費(fèi)清平，葉秀婷

(1.深圳市南頭中學(xué)；2. 惠州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院)

0 引言

不等式問(wèn)題是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的熱點(diǎn)問(wèn)題，每一屆數(shù)學(xué)競(jìng)賽中幾乎都會(huì)涉及到不等式[1]。因此，研究不等式、對(duì)不等式進(jìn)行推廣，不僅有利于不等式本身的發(fā)展，而且一定程度上促進(jìn)了數(shù)學(xué)競(jìng)賽的發(fā)展。

(1)

其中a1,a2,…,an∈(0,+∞),n>k≥1(k∈+)。當(dāng)k=1時(shí)，不等式(1)變成：

(2)

其在形式結(jié)構(gòu)上與一類(lèi)關(guān)于不等式的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題目具有很大的相似性，例如文獻(xiàn)[3]中的特例1，特例2，特例5，特例6等等。歸結(jié)起來(lái)，這類(lèi)題目結(jié)構(gòu)如下：

(3)

是由n個(gè)正數(shù)構(gòu)成的n個(gè)分式和不等式，其中n個(gè)分母都是n-1個(gè)正數(shù)之和，且每個(gè)正數(shù)在分母中共出現(xiàn)n-1次，分子都是不包含在分母中的正數(shù)的m次冪[4]。

(4)

證明 記bi=ai+ai+1+…+ai+k-1,(an+1=a1,an+2=a2),即

不妨設(shè)b1≥b2≥…≥bn>0，則b1α≥b2α≥…≥bnα>0，且0

(S-b1)-β≥(S-b2)-β≥…≥(S-bn)-β.

運(yùn)用切比雪夫不等式得

又運(yùn)用冪平均不等式，由于α≥1，所以有

因此，

又因?yàn)?β<1，所以有

于是

從而

即有

因此不等式(4)得證。

特別地，在不等式(4)中，取k=1時(shí)可得以下推論,

推論1 設(shè)a1,a2,…,an∈(0,+∞)，n>1，n∈，

且α≥β>0，α≥1，則

(5)

(6)

證明 因?yàn)棣痢荭隆?，對(duì)正數(shù)x1,x2,…,xn運(yùn)用冪平均不等式

則

對(duì)不等式(6)左邊各分式的式子運(yùn)用以上不等式，然后再利用不等式(4)得不等式(6)的左邊

再次運(yùn)用冪平均不等式，因?yàn)棣隆?，所以有

則

從而有

所以，不等式(6)得證。

(注：定理1與定理2中要求指數(shù)α≥1，但當(dāng)α≤-1時(shí)，有-α≥1，此時(shí)仍然滿(mǎn)足兩個(gè)定理的條件，因此當(dāng)指數(shù)α≤-1時(shí)兩個(gè)定理仍適用。)

2 新不等式在一類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中的應(yīng)用

下面簡(jiǎn)要給出本文結(jié)果在形如不等式(3)這類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中的便捷應(yīng)用，例如引言部分提到的幾個(gè)例子。

例1 (第2屆“友誼杯”國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽)若a，b，c是正數(shù)，證明：

證明 在不等式(5)中，取n=3，α=2，β=1得

故原不等式得證。

注：在不等式(6)中，取k=1，n=3，α=2，β=1同樣可得上述證明結(jié)果。

例2 (第31屆IMO預(yù)選題)若a，b，c，d是滿(mǎn)足ab+bc+cd+ad=1的非負(fù)實(shí)數(shù)，試證：

證明：在不等式(5)中，取n=4，α=3，β=1得

因?yàn)閍b+bc+cd+ad=(a+c)(b+d)=1，所以

[(a+c)+(b+d) ]2≥4(a+c)(b+d)

?(a+b+c+d)2≥4

因此，

原不等式得證。

注 在不等式(6)中，取k=1，n=4，α=3，β=1同樣可得上述證明結(jié)果。

例3 (第28屆IMO預(yù)選題)若a，b，c是三角形的三邊邊長(zhǎng)，且2S=a+b+c.試證：

這里m≥1.

證明 在不等式(5)中，取n=3,α=m,β=1得

注 在不等式(6)中，取k=1，n=3，α=m，β=1同樣可得以上證明結(jié)果。

例4 (第四屆數(shù)學(xué)冬令營(yíng))設(shè)x1,x2,…,xn都是正數(shù)(n≥2)，且

求證：

運(yùn)用冪平均不等式得

所以

故原不等式得證。