尹耀得 趙德敏 劉建林 許增耀 侯 偉

(中國石油大學(xué)(華東)工程力學(xué)系,山東青島 266580)

引言

介電彈性體(dielectric elastomer,DE)在近二十年來由于其力電耦合特性受到了科學(xué)家和工程師廣泛的關(guān)注[1-2].在電場作用下,DE 會(huì)發(fā)生機(jī)械變形,反之亦然[3].丙烯酸彈性體VHB 4910 是一類重要的DE,由于其力電耦合特性以及低剛度、低成本、低噪音、快速響應(yīng)、高能量密度和良好的生物相容性等優(yōu)點(diǎn)[4],該材料在軟體機(jī)器人、人工肌肉、可穿戴電子產(chǎn)品、人機(jī)交互、俘能器、傳感器和智能隔振等領(lǐng)域具有很好的發(fā)展前景[5-8].但該材料是一種非常軟的黏彈性材料,它的彈性模量僅為千帕量級(jí)[8],其黏彈性對(duì)材料的力學(xué)性能影響巨大[9].這種具有極低剛度的強(qiáng)非線性彈性體材料同樣引起了力學(xué)工作者的研究興趣[10-12].

彈性體在外界載荷作用下可以發(fā)生大變形,卸載后可恢復(fù)原形,且未發(fā)生能量損耗,這種行為稱為超彈性,其本構(gòu)關(guān)系可由應(yīng)變能函數(shù)確定[13-14].彈性體的超彈性模型也仍是值得研究的課題.例如,肖銳等[15]最近從聚合物的微觀物理出發(fā),提出了考慮纏結(jié)效應(yīng)的超彈性模型,較好地描述了不同變形形式下的彈性體本構(gòu)關(guān)系.超彈性彈性體的本構(gòu)關(guān)系是一種典型的非線性本構(gòu)關(guān)系,但是單一的超彈性本構(gòu)關(guān)系無法捕捉時(shí)間相關(guān)的材料力學(xué)行為.黏彈性指材料或物質(zhì)可以同時(shí)發(fā)生彈性和黏性兩種不同機(jī)理的變形特征,綜合呈現(xiàn)出彈性固體和黏性流體兩者的力學(xué)行為.率相關(guān)性是一種典型的時(shí)間相關(guān)的材料力學(xué)行為,或者說黏彈性力學(xué)行為,它指材料的應(yīng)力不僅與應(yīng)變(或伸長率)相關(guān),還與應(yīng)變率(或伸長速率)相關(guān).郭玲梅等[16]利用萬能試驗(yàn)機(jī)和霍普金森壓桿實(shí)驗(yàn)測試了硅橡膠在低、高應(yīng)變率下的單軸拉伸數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)其拉伸力學(xué)行為與應(yīng)變率呈正相關(guān).這也說明為了模擬彈性體材料的率相關(guān)性,應(yīng)當(dāng)引入非線性黏彈性模型.段興宇等[17]建立了考慮內(nèi)稟時(shí)間變量的黏超彈性模型以研究彈性體的率相關(guān)行為,探討了模型參數(shù)對(duì)模型的影響規(guī)律,但并未完成參數(shù)識(shí)別工作.雷經(jīng)發(fā)等[18]采用修正的ZWT 非線性黏彈性較好地描述了聚氯乙烯彈性體在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)載荷下的單軸拉伸力學(xué)性能的率相關(guān)性,但該模型并非張量形式,無法推廣到有限變形力學(xué)理論.黃銳宇等[19]基于非線性黏超彈性力學(xué)模型研究了聚硅氧烷硅膠在大變形和高應(yīng)變率下的動(dòng)態(tài)力學(xué)行為,并進(jìn)一步研究了模型對(duì)于落錘沖擊實(shí)驗(yàn)的預(yù)測能力,模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合較好.Wiemann[20]回顧了常用的非線性黏彈性模型,并指出了建立可以準(zhǔn)確描述彈性體力學(xué)響應(yīng)的黏彈性模型的重要性.

丙烯酸類彈性體由于其更低的剛度和更加明顯的黏彈性行為,其本構(gòu)響應(yīng)更加難以研究.Qu 等[21]研究了丙烯酸類DE 材料VHB 9473 在純剪切拉伸下的率相關(guān)性,發(fā)現(xiàn)材料純剪切拉伸有明顯的拉伸速率和電場依賴性.Wissler 和Mazza[22]首先使用Prony 級(jí)數(shù)理論,來研究VHB 4910 彈性體時(shí)間相關(guān)的黏彈性力學(xué)行為.然而Prony 級(jí)數(shù)在識(shí)別過程對(duì)噪聲異常敏感[23],直接對(duì)實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù)擬合得到的參數(shù)不穩(wěn)定,甚至可能影響模型結(jié)果的精度.Sahu和Patra[24]系統(tǒng)地完成了VHB 4910 的單軸拉伸、加載卸載、循環(huán)軟化和多步松弛的率相關(guān)實(shí)驗(yàn)測試,但是對(duì)于單向拉伸力學(xué)的率相關(guān)性沒有找到合適的模型進(jìn)行模擬.Chiang Foo 等[25]和Zhao 等[9]通過基于熱力學(xué)的流變學(xué)模型來捕捉材料的率相關(guān)行為,選用的模型為一個(gè)彈簧與Maxell 單元并聯(lián),即標(biāo)準(zhǔn)線性黏彈性固體模型.該模型盡管可以很好地捕捉材料的率相關(guān)性,但是建模過程中采用了變形梯度的乘法分解,并引入了內(nèi)變量.這一方面增加了控制方程的數(shù)量;另一方面,分解后的變形梯度無法通過實(shí)驗(yàn)測得.這種建模方法最早源自Gurtin 的帶內(nèi)變量的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論[26],引入內(nèi)變量也是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中研究黏彈性材料的一種常用手段.

分?jǐn)?shù)階理論具有遺傳和記憶效應(yīng)[27],可以自然地考慮材料的歷史行為的影響,適用于黏彈性力學(xué)建模.與整數(shù)階理論相比,分?jǐn)?shù)階理論可以用較少的材料參數(shù)在較寬的參數(shù)范圍內(nèi)較好地?cái)M合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[28-29].利用張量的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)工具可以建立大變形的分?jǐn)?shù)階黏彈性模型.該方法不用引入任何內(nèi)變量,也就不會(huì)增加控制方程的數(shù)量,因此該理論是在Gurtin 的經(jīng)典理論之外的.Shen[30]研究了大變形的黏彈性彈性分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型,并討論了一些張量函數(shù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義.Drotzdov[29]給出了一種張量函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義,并發(fā)展了相關(guān)的分?jǐn)?shù)階理論.最近,Zhao 等[31]發(fā)展了DE 的大變形分?jǐn)?shù)階黏彈性理論,并將其運(yùn)用到DE 的動(dòng)力學(xué)研究上.

為了捕捉丙烯酸彈性體VHB 4910 的率相關(guān)性行為,本文采用分?jǐn)?shù)階的大變形黏彈性本構(gòu)關(guān)系.首先建立考慮短時(shí)記憶的張量本構(gòu)關(guān)系,并推導(dǎo)單向拉伸下的本構(gòu)關(guān)系.隨后完成丙烯酸彈性體VHB 4910 在拉伸速率在 0.001 67～0.166 67 s-1范圍內(nèi)的8 組單向拉伸實(shí)驗(yàn).最后基于8 組單向拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)完成模型的參數(shù)識(shí)別工作,并對(duì)模型擬合的結(jié)果進(jìn)行討論.

1 本構(gòu)模型

1.1 張量本構(gòu)

在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中,通常引入變形梯度張量F=?x/?X來描述物體的變形.對(duì)于黏彈性材料,為了考慮其變形歷史的影響,還需引入相對(duì)變形梯度張量Fτ和變形速度張量D.規(guī)定初始構(gòu)型未發(fā)生變形時(shí)為0 時(shí)刻,則它們的定義如下

式中,t指現(xiàn)時(shí)構(gòu)型所對(duì)應(yīng)時(shí)刻,τ 指變形歷程中某一構(gòu)型所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻.

對(duì)于整數(shù)階張量理論,其導(dǎo)數(shù)的定義已經(jīng)得到很好發(fā)展.而將這些整數(shù)階的張量導(dǎo)數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)階仍是亟待解決的問題.而對(duì)于張量函數(shù)的導(dǎo)數(shù),很重要的一點(diǎn)就是應(yīng)滿足客觀性原則[30,32].Drotzdov[29]將張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)推廣到了分?jǐn)?shù)階,并且討論了其客觀性.他給出的張量函數(shù)的分?jǐn)?shù)階協(xié)變導(dǎo)數(shù)定義如下

式中,V指原張量函數(shù),α∈(0,1) 為求導(dǎo)的階數(shù),V□指張量的整數(shù)階協(xié)變導(dǎo)數(shù).算子 J-α為Abel 核,滿足

式中,對(duì)于任意復(fù)變量z的Euler Gamma 函數(shù) Γ(z) 定義為

如圖1 所示,本文所采用的流變學(xué)模型為大變形的分?jǐn)?shù)階Kelvin-Voigt 模型.它由一個(gè)彈性體彈簧與一個(gè)分?jǐn)?shù)階阻尼器并聯(lián)組成.對(duì)于彈性體彈簧,當(dāng)發(fā)生大變形時(shí),其本構(gòu)關(guān)系不再滿足廣義胡克定律,而應(yīng)滿足有限變形或者說大變形理論.對(duì)于均勻、各向同性的不可壓縮彈性體彈簧,其超彈性應(yīng)力 σs可以表達(dá)為

圖1 分?jǐn)?shù)階Kelvin-Voigt 模型Fig.1 Fractional Kelvin-Voigt model

式中,p是靜水壓力,由邊界條件求得;I為單位二階張量;B=FFT是Cauchy-Green 張量;系數(shù) ψ1和ψ2與彈性應(yīng)變能密度W相關(guān),滿足

式中,I1和I2分別為Cauchy-Green 張量B的第一和第二不變量.對(duì)于整數(shù)階阻尼器,當(dāng)其簡化為牛頓流體時(shí),其本構(gòu)關(guān)系與變形速度張量成正比.而分?jǐn)?shù)階的阻尼器的黏性應(yīng)力與變形速度張量的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)成正比,即

式中,σv和 η分別表示黏性應(yīng)力和黏性系數(shù),D{α}為變形速度張量的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).

經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階理論認(rèn)為材料具有完全的記憶,即材料的本構(gòu)響應(yīng)與所有的材料歷史行為相關(guān).短記憶原理則認(rèn)為材料僅具備部分記憶,即其本構(gòu)響應(yīng)僅與最近一段時(shí)間的材料歷史行為相關(guān),于是就引入了材料記憶的特征時(shí)間[33].考慮式(2)和式(3)并引入分?jǐn)?shù)階的短記憶理論,D{α}可以定義為

式中,lt∈[0,t) 表示材料記憶的特征時(shí)間.對(duì)于分?jǐn)?shù)階大變形Kelvin-Voigt 模型,總的Cauchy 應(yīng)力 σ 為超彈性應(yīng)力和黏性應(yīng)力的和,其表達(dá)式為

1.2 單向拉伸本構(gòu)

定義試件在單軸拉伸方向上的原始長度為L,伸長后的長度為l,則定義拉伸方向上的伸長率λ=l/L.容易得到單軸拉伸情況下的變形梯度為

上式考慮了材料的不可壓縮假設(shè).基于1.1 節(jié)中的張量本構(gòu),推導(dǎo)得到3 個(gè)主方向上的Cauchy 應(yīng)力分量,有

式中,定義W1=?W/?I1和W2=?W/?I2.

由自由邊界條件 σ2=σ3=0,可以得到靜水壓力p的表達(dá)式.于是,單向拉伸條件下的Cauchy 應(yīng)力表達(dá)式為

在后文的參數(shù)識(shí)別過程中,本文選用名義應(yīng)力(工程應(yīng)力) 與伸長率的關(guān)系表達(dá).名義應(yīng)力s與Cauchy 應(yīng)力 σ 之間滿足轉(zhuǎn)換式 σ=JsF-1,其中J為表示體積膨脹的參數(shù),對(duì)于不可壓縮情況為1.容易得到單向拉伸情況下伸長方向的名義應(yīng)力表達(dá)式為

式中的積分存在弱的奇異性,在計(jì)算時(shí)通?？刹捎脧?fù)化積分公式進(jìn)行逼近,本文選用復(fù)化矩形公式計(jì)算分?jǐn)?shù)階的本構(gòu)響應(yīng).

2 單向拉伸實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)中測試的材料為3M 公司生產(chǎn)的丙烯酸彈性體VHB 4910,這也是實(shí)驗(yàn)室中常用的一種新型彈性體材料.與一般的橡膠材料相比,具有更低的剛度,更加容易發(fā)生大變形.如圖2 所示,所測試樣為50 mm×30 mm×1 mm的條帶狀薄膜試樣.實(shí)驗(yàn)過程中控制拉伸速率為單一變量,研究拉伸速率變化對(duì)材料應(yīng)力與變形的影響規(guī)律.測得材料在拉伸速率為0.001 67 s-1,0.008 33 s-1,0.016 67 s-1,0.033 33 s-1,0.066 67 s-1,0.100 00 s-1,0.133 33 s-1,0.166 67 s-1下8 組拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).為保證測得數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性,每組測試均準(zhǔn)備5 組平行試樣.

圖2 試樣的示意圖(單位:mm)Fig.2 Schematics of specimen (unit:mm)

3 結(jié)果與討論

基于本文給出分?jǐn)?shù)階Kelvin-Voigt 模型的可加性本構(gòu)關(guān)系即式(10),可以將總的應(yīng)力解耦為超彈性彈簧應(yīng)力與分?jǐn)?shù)階阻尼器的黏性應(yīng)力.本節(jié)將分別對(duì)不考慮時(shí)間的超彈性彈簧和考慮時(shí)間的分?jǐn)?shù)階阻尼器元件進(jìn)行參數(shù)識(shí)別,并以擬合的決定系數(shù)R2來對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行評(píng)判,最后對(duì)識(shí)別結(jié)果進(jìn)行討論.決定系數(shù)R2的計(jì)算公式為[34]

式中,n表示數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù),di表示各實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的值,表示其平均值,si表示各模型預(yù)測點(diǎn)的值.決定系數(shù)R2滿足 0≤R2≤1 ,當(dāng)R2≈1 時(shí),擬合結(jié)果良好.

作為模型的初步研究,下文參數(shù)識(shí)別過程中模型記憶的時(shí)間特征長度lt均取0 值,即假設(shè)材料具備完全的記憶[33].

3.1 彈簧模型識(shí)別與優(yōu)選

彈性體彈簧單元滿足超彈性模型,常用于丙烯酸彈性體VHB 4910 的超彈性模型有單參數(shù)的Neo-Hookean 模型以及雙參數(shù)的Mooney-Rivlin 模型和Gent 模型等[4,35],它們對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能密度表達(dá)式分別如下

式中,CN-H,C1M-R,C2M-R,CG和Jlim均表示材料參數(shù).

觀察式(15)中給出的單向拉伸本構(gòu)關(guān)系,容易得到:當(dāng)拉伸速率很低時(shí),分?jǐn)?shù)階黏彈性單元對(duì)總的應(yīng)力大小的影響很小,模型中超彈性應(yīng)力占主導(dǎo)地位.故選取拉伸速率為0.001 67 s-1情況下的測試數(shù)據(jù)擬合超彈性的彈簧模型,并忽視分?jǐn)?shù)階黏性力的影響,即略去式(15)中的后兩項(xiàng),僅考慮超彈性部分應(yīng)力.分別用上述3 種模型擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),所得擬合結(jié)果如圖3 所示.可以清晰地觀察到Mooney-Rivlin 模型對(duì)模型地?cái)M合結(jié)果最好.表1 給出了3 種模型擬合的材料參數(shù)和表征擬合效果的決定系數(shù)R2.決定系數(shù)越趨近于1 表明模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果越好.量化的結(jié)果同樣表明Mooney-Rivlin 模型具有最高的擬合精度.因此,本文將在后續(xù)的分?jǐn)?shù)階黏彈性單元的參數(shù)識(shí)別中采用Mooney-Rivlin 模型及其相關(guān)的參數(shù)來計(jì)算彈簧單元的超彈性應(yīng)力.可以發(fā)現(xiàn)丙烯酸彈性體的彈性系數(shù)均在千帕量級(jí),確實(shí)是一種非常柔軟的材料.

圖3 3 種超彈性模型的擬合曲線Fig.3 Fitting curves of the three hyperelastic models

表1 超彈性模型的材料參數(shù)Table 1 Material parameters of hyperelastic models

3.2 分?jǐn)?shù)階阻尼器識(shí)別與討論

在彈簧的超彈性應(yīng)力的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步地疊加分?jǐn)?shù)階阻尼器的黏性應(yīng)力,引入時(shí)間的影響,以研究低剛度彈性體材料的力學(xué)響應(yīng)的率相關(guān)性.分別對(duì)伸長速率 λ˙ 為0.008 33 s-1,0.016 67 s-1,0.033 33 s-1,0.066 67 s-1,0.100 00 s-1,0.133 33 s-1,0.166 67 s-1,7 種情況下的實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,得到的名義應(yīng)力s與伸長率λ的曲線,如圖4 所示.圖中符號(hào)表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),實(shí)線表示模型擬合計(jì)算結(jié)果.

圖4 不同拉伸速率下的可變階數(shù)的分?jǐn)?shù)階模型的擬合曲線Fig.4 Fitting curves of the fractional model with variable order for different stretch rates

在本次擬合過程中,黏性系數(shù) η 與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù) α 均被視為待求變量.所得材料參數(shù)及擬合結(jié)果的決定系數(shù)均紀(jì)錄于表2.可以觀察到分?jǐn)?shù)階模型對(duì)7 組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)都擬合地很好,擬合結(jié)果的決定系數(shù)均在0.99 以上.這表明本文采用的分?jǐn)?shù)階Kelvin-Voigt 模型確實(shí)可以在較寬的參數(shù)范圍內(nèi)模擬丙烯酸彈性體的拉伸率相關(guān)性行為,即使是對(duì)這種具有極低剛度的彈性體材料,模型依然很好地模擬了其非線性的黏彈性行為.

表2 不同拉伸速率下可變階數(shù)的分?jǐn)?shù)階模型的材料參數(shù)Table 2 Material parameters of the fractional model with variable order for different stretch rates

進(jìn)一步探究分?jǐn)?shù)階模型對(duì)彈性體率相關(guān)性的擬合能力,固定分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù) α 為一個(gè)定值,取為0.33,再次對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,擬合結(jié)果如圖5 所示.擬合所得參數(shù)及結(jié)果的決定系數(shù)如表3 所示.可以觀察到,即使減少了擬合過程中的變量,該分?jǐn)?shù)階模型對(duì)7 組不同拉伸速率下的單軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的決定系數(shù)依然均在0.99 以上.

表3 不同拉伸速率下固定階數(shù)的分?jǐn)?shù)階模型的材料參數(shù)Table 3 Material parameters of the fractional model with constant order for different stretch rates

圖5 不同拉伸速率下的固定階數(shù)的分?jǐn)?shù)階模型的擬合曲線Fig.5 Fitting curves of the fractional model with constant order for different stretch rates

圖6 給出了兩組參數(shù)識(shí)別結(jié)果的決定系數(shù)的對(duì)比圖,可以發(fā)現(xiàn)固定分?jǐn)?shù)階的擬合結(jié)果的決定系數(shù)與可變階數(shù)的擬合結(jié)果的決定系數(shù)相比略有降低,但是決定系數(shù)降低程度并不大.由此可以得出結(jié)論:固定分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)對(duì)模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果的影響并不大.但由于固定階數(shù)可以大大減少識(shí)別參數(shù)的個(gè)數(shù),簡化模型識(shí)別過程,因此固定階數(shù)的分?jǐn)?shù)階模型是更加實(shí)用的模型,盡管這確實(shí)降低了擬合的精度.

圖6 兩種識(shí)別方法的決定系數(shù)對(duì)比圖Fig.6 Compared diagram of coefficients of determination of the two identified approaches

上述兩次參數(shù)識(shí)別結(jié)果同時(shí)也顯示,大變形分?jǐn)?shù)階黏彈性模型的黏性系數(shù)隨著拉伸速率的變化而變化,并非定值.這是一種典型的非牛頓流體的特性,由此可以得出大變形的分?jǐn)?shù)階阻尼器是一種非牛頓流體模型的結(jié)論.

對(duì)于固定分?jǐn)?shù)階階數(shù)的參數(shù)識(shí)別,模型中的黏性系數(shù)η為單一變量,便于揭示黏性系數(shù)與拉伸速率的關(guān)系,故進(jìn)一步地討論固定階數(shù)的分?jǐn)?shù)階模型的參數(shù)識(shí)別結(jié)果.圖7 給出了固定階數(shù)的黏性系數(shù)隨拉伸速率變化的曲線.可以看出,黏性系數(shù)隨拉伸速率變化趨勢呈明顯的非線性.黏性系數(shù)隨著拉伸速率的增加先上升隨后趨于穩(wěn)定.這是一種典型的非牛頓流體特性[36].

為了定量描述黏性系數(shù)與拉伸速率的關(guān)系,本文采用Cross 流體模型[37]和改進(jìn)的冪律定律來描述這種非線性關(guān)系.對(duì)于Cross 流體模型,其黏性系數(shù)滿足

式中,η∞,η0,k和n均為模型參數(shù).圖7 中紅色實(shí)線給出了Cross 模型的擬合結(jié)果,擬合決定系數(shù)R2=0.987 47.基于Cross 流體模型的經(jīng)驗(yàn)公式如下

圖7 固定階數(shù)分?jǐn)?shù)階模型的黏性系數(shù)隨拉伸速率的變化曲線Fig.7 Viscosity vs.stretch rate curve for fixed order fractional model

冪律定律的改進(jìn)方法為:在一般非牛頓流體滿足的冪律定律的基礎(chǔ)上乘以與伸長速率相關(guān)的修正核函數(shù).所得經(jīng)驗(yàn)公式如下

式中,K,A,B,C和D均為經(jīng)驗(yàn)系數(shù).若令a0=KA/4,a1=KB/4,a2=KC/4和a3=KD/4,則式(22)可以簡化為如下形式

經(jīng)過擬合之前的識(shí)別結(jié)果,得到的經(jīng)驗(yàn)公式如下

該經(jīng)驗(yàn)公式與數(shù)據(jù)的擬合決定系數(shù)為R2=0.996 13 ≈1,與Cross 模型相比有更高的擬合精度,便于直接應(yīng)用,擬合效果如圖7 中藍(lán)色實(shí)線所示.

4 結(jié)論

本文利用張量的分?jǐn)?shù)階協(xié)變導(dǎo)數(shù)的概念,應(yīng)用分?jǐn)?shù)階大變形Kelvin-Voigt 模型建立了考慮記憶特征時(shí)間長度的彈性體非線性黏彈性本構(gòu)關(guān)系.對(duì)8 組不同拉伸速率下的VHB 4910 單軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別,得到了具有高擬合決定系數(shù)的材料參數(shù).得到主要結(jié)論如下:

(1) 證明Mooney-Rivlin 模型對(duì)VHB 4910 超彈性應(yīng)力的擬合精度較高;

(2) 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)對(duì)模型擬合結(jié)果精度的影響并不大,可在識(shí)別過程中固定分?jǐn)?shù)階模型的階數(shù)為定值,即 α=0.33 ;

(3) 分?jǐn)?shù)階元件的黏性系數(shù)與拉伸速率呈明顯的非線性關(guān)系,這表明大變形分?jǐn)?shù)階模型是一種非牛頓流體模型.進(jìn)一步得到修正的冪律定律以定量描述黏性系數(shù)與拉伸速率間的關(guān)系,關(guān)系式為

另外,本文實(shí)驗(yàn)的拉伸速率范圍是在0.001 67～0.166 67 s-1,在該實(shí)驗(yàn)的拉伸速率范圍內(nèi),分?jǐn)?shù)階模型顯然是適用的.實(shí)際上,分?jǐn)?shù)階的本構(gòu)模型并不局限于某一拉伸速率范圍,若在其他的拉伸范圍內(nèi)通過擬合新的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),可以得到新的材料參數(shù).總之,分?jǐn)?shù)階模型的擬合能力較整數(shù)階模型有所提升.