■浙江省桐鄉(xiāng)第一中學(xué) 李 鑫

磁懸浮列車問題是相對獨(dú)立的一類題型,探其源頭,可以上溯到2006年全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽的第5題。磁懸浮列車問題包含了相對運(yùn)動、受力分析、能量計算、電機(jī)補(bǔ)償?shù)茸訂栴},下面借助三道例題,將相關(guān)子問題進(jìn)行有序排列,由易到難,幫助同學(xué)們有效練習(xí)。

例1電磁驅(qū)動是現(xiàn)代產(chǎn)業(yè)中的重要技術(shù)。如圖1所示是磁懸浮列車的電磁驅(qū)動模型:列車軌道沿x軸方向,軌道區(qū)域內(nèi)固定一系列電阻r=0.5 Ω 的獨(dú)立線圈,每個線圈通以I0=10 A 的電流后將產(chǎn)生如圖所示的磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B=1 T,相鄰區(qū)域內(nèi)的磁場方向相反。固定在列車底端的金屬框abcd可視為一矩形線圈,其電阻R=0.01 Ω,ab邊的長度為l,與磁場的寬度相同,bc邊的長度L=0.5 m,平行于y軸,金屬框ad、bc兩邊總處于方向相反的磁場中。驅(qū)動列車時,固定在軌道上的獨(dú)立線圈依次通電,等效于金屬框所在區(qū)域的磁場以速度v0=12 m/s勻速向x軸正方向移動,驅(qū)使列車前進(jìn),若列車所受阻力恒為f=200 N。(提示:當(dāng)線圈與磁場存在相對速度v相時,動生電動勢E=BLv相)求:

圖1

(1)列車啟動時刻,金屬框中感應(yīng)電流的方向和大小。

(2)列車所能達(dá)到的最大速率。

(3)當(dāng)列車以恒定速率勻速行駛時,整個系統(tǒng)驅(qū)動列車的效率。

解析:(1)列車啟動時刻,根據(jù)楞次定律可知,金屬框中感應(yīng)電流的方向?yàn)閍dcba,金屬框ad、bc兩邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=2BLv0,金屬框中的感應(yīng)電流

解得I=1.2×103A。

(2)當(dāng)列車達(dá)到最大速率時,有F安=f,其中F安=2BIL,又有vmax,解得vmax=10 m/s。

(3)當(dāng)列車以恒定速率勻速行駛時,有P動力=F安vmax=fvmax,P熱=2I20r+I2R,η=,解得η=80%。

點(diǎn)評:求解(1)問時要注意金屬框的左右兩條邊都在切割磁感線,兩條邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢應(yīng)該疊加。(2)問的第一個易錯點(diǎn)是忽略金屬框的左右兩條邊都將受到安培力的作用,即F安=2BIL;第二個易錯點(diǎn)是忽略計算感應(yīng)電動勢時應(yīng)代入磁場和金屬框的相對速度,而不是磁場的速度或金屬框的速度。(3)問是本題的亮點(diǎn),要求考生充分思考列車在以恒定速率勻速行駛過程中的能量轉(zhuǎn)化問題,不僅要清楚使得金屬框運(yùn)動起來的動力的功率,還要清楚回路中產(chǎn)生的熱功率,明晰產(chǎn)生磁場需要外界供給電流,產(chǎn)生熱損耗。

方法提純:確定電源,識別電路,注意相對運(yùn)動與感應(yīng)電動勢的關(guān)系;對切割磁感線的導(dǎo)體進(jìn)行受力分析時,注意受到安培力的導(dǎo)體的數(shù)量;依據(jù)動力學(xué)關(guān)系寫出相應(yīng)方程,注意達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時的情況;計算功率時注意區(qū)分作用在金屬框上安培力的功率、金屬框的熱功率、外界供給電流的熱功率。

例2如圖2甲所示,間距為L的足夠長平行光滑金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在同一水平面內(nèi),導(dǎo)軌左端接有阻值為R的定值電阻,質(zhì)量為m,電阻為r的金屬桿ab垂直跨接在導(dǎo)軌上,整個裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中,磁場方向豎直向下。沿水平方向施加外力F(未知量)拉金屬桿ab,使之由靜止開始運(yùn)動,電阻R兩端的電壓隨時間變化的關(guān)系如圖2 乙所示,t0時刻對應(yīng)的電壓為U0。已知金屬桿ab在運(yùn)動過程中受到的阻力為其對地速度的k倍,設(shè)金屬桿ab在運(yùn)動過程中始終處于磁場區(qū)域內(nèi),導(dǎo)軌電阻忽略不計。(提示:可以用F-t圖像下方的“面積”代表力F的沖量)求:

圖2

(1)t0時刻,金屬桿ab的速度。

(2)0～t0時間內(nèi),外力F的沖量I。

(3)若磁場有界,開始時金屬桿ab靜止在磁場區(qū)域的右邊界處,如圖3所示?，F(xiàn)使磁場以速度v1勻速向右移動,則當(dāng)金屬桿ab達(dá)到恒定速度時(此時金屬桿ab處于磁場中),外界供給導(dǎo)軌、金屬桿ab系統(tǒng)的功率多大?

圖3

解析:(1)t0時刻,電阻R兩端的電壓為U0,設(shè)金屬桿ab的速度為v0,則金屬桿ab切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=BLv0,根據(jù)歐姆定律得,解得。

(2)根據(jù)U-t圖像可知,電阻R兩端的電壓隨時間呈線性變化,則,即,解得,因此金屬桿ab做勻加速直線運(yùn)動,加速度。根據(jù)牛頓第二定律得F-f-F安=ma,又有,解得F=ma+,因此0～t0時間內(nèi),外力F的沖量。

(3)當(dāng)金屬桿ab受到的阻力等于安培力時,金屬桿ab以恒定速度v2做勻速運(yùn)動,產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=BL(v1-v2),感應(yīng)電流,金屬桿ab受到的安培力F安=BIL,根據(jù)平衡條件得解得。系統(tǒng)消耗的功率包括金屬桿ab的發(fā)熱功率和克服阻力的功率,即P=I2(R+r)+kv2·v2,解得P=。

點(diǎn)評:(1)(2)兩問屬于勻變速運(yùn)動問題,根據(jù)U-t圖像可以斷定金屬桿ab做勻加速直線運(yùn)動。因?yàn)榻饘贄Uab所受安培力和速度成正比,所以安培力和時間也成正比,為了保證金屬桿ab所受外力為恒力,施加在金屬桿ab上的拉力肯定和時間呈線性關(guān)系。(3)問屬于磁懸浮列車問題,著重考查功率問題,且本題中不涉及外界供給電流問題,因此本題中的函數(shù)表達(dá)式雖然比例1 中的復(fù)雜,但其物理過程比例1中的簡潔。

例3科研人員為超高建筑物設(shè)計出了一種磁動力電梯,其工作原理是利用移動的磁場來帶動電梯向上或向下運(yùn)動,可簡化為如圖4所示的模型:PQ和MN是兩根平行豎直軌道,軌道間有垂直于軌道平面的等大反向的勻強(qiáng)磁場B1和B2,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B1=B2=B,兩磁場可以向上運(yùn)動。電梯轎廂固定在金屬框abcd內(nèi)(轎廂未畫出)。已知電梯載人時的總質(zhì)量為m,運(yùn)動時所受阻力為f,金屬框ab、cd兩邊的長度為L,兩磁場的寬度均與金屬框bc邊的長度相同,金屬框的總電阻為R,重力加速度為g。

圖4

(1)假設(shè)兩磁場同時豎直向上以速度v0做勻速直線運(yùn)動來啟動電梯,設(shè)經(jīng)過時間t1電梯速度達(dá)到最大,求電梯向上運(yùn)行的最大速度vmax和這一過程中電梯上升的距離x。

(2)假如電梯達(dá)到最大速度vmax后向上做勻速直線運(yùn)動,求經(jīng)過時間t2金屬框中產(chǎn)生的焦耳熱。

(3)假設(shè)兩磁場由靜止開始向上做勻加速直線運(yùn)動來啟動電梯,當(dāng)兩磁場運(yùn)動的時間為t3時,電梯正以速度v1向上做勻加速直線運(yùn)動,求兩磁場開始運(yùn)動后到電梯開始運(yùn)動所需要的時間t4。

解析:(1)電梯達(dá)到最大速度vmax時,電梯所受合外力為零,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得,金屬框ab邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E1=BL(v0-vmax),金屬框cd邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E2=BL(v0-vmax),金屬框產(chǎn)生的總電動勢E=E1+E2=2BL(v0-vmax),金屬框中的感應(yīng)電流,金屬框受到的安培力F安=,根據(jù)平衡條件得F安=mg+f,解得。根據(jù)動量定理得F安t1- (mg+f)t1=mvmax,即4B2L2x=4B2L2v0t1- (mg+,解得x=。

(2)電梯達(dá)到最大速度vmax后向上做勻速直線運(yùn)動,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得,則經(jīng)過時間t2金屬框中產(chǎn)生的焦耳熱。

(3)為實(shí)現(xiàn)電梯向上做勻加速直線運(yùn)動,其加速度必須與磁場由靜止開始向上做勻加速直線運(yùn)動的加速度相等,設(shè)該加速度為a,在t3時刻,金屬框產(chǎn)生的總感應(yīng)電動勢E=2BL(at3-v1),金屬框中的感應(yīng)電流,對電梯應(yīng)用牛頓第二定律得,解得a=。在電梯開始運(yùn)動的瞬間,金屬框產(chǎn)生的總感應(yīng)電動勢E=2BLat4,金屬框中的感應(yīng)電流,對電梯應(yīng)用牛頓第二定律得0,解得。

點(diǎn)評:本題是磁懸浮列車問題的進(jìn)一步變形,與前兩個例題相比有三點(diǎn)變化。第一,從水平方向上的運(yùn)動換到了豎直方向上的運(yùn)動,分析金屬框的受力情況時不要遺忘阻力和重力;第二,前兩個例題中的磁場都是勻速運(yùn)動,而本題中的磁場可以做勻加速直線運(yùn)動,同學(xué)們需要認(rèn)識到不管磁場是做勻速運(yùn)動還是做勻變速運(yùn)動,磁懸浮列車問題關(guān)注的都是研究對象達(dá)到相對穩(wěn)定狀態(tài)時的情況,在穩(wěn)定狀態(tài)下,金屬框做的是勻變速運(yùn)動,且金屬框的加速度與磁場的加速度相同;第三,本題融入了動量定理的應(yīng)用,需要應(yīng)用動量定理和累積思想去求解位移。