動(dòng)地震巨災(zāi)保險(xiǎn)立法進(jìn)程,逐步形成多層次的巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)分散機(jī)制.

        當(dāng)前巨災(zāi)模型探究中,通常采用傳統(tǒng)的泊松過程刻畫其發(fā)生次數(shù)[1-4].眾所周知,泊松過程是無記憶的隨機(jī)過程,其指數(shù)等待時(shí)間具有馬爾可夫特性[5-7].Lin等[8]指出,以往大多數(shù)研究采用的泊松過程似乎不足以描述災(zāi)難性事件達(dá)到的過程,巨災(zāi)損失分布具有厚尾特征[9].Saichev等[10]引入Kolmogorov-Feller等式的分?jǐn)?shù)推廣,并對其求解進(jìn)行分析,提出分?jǐn)?shù)等待時(shí)間分布函數(shù).Mainardi等[11]指出,分?jǐn)?shù)泊松過程可捕獲非指數(shù)等待時(shí)間分布經(jīng)驗(yàn)的長期記憶.Repin等[12]考慮一個(gè)具有隨機(jī)強(qiáng)度的泊松過程,其中跳躍之間的間隔分布由具有分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的等式描述.Laskin[13]以Kolmogorov-Feller方程的分?jǐn)?shù)推廣為基礎(chǔ),提出一種分?jǐn)?shù)非馬爾可夫泊松隨機(jī)過程,即分?jǐn)?shù)泊松過程.Cahoy等[14]給出分?jǐn)?shù)泊松過程等待時(shí)間的參數(shù)估計(jì).Wang等[15]對復(fù)合分?jǐn)?shù)階泊松過程進(jìn)行深入研究,給出復(fù)合分?jǐn)?shù)階泊松過程的參數(shù)估計(jì).Zhang[16]則將復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松過程應(yīng)用于保險(xiǎn)實(shí)務(wù),研究最優(yōu)分層再保險(xiǎn)問題.

        受前述研究的啟發(fā),本文利用分?jǐn)?shù)泊松過程擬合洪災(zāi)損失次數(shù),捕捉洪澇災(zāi)害等待時(shí)間的長期記憶性特征,并根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理,構(gòu)建一個(gè)記憶性洪災(zāi)定價(jià)模型,以期更好地?cái)M合洪災(zāi)實(shí)際,并揭示記憶性特征對債券價(jià)格的影響.

        1 洪澇災(zāi)害損失次數(shù)的擬合

        本文數(shù)據(jù)主要來源于中華人民共和國水利部頒布的《中國水旱災(zāi)害公報(bào)》整理所得(在線主頁http://www.mwr.gov.cn/sj/).選取中國大陸地區(qū)從2006年1月1日至2018年12月31日洪澇災(zāi)害造成的直接經(jīng)濟(jì)損失為研究對象,共計(jì)89個(gè)洪澇災(zāi)害損失樣本.以半年為單位,統(tǒng)計(jì)半年內(nèi)洪澇災(zāi)害發(fā)生的次數(shù),總共26個(gè)樣本.根據(jù)洪澇災(zāi)害的原始數(shù)據(jù),編制中國大陸地區(qū)洪澇次數(shù)的頻數(shù)和頻率分布表(如表1所示)和經(jīng)驗(yàn)累計(jì)分布函數(shù)圖(如圖1所示).

        表1 洪澇次數(shù)的頻數(shù)和頻率分布

        圖1 洪澇災(zāi)害次數(shù)的經(jīng)驗(yàn)累計(jì)分布函數(shù)圖

        1.1 洪澇災(zāi)害次數(shù)的泊松過程檢驗(yàn)

        假設(shè)H0:半年內(nèi)洪澇災(zāi)害次數(shù)X服從參數(shù)為λ的泊松過程,其分布函數(shù)為:

        記Xi表示半年內(nèi)洪澇災(zāi)害發(fā)生的次數(shù);fi表示實(shí)際發(fā)生洪澇災(zāi)害次數(shù)的頻數(shù),pi表示理論發(fā)生洪澇災(zāi)害次數(shù)的概率,i=1,2,…,8.

        表2 樣本數(shù)據(jù)校正卡方值檢驗(yàn)

        1.2 洪澇災(zāi)害次數(shù)的分?jǐn)?shù)泊松過程檢驗(yàn)

        假設(shè)H′0:半年內(nèi)洪澇災(zāi)害次數(shù)Nv(t)是服從參數(shù)為v的Mittag-Leffler型分?jǐn)?shù)泊松過程,其分布函數(shù)為:

        表3 樣本數(shù)據(jù)校正卡方值檢驗(yàn)

        1.3 擬合效果比較及模型的確定

        進(jìn)一步,借鑒Lin等[8]4個(gè)擬合全局度量的方法,比較泊松過程和分?jǐn)?shù)泊松過程,計(jì)算結(jié)果如表4所示.

        表4 全局?jǐn)M合誤差度量

        其中,ΔAPE、ΔAAE、ΔARPE和ΔRMSE分別是對平均百分位誤差(APE)、平均絕對誤差(AAE)、平均相對百分位誤差(ARPE)和相對均值平方誤差(RMSE)的度量,計(jì)算公式為:

        PR表示洪澇次數(shù)的實(shí)際頻數(shù),PT是洪澇次數(shù)的理論頻數(shù).

        由表4可知,分?jǐn)?shù)泊松過程的4個(gè)擬合全局度量值均小于泊松過程,這就意味著分?jǐn)?shù)泊松過程比泊松過程更適合洪澇災(zāi)害債券定價(jià)時(shí)的洪澇次數(shù)的擬合.因此,選取分?jǐn)?shù)泊松過程作為中國大陸地區(qū)洪澇損失過程.中國大陸地區(qū)洪澇災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)服從下列分?jǐn)?shù)泊松過程:

        其中Γ(x)為伽馬函數(shù).

        2 洪澇災(zāi)害債券定價(jià)

        瑞士再保險(xiǎn)研究院發(fā)布的《經(jīng)濟(jì)積累和氣候變化時(shí)期的自然災(zāi)害》報(bào)告顯示,2019年保險(xiǎn)業(yè)的賠付中,全球保險(xiǎn)業(yè)賠付自然災(zāi)害和人為災(zāi)害造成1 460億美元經(jīng)濟(jì)損失的40%左右.而目前,中國保險(xiǎn)業(yè)在自然災(zāi)害中的賠付比例僅為10%左右.由此可見,我國保險(xiǎn)市場迫切需要更加有效風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移的方式.

        保險(xiǎn)連接債券連通保險(xiǎn)市場和資本市場,借用資本市場分散保險(xiǎn)市場的風(fēng)險(xiǎn).此外,巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)債券具有無信用風(fēng)險(xiǎn)和增加保險(xiǎn)公司承保能力的優(yōu)點(diǎn).發(fā)行巨災(zāi)債券的關(guān)鍵是科學(xué)的定價(jià),因此更貼合實(shí)際的風(fēng)險(xiǎn)模型為合理定價(jià)提供理論基礎(chǔ).下面對記性洪災(zāi)模型進(jìn)行定價(jià),并與無記憶性進(jìn)行比較.

        2.1 記憶性洪災(zāi)定價(jià)模型的建立

        記憶性洪災(zāi)債券價(jià)格的定價(jià)模型是采用考慮記憶參數(shù)v的Mittag-Leffler分布擬合巨災(zāi)的等待時(shí)間分布,其代替?zhèn)鹘y(tǒng)巨災(zāi)債券定價(jià)模型中的指數(shù)分布.此外,記憶性洪災(zāi)定價(jià)模型通過復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松過程來刻畫洪澇災(zāi)害的抵達(dá)過程,并能捕捉其發(fā)生時(shí)間間隔的記憶性特征.本文根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理,證券在時(shí)間內(nèi)的價(jià)格等于到期損益在唯一等值鞅測度下的期望折現(xiàn)值[18].借鑒Vaugirard[19]使用的計(jì)算到期損益的方法.面值為F和期限為T的零息票債券在時(shí)刻t的價(jià)格為:

        2.2 洪澇災(zāi)害債券價(jià)格確定

        為獲得不同期限的記憶性洪災(zāi)債券價(jià)格,需要進(jìn)行參數(shù)賦值.將本金損失比例w=1,0.5,0,一年期T=1、兩年期T=2和三年期T=3,面值F=100,Mittag-Leffler分布的參數(shù)v=0.133,無風(fēng)險(xiǎn)利率r=2%,記憶性洪災(zāi)債券數(shù)據(jù)分別代入式(4)、式(5)和式(6)中進(jìn)行定價(jià),如圖2所示.

        圖2 不同期限記憶性洪災(zāi)債券價(jià)格

        由圖2可知,記憶性洪災(zāi)債券的本金損失比例越低,債券價(jià)格越高.隨著債券期限越長,本金沒收型債券的價(jià)格越高,因?yàn)槿昶趥L(fēng)險(xiǎn)更大一些.但是本金50%保證型債券和本金保證型債券隨著期限增加而降低.這些是符合市場運(yùn)行規(guī)律.

        2.3 洪澇災(zāi)害債券價(jià)格比較

        本文將洪澇災(zāi)害發(fā)生時(shí)間分別代入服從指數(shù)分布和Mittag-Leffler分布進(jìn)行債券定價(jià),假設(shè)債券面值F=100,無風(fēng)險(xiǎn)利率r=2%,本金損失比例選取w=0.5和w=1,得到無記憶性洪災(zāi)債券和記憶性洪災(zāi)債券價(jià)格,如表5所示.由表5可以看出,傳統(tǒng)采用指數(shù)分布進(jìn)行的無記憶性債券定價(jià)價(jià)格較高,且不受本金損失比例變化的影響.與傳統(tǒng)的無記憶性債券相比,記憶性洪災(zāi)債券價(jià)格隨著本金損失比例的增加而降低,且期限越長債券價(jià)格有所下降.

        表5 記憶性和無記憶性洪災(zāi)債券價(jià)格表

        3 結(jié)語

        我國是洪澇災(zāi)害頻發(fā)的發(fā)展中國家,能否補(bǔ)償洪澇災(zāi)害所造成的損失對社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展有很重要的作用.在分散巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)和補(bǔ)償巨災(zāi)損失方面,巨災(zāi)保險(xiǎn)證券化起著獨(dú)特的優(yōu)勢.因此,通過發(fā)行更加合理的洪澇災(zāi)害債券符合當(dāng)前發(fā)展的迫切需要.

        本文通過對洪澇災(zāi)害損失次數(shù)進(jìn)行卡方檢驗(yàn)和4個(gè)全局度量的比較,得出采用分?jǐn)?shù)泊松過程模擬洪澇災(zāi)害的次數(shù)分布更優(yōu),并利用Mittag-Leffler分布擬合洪澇災(zāi)害的等待時(shí)間,利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理給出記憶性洪災(zāi)債券的價(jià)格.考慮非指數(shù)等待時(shí)間分布的分?jǐn)?shù)泊松過程更好地?cái)M合次數(shù)分布,這為準(zhǔn)確地評估洪澇債券定價(jià)提供一定基礎(chǔ).通過對比傳統(tǒng)的無記憶性洪災(zāi)債券定價(jià),發(fā)現(xiàn)記憶性洪災(zāi)債券定價(jià)更加合理.本文僅對洪澇災(zāi)害債券做初步設(shè)計(jì),關(guān)于其他類型的巨災(zāi)債券定價(jià)還需要進(jìn)一步的研究.

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