于香杰 * 游斌弟 魏 承 * 趙 陽(yáng) * 夏 斌 劉朝旭 *

* (哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院,哈爾濱 150001)

? (哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)海洋工程學(xué)院,山東威海 264200)

引言

近年來(lái),隨著在軌航天器輕量化設(shè)計(jì)的提出,具備低質(zhì)量特性的異性復(fù)合材料及變截面質(zhì)量?jī)?yōu)化方式逐步被應(yīng)用于各類(lèi)航天器構(gòu)件的設(shè)計(jì)中,形成復(fù)合變截面柔性航天構(gòu)件[1].變截面梁是根據(jù)大型梁類(lèi)航天構(gòu)件的不同邊界條件及結(jié)構(gòu)應(yīng)力差異對(duì)其質(zhì)量進(jìn)行重新分配所形成的典型變截面結(jié)構(gòu),該方式可有效增加航天器有效載荷重量,提高航天運(yùn)載效率.然而,大型梁類(lèi)構(gòu)件通過(guò)變截面質(zhì)量?jī)?yōu)化方式來(lái)提高工作能力的同時(shí),不可避免的會(huì)引起系統(tǒng)整體結(jié)構(gòu)剛度降低、模態(tài)阻尼減小[2],使其結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制更為復(fù)雜化[3].此類(lèi)振動(dòng)將耦合熱輻射環(huán)境、結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)等因素發(fā)生非線(xiàn)性擾動(dòng)[4],該類(lèi)擾動(dòng)在空間微重力環(huán)境下易激發(fā)系統(tǒng)非收斂式振動(dòng),甚至引起航天器系統(tǒng)失效[5].

Thornton 和Kim[6]通過(guò)建立太陽(yáng)帆懸臂結(jié)構(gòu)在熱載荷下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)規(guī)律曲線(xiàn)成功預(yù)測(cè)了哈勃太空望遠(yuǎn)鏡懸臂結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性熱致響應(yīng),以此驗(yàn)證空間熱載荷對(duì)航天系統(tǒng)工作精度的重要影響.郭紅軍等[7]采用有限元法分析了階梯式變截面桅桿在不同太陽(yáng)熱流方向下的固有頻率及振型.張弛等[8]和王琳杰等[9]均對(duì)航天器結(jié)構(gòu)屬性與空間熱載荷間的耦合規(guī)律進(jìn)行總結(jié)分析,指出機(jī)-熱系統(tǒng)中復(fù)雜的非線(xiàn)性耦合影響關(guān)系難以通過(guò)準(zhǔn)確關(guān)系式進(jìn)行表述.張軍徽等[10]通過(guò)對(duì)太陽(yáng)帆桅桿在軌交替熱響應(yīng)分析得出,僅通過(guò)提高桅桿壁厚無(wú)法緩解熱致變形影響.上述文獻(xiàn)分析結(jié)果均指出空間熱載荷易激勵(lì)航天器構(gòu)件柔性變形及非線(xiàn)性振動(dòng),且難以通過(guò)被動(dòng)控制方式對(duì)其變形進(jìn)行抑制.同時(shí),多數(shù)研究[11]均基于小變形假設(shè),難以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)大變形狀態(tài)下變截面梁類(lèi)構(gòu)件的變形及應(yīng)變狀態(tài).

Shabana[12]于1997 年首次提出了絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法(ANCF),該方法通過(guò)絕對(duì)節(jié)點(diǎn)來(lái)表征有限單元的變形狀態(tài),可避免科氏加速度所引起的非線(xiàn)性附加項(xiàng),從而提高大變形條件下變截面梁構(gòu)件動(dòng)態(tài)行為建模效率與精度.Shen[13]通過(guò)ANCF 建立了在軌柔性展開(kāi)機(jī)械臂熱動(dòng)力學(xué)行為響應(yīng)分析,其數(shù)值分析結(jié)果可有效預(yù)測(cè)熱沖擊作用下航天構(gòu)件變形響應(yīng).Yoo 等[14]采用ANCF 建立了端部附加質(zhì)量的連續(xù)變截面桅桿動(dòng)力學(xué)方程,并利用高速攝像機(jī)獲取了變截面桅桿的變形數(shù)據(jù),驗(yàn)證了ANCF 求解大變形運(yùn)動(dòng)的有效性和準(zhǔn)確性.劉鋮等[15]利用第一類(lèi)Piola-Kirchhoff 應(yīng)力張量的方法推導(dǎo)了高效ANCF應(yīng)變計(jì)算方法.傳統(tǒng)ANCF 建立變截面梁類(lèi)構(gòu)件位移場(chǎng)的過(guò)程中,多以結(jié)構(gòu)中性線(xiàn)變形狀態(tài)作為參考基礎(chǔ)[16-17],通過(guò)分析參考點(diǎn)與中性線(xiàn)間的位置關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)任意點(diǎn)的變形預(yù)測(cè).然而在傳統(tǒng)分析過(guò)程中,變截面梁類(lèi)構(gòu)件的中性線(xiàn)均被假設(shè)與結(jié)構(gòu)幾何中位線(xiàn)重合,忽略結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性及材料各項(xiàng)異性對(duì)構(gòu)件中性線(xiàn)的偏差影響,由此難以準(zhǔn)確描述參考點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài).

同時(shí),隨著智能材料及其附屬結(jié)構(gòu)的提出,采取主動(dòng)抑振措施來(lái)降低結(jié)構(gòu)振動(dòng)已成為提高航天構(gòu)件在軌工作性能的重要舉措[18-20].壓電材料鑒于其特有的正逆壓電效應(yīng),不僅可根據(jù)外部構(gòu)件變化調(diào)整自身傳感及作動(dòng)能力,同時(shí)還具備高靈敏度、高動(dòng)態(tài)性、易加工、附重小以及頻帶寬等動(dòng)態(tài)優(yōu)勢(shì)性能,因而被廣泛應(yīng)用于柔性航天器構(gòu)件的智能抑振抑變結(jié)構(gòu)中[21-23].

Alfredo 和Sergio[24]及Erturk 和Inman[25]分別建立了Euler-Bernoulli 梁下壓電效應(yīng)的解析算法模型,從而精確預(yù)測(cè)參考點(diǎn)處的變形狀態(tài).Azimi 等[26]利用拉格朗日公式分析驗(yàn)證了鋯鈦酸鉛型壓電片(PZT)在航天器回轉(zhuǎn)過(guò)程中對(duì)柔性附件的變形及振動(dòng)抑制能力,之后并成功將其應(yīng)用于航天器姿態(tài)控制組件之中.Fazelzadeh 和Azadi[27]分別采用壓電材料作為智能衛(wèi)星系統(tǒng)的傳感及作動(dòng)結(jié)構(gòu),并利用拉格朗日-瑞利-里茲方法建立了航天系統(tǒng)在熱沖擊作用下的非線(xiàn)性控制方程,成功驗(yàn)證壓電智能材料對(duì)柔性構(gòu)件熱致振動(dòng)的抑制能力.Li 和Shi[28]及Zhang 等[29]分別通過(guò)微分求積技術(shù)及PID 控制對(duì)壓電結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)進(jìn)行抑制.上述文獻(xiàn)均依靠于傳感型壓電片獲取參考點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài),并利用相應(yīng)控制算法獲取作動(dòng)型壓電片的驅(qū)動(dòng)控制電壓,以實(shí)現(xiàn)主動(dòng)抑振控制系統(tǒng)的搭建.

依據(jù)文獻(xiàn)分析可知,精確描述壓電參考點(diǎn)處的應(yīng)變是實(shí)現(xiàn)航天器柔性構(gòu)件主動(dòng)控制的重要前提.然而目前變截面梁構(gòu)件在建模過(guò)程中存在中性線(xiàn)等效及小變形假設(shè)等問(wèn)題難以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確應(yīng)變描述.針對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題,本文采用ANCF 與負(fù)應(yīng)變率控制策略,研究了變截面梁類(lèi)構(gòu)件在幾何結(jié)構(gòu)及材料屬性影響下的中性線(xiàn)偏移問(wèn)題,并依靠修正化模型完成變截面桅桿算例下的壓電鋪層控制優(yōu)化及增益系數(shù)分析等工作,以期為變截面梁類(lèi)構(gòu)件在軌抑振抑變控制提供參考數(shù)據(jù).

1 復(fù)合變截面梁類(lèi)構(gòu)件動(dòng)力學(xué)方程建立

1.1 復(fù)合變截面梁?jiǎn)卧臻g位置描述

帶有壓電層的復(fù)合變截面梁類(lèi)構(gòu)件整體示意如圖1 所示,變截面梁沿x軸方向的截面呈非線(xiàn)性變化,其中f1(x)和f2(x) 分別為變截面梁在oxy投影面的上邊界曲線(xiàn)及下邊界曲線(xiàn),梁的寬度為b(x),整體長(zhǎng)度為l,均為關(guān)于x的函數(shù).其中壓電層分為作動(dòng)型壓電層與傳感型壓電層,根據(jù)不同控制策略,兩種壓電層分別安裝于變截面梁的上下表面.

圖1 變截面梁構(gòu)件結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure of beam with variable cross-section

離散后的變截面梁?jiǎn)卧鐖D2 所示,變截面梁?jiǎn)卧拈L(zhǎng)度li、寬度b(x)、厚度h=f1(x)-f2(x)+hp、壓電層厚度hp均如圖所示.任意變截面梁?jiǎn)卧邆鋬蓚€(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)(如圖2 中A和B所示),其位置矢量在絕對(duì)坐標(biāo)系下分別為 (0,0,0) 和 (li,0,0) 處,在全局坐標(biāo)系下的位置矢量分別表示為rA和rB.如圖2所示,變截面梁上任意點(diǎn)P在全局坐標(biāo)系下的空間位置矢量可寫(xiě)為

圖2 變截面梁?jiǎn)卧翱臻g位置描述Fig.2 Position description for beam element with variable cross-section

式中,ra為中性層上點(diǎn)的位置矢量,rsy和rsz分別為任意點(diǎn)P與中性層間沿y和z方向的方向矢量,ys和zs是任意點(diǎn)沿y和z方向與中性層間的距離.

傳統(tǒng)ANCF 建模方法中均將中性層位置假設(shè)為幾何結(jié)構(gòu)中位面處,然而在變截面幾何因素及復(fù)合材料各項(xiàng)異性的作用下,單元中性層與幾何結(jié)構(gòu)中位面不再重合,因此若仍以幾何結(jié)構(gòu)中位面為應(yīng)變參考將會(huì)引起預(yù)測(cè)精度降低.為精確描述變截面梁?jiǎn)卧行詫拥奈恢?結(jié)合變截面幾何結(jié)構(gòu)及應(yīng)力偏差[30]影響,論文將通過(guò)引入中性層偏差值對(duì)實(shí)際中性層進(jìn)行修正

根據(jù)式(2),變截面梁?jiǎn)卧闹行詫油队扒€(xiàn)函數(shù)可表示

根據(jù)ANCF 特性可知,變截面梁?jiǎn)卧膬蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)處分別具有12 個(gè)自由度,即變截面梁?jiǎn)卧簿哂?4 個(gè)自由度,將兩端點(diǎn)的自由度整理為矩陣形式

式中,qA和qB為A,B點(diǎn)在絕對(duì)坐標(biāo)系下的位置矢量;表示節(jié)點(diǎn)斜率矢量,具體可寫(xiě)為

根據(jù) Hermite 插值函數(shù),式 (1) 可改寫(xiě)為

同理根據(jù)ANCF,任一點(diǎn)的位置矢量可通過(guò)形函數(shù)與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)組合表示,因此引入形函數(shù)矩陣如式(6)所示

根據(jù)式(4)及式(6),變截面梁?jiǎn)卧先我恻c(diǎn)的空間位置可表示為

根據(jù)雅克比矩陣定義變截面梁上任意點(diǎn)的應(yīng)變梯度為J,具體表示為

根據(jù)Green-Lagrange 應(yīng)變張量公式,變截面梁?jiǎn)卧膽?yīng)變矩陣可表示為

對(duì)式(9)進(jìn)行進(jìn)一步運(yùn)算,可得到公式的矩陣形式為

式中各項(xiàng)可表示為

將變截面梁?jiǎn)卧膽?yīng)變矩陣重組為列向量形式,式(10)可寫(xiě)為

根據(jù)式(11)及壓電效應(yīng),變截面梁?jiǎn)卧姆蔷€(xiàn)性本構(gòu)關(guān)系可表示為

式中,e1和e2分別為是正逆壓電系數(shù)矩陣,μ 是介電常數(shù)矩陣,σE是電位移應(yīng)變,k分別表示復(fù)合材料層及壓電層,Qk是材料彈性矩陣,其通過(guò)材料彈性模量及泊松比確定,E為壓電片兩極板之間的電勢(shì)差.

1.2 負(fù)應(yīng)變率壓電控制策略

為達(dá)到變截面梁?jiǎn)卧罴岩终裥Ч?壓電驅(qū)動(dòng)電壓應(yīng)跟隨變截面梁應(yīng)變情況進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整,為此本文提出適用于ANCF 的負(fù)應(yīng)變率控制策略.負(fù)應(yīng)變率控制策略是以參考點(diǎn)應(yīng)變作為輸入變量的控制方法,根據(jù)式(11)所述,變截面梁?jiǎn)卧我恻c(diǎn)應(yīng)變可表示為 ε,由于壓電片的自感電壓不受剪切應(yīng)變影響,因此為便于計(jì)算可僅取應(yīng)變矢量中的前3 項(xiàng)作為參考點(diǎn)輸入應(yīng)變,記為 εP.

引入G作為協(xié)調(diào)增益系數(shù)將應(yīng)變信號(hào)調(diào)理為閉環(huán)電壓信號(hào),閉環(huán)電壓信號(hào)可通過(guò)式(13)所述獲得

結(jié)合式(10)和式(13)可改寫(xiě)為

式中,i=x,y,z.

通過(guò)式(14)所獲得的傳感電壓需再次結(jié)合增益調(diào)節(jié)系數(shù)轉(zhuǎn)換為作動(dòng)型壓電片的工作電壓,由此作用于壓電片上的電壓最終可表示為

根據(jù)式(15)可知壓電層沿x,y,z方向上任意點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度可表示為

1.3 復(fù)合變截面梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)恿W(xué)方程建立

根據(jù)式(7)可知變截面梁?jiǎn)卧先我恻c(diǎn)的空間位置矢量可為r(x,y,z),其中形函數(shù)矩陣為僅關(guān)于x,y,z的函數(shù)矩陣,節(jié)點(diǎn)矢量為時(shí)間t的函數(shù)矢量,因此變截面梁?jiǎn)卧先我恻c(diǎn)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)可表示為,即任意點(diǎn)速度為

根據(jù)動(dòng)能定理,任意變截面單元在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的單元整體動(dòng)能可表示為

式中積分項(xiàng)表示單元體積,根據(jù)變截面梁?jiǎn)卧姆蔷€(xiàn)性幾何關(guān)系可知,單元整體動(dòng)能可進(jìn)一步表示為

根據(jù)虛功原理對(duì)公式(19)進(jìn)行變分,可得到

式中,M為變截面梁?jiǎn)卧|(zhì)量矩陣,該矩陣為常數(shù)矩陣.

進(jìn)一步通過(guò)虛功原理對(duì)變截面梁?jiǎn)卧膽?yīng)變能矩陣進(jìn)行變分,可得到變截面梁?jiǎn)卧膽?yīng)變虛功方程為

進(jìn)一步整理后,式(21)可表達(dá)為

式中K為變截面梁?jiǎn)卧膭偠染仃?分別通過(guò)以下5 項(xiàng)確定

式中,V1和V2分別為變截面梁?jiǎn)卧獜?fù)合層及壓電層的體積,eij為壓電系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)項(xiàng),μi為介電常數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)項(xiàng),分別為變截面梁?jiǎn)卧獜?fù)合層及壓電層所對(duì)應(yīng)柔度系數(shù).

為降低在軌工作過(guò)程中熱致振動(dòng)對(duì)變截面梁構(gòu)件的動(dòng)態(tài)行為影響,需探究熱輻射因素與變截面梁間的耦合機(jī)理,設(shè)定變截面梁?jiǎn)卧谲夁\(yùn)行過(guò)程中所受到的空間熱輻射矢量為

式中,θ和 α 分別為空間熱流Q與絕對(duì)坐標(biāo)系y,z方向的夾角.

由于壓電層的厚度較小,且壓電材料的熱穩(wěn)定較高,因此可忽略壓電層熱致響應(yīng)的影響,變截面梁?jiǎn)卧谠摕彷椛渥饔孟碌臏囟葓?chǎng)分布可表示為

式中,c為復(fù)合材料熱容,ρ 為復(fù)合材料密度,ki為復(fù)合材料沿i方向的導(dǎo)熱系數(shù),σ 為Stefan-Boltzman常數(shù),εα為復(fù)合材料輻射系數(shù),hs為桅桿截面壁厚,Tse為截面攝動(dòng)溫度,Ti為i方向的平均溫度.

根據(jù)熱致響應(yīng)原理,截面攝動(dòng)溫度主要引起軸向熱載荷,截面平均溫度主要引起熱彎矩載荷,則根據(jù)任意節(jié)點(diǎn)處截面平均溫度及截面攝動(dòng)溫度的分析可知,任意節(jié)點(diǎn)的軸向熱載荷及熱彎矩載荷分別可表示為

式中,αT為熱膨脹系數(shù).

利用虛功原理可以得到熱彎矩和軸向熱載荷引起的外力矩陣.由于軸向熱載荷的作用方向?yàn)閤軸,則軸向熱載荷所引起的外力虛功為

式中,Qr為軸向熱載荷所引起的外力矩陣.

假定熱彎矩載荷My和Mz在變截面梁?jiǎn)卧幸饃y和xz方向的微小轉(zhuǎn)動(dòng)分別為 θy和 θz,則熱彎矩對(duì)應(yīng)虛功可表示為

其中,微小轉(zhuǎn)動(dòng)角 θy和 θz分別可根據(jù)xy截面和xz截面的幾何關(guān)系確定,其具體可分別表示為

結(jié)合式(7)和式(27)可進(jìn)一步寫(xiě)為

因此,變截面梁?jiǎn)卧我夤?jié)點(diǎn)處沿zx平面及xy平面熱彎矩載荷所引起的外力矩陣可表示為

通過(guò)布爾矩陣將變截面梁構(gòu)件上所有節(jié)點(diǎn)處的外力矩陣進(jìn)行整合,則變截面梁構(gòu)件系統(tǒng)外力矩陣可表示為

式中,B1為布爾轉(zhuǎn)換矩陣,Qs為變截面梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)總合外力矩陣,具體可表示為Q=Qr+Qy+Qz.

結(jié)合式(20)、式(22)及式(31),變截面梁?jiǎn)卧诳紤]壓電效應(yīng)及空間熱致響應(yīng)耦合作用影響下的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

2 算例數(shù)值結(jié)果

2.1 模型驗(yàn)證

太陽(yáng)帆桅桿作為一種典型的大型柔性變截面梁類(lèi)構(gòu)件,文獻(xiàn)[10,31-32]均對(duì)其在空間熱輻射作用下的熱致動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了分析,但少有文獻(xiàn)采用壓電智能材料對(duì)其柔性變形及振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)控制.為驗(yàn)證本文所提出ANCF 修正模型的準(zhǔn)確性并揭示變截面梁類(lèi)構(gòu)件在機(jī)-電-熱耦合作用下的動(dòng)態(tài)行為響應(yīng)規(guī)律,從而實(shí)現(xiàn)太陽(yáng)帆桅桿在熱輻射作用下的壓電主動(dòng)抑振控制,本節(jié)將以變截面太陽(yáng)帆桅桿為研究對(duì)象,通過(guò)所述模型對(duì)其在軌實(shí)際工作過(guò)程進(jìn)行數(shù)值分析.

本文所采用的變截面太陽(yáng)帆桅桿如圖3 所示,太陽(yáng)帆桅桿共被分割為4 個(gè)變截面ANCF 單元.由于桅桿懸臂端末端點(diǎn)的整體變形較大,便于構(gòu)件動(dòng)態(tài)性能觀察,因此以變截面太陽(yáng)帆桅桿末端處的點(diǎn)P作為變形及應(yīng)變參考點(diǎn).作動(dòng)型壓電片根據(jù)不同分析策略安裝于各變截面桅桿的上表面.

圖3 二次型變截面太陽(yáng)帆桅桿結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Structure of solar-sail masts with parabolic section

變截面桅桿及壓電片材料參數(shù)如表1 所示.

表1 桅桿碳纖維材料及MFC 材料屬性參數(shù)Table 1 Material properties of carbon fiber and MFC

根據(jù)式(1)對(duì)中性層偏差修正模型描述可知,變截面太陽(yáng)帆桅桿受其幾何結(jié)構(gòu)因素及材料各項(xiàng)異性等特點(diǎn)影響,其中性線(xiàn)不與幾何中位線(xiàn)重合.結(jié)合壓電層在變截面太陽(yáng)帆桅桿上的實(shí)際安裝位置,壓電應(yīng)變參考點(diǎn)P位于變截面桅桿單元的邊線(xiàn)處.分別采用中性線(xiàn)修正方式以及傳統(tǒng)中位線(xiàn)等效方式對(duì)變截面梁構(gòu)件進(jìn)行動(dòng)力學(xué)預(yù)測(cè),仿真輸入?yún)?shù)分別如圖4 和表1 所示,仿真時(shí)長(zhǎng)為40.0 s,步長(zhǎng)為0.01 s.點(diǎn)P在不同模型描述下的變形歷程曲線(xiàn)如圖5所示,為驗(yàn)證模型正確性,本文對(duì)比了該模型在ABAQUS 軟件下的仿真結(jié)果.根據(jù)圖5 所示,模型數(shù)值結(jié)果與ABAQUS 仿真結(jié)果具有較高一致性,因此可驗(yàn)證模型的計(jì)算合理性.由于修正后的中位線(xiàn)更接近于點(diǎn)P的位置,因此修正模型的變形仿真結(jié)果相較于原模型的結(jié)果略有減小,因此可證明修正模型更精確地描述參考點(diǎn)隨時(shí)間的應(yīng)變規(guī)律及空間相對(duì)位置狀態(tài).

圖4 不同模型下參考點(diǎn)P變形Fig.4 Deformation of Pwith different methods

圖5 點(diǎn)P空間位置時(shí)間歷程曲線(xiàn)Fig.5 The position of point P

根據(jù)負(fù)應(yīng)變率控制策略及式(14)可知,作動(dòng)型壓電片的驅(qū)動(dòng)電壓取決于傳感式壓電片參考點(diǎn)應(yīng)變及調(diào)節(jié)增益系數(shù),因此準(zhǔn)確描述傳感式壓電片參考點(diǎn)應(yīng)變是實(shí)現(xiàn)壓電主動(dòng)抑振控制技術(shù)的重要前提.在數(shù)值分析過(guò)程中,以作動(dòng)型壓電片安裝于4 號(hào)變截面桅桿單元為例,根據(jù)式(11)所述應(yīng)變場(chǎng)模型來(lái)捕獲點(diǎn)P處的應(yīng)變規(guī)律,并將應(yīng)變信息輸入至負(fù)應(yīng)變率控制模型,當(dāng)調(diào)節(jié)增益系數(shù)取0.03 時(shí),點(diǎn)P在空間范圍內(nèi)的時(shí)間歷程曲線(xiàn)如圖5 所示.根據(jù)圖示可知,在變截面太陽(yáng)帆桅桿加入壓電主動(dòng)控制策略之后,點(diǎn)P的彈性變形得到有效抑制.根據(jù)點(diǎn)P在xy面的投影可知,點(diǎn)P在xy投影面及xz投影面均呈現(xiàn)直線(xiàn)狀態(tài),因此點(diǎn)P在x方向上幾乎不發(fā)生變形;由于變截面桅桿沿y,z方向存在材料異性、幾何結(jié)構(gòu)及外力干擾等因素差異,點(diǎn)P在y,z方向上的應(yīng)變呈現(xiàn)非線(xiàn)性同步,從而使得沿y,z方向的負(fù)應(yīng)變率控制電壓呈現(xiàn)非同步性輸出,表現(xiàn)為點(diǎn)P在yz投影面上呈現(xiàn)非規(guī)則螺旋型下降狀態(tài).

2.2 壓電鋪層安裝位置影響分析

上述分析均在負(fù)應(yīng)變率壓電控制機(jī)理層面進(jìn)行討論,然而為獲得變截面太陽(yáng)帆桅桿在空間熱載荷作用下的最佳抑振抑變控制策略,需綜合考慮作動(dòng)型壓電片的安裝位置及式(15)中所述調(diào)節(jié)增益系數(shù)對(duì)變截面太陽(yáng)帆桅桿運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響.當(dāng)調(diào)節(jié)增益系數(shù)為固定值時(shí),在不同數(shù)目及安裝位置作用下,變截面太陽(yáng)帆桅桿的最大應(yīng)變狀態(tài)如圖6 所示.由圖可知,不同作動(dòng)型壓電片的安裝位置及數(shù)目對(duì)變截面太陽(yáng)帆桅桿的最大變形狀態(tài)具有顯著影響.根據(jù)整體曲線(xiàn)對(duì)比可得,在變截面桅桿各單元均安裝作動(dòng)型壓電片時(shí)(1-2-3-4),變截面太陽(yáng)帆桅桿的整體變形較大.其原因?yàn)閴弘妭鞲袘?yīng)變參考單元為4 號(hào)單元,各變截面桅桿單元間應(yīng)變狀態(tài)存在一定差異,因此使得控制過(guò)程中其他單元的電壓輸入量存在不同程度的超調(diào)與方向漂移,從而使得各作動(dòng)型壓電片之間的協(xié)調(diào)控制同步性能降低,最終導(dǎo)致抑振抑變效果削弱.

圖6 變截面太陽(yáng)帆桅桿在不同數(shù)目及安裝位置下的最大應(yīng)變狀態(tài)Fig.6 The maximum deformation of solar sail mast with different assembling position of MFC

根據(jù)圖6(b)和圖6(c)對(duì)比可知,當(dāng)1 號(hào)變截面桅桿單元安裝有作動(dòng)型壓電片時(shí),其沿y和z方向的變形量均大于其他壓電控制方案,末端變形量分別達(dá)到了4.96 mm 與2.85 mm.同理,當(dāng)僅有1，2 和3 號(hào)變截面梁?jiǎn)卧M合控制時(shí),1 號(hào)變截面梁?jiǎn)卧幍淖鲃?dòng)型壓電片為主要作用源,對(duì)比最小應(yīng)變狀態(tài)可知,其對(duì)變形抑制效果均產(chǎn)生削弱作用.對(duì)比圖6(d)可知,當(dāng)僅有4 號(hào)變截面桅桿單元采用作動(dòng)型壓電片時(shí),其變形狀態(tài)得到最佳抑制效果.其原因在于,傳感型壓電片被安裝于4 號(hào)變截面桅桿單元,各作動(dòng)型壓電片輸入電壓均以4 號(hào)單元應(yīng)變?yōu)榭刂茀⒄?隨著各作動(dòng)單元與應(yīng)變參考單元間的距離增加,其應(yīng)變同步性逐步降低,因此使得各單元間的壓電作動(dòng)應(yīng)變難以完全協(xié)同變截面太陽(yáng)帆桅桿運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的柔性應(yīng)變.同時(shí)根據(jù)懸臂梁的特殊性質(zhì)可知,相較于在懸臂端施加應(yīng)力,固定端施加應(yīng)力會(huì)伴有放大效應(yīng),從而對(duì)變截面太陽(yáng)帆桅桿末端的變形狀態(tài)產(chǎn)生更大影響,因此在壓電控制過(guò)程中,靠近于固定端的作動(dòng)型壓電片將起主要影響.綜上所述,當(dāng)調(diào)節(jié)增益系數(shù)固定不變時(shí),隨作動(dòng)單元與應(yīng)變參考單元間的距離增加,應(yīng)變協(xié)調(diào)同步性會(huì)隨之降低,從而削弱壓電控制效果;同時(shí)由于變形抑制過(guò)程中懸臂梁固定端所具有的放大效應(yīng),變截面太陽(yáng)帆桅桿的最終變形抑制效果取決于靠近懸臂梁固定端的作動(dòng)型壓電片.

2.3 壓電增益調(diào)節(jié)系數(shù)影響分析

增益調(diào)節(jié)系數(shù)在前述分析中均固定為0.03,由于增益調(diào)節(jié)系數(shù)的改變將直接作用于作動(dòng)型壓電片的驅(qū)動(dòng)電壓,因此論文將一步針對(duì)增益調(diào)節(jié)系數(shù)對(duì)抑振抑變效果的影響進(jìn)行分析.

當(dāng)作動(dòng)型壓電片采用1-2-3-4 排布方案,y和z方向的增益調(diào)節(jié)系數(shù)分別設(shè)定為0.03 與0.05 時(shí),點(diǎn)P沿y和z方向的時(shí)間歷程曲線(xiàn)如圖7 所示.由圖可知,相較于未施加壓電控制,點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各方向的柔性變形及振動(dòng)均得到了有效抑制.根據(jù)式(25)分析可得,作用于變截面桅桿單元y和z方向上的載荷大小存在差異,為綜合比較不同增益調(diào)節(jié)系數(shù)對(duì)壓電抑振效果的影響,本文引入變形抑制率作為無(wú)量綱化對(duì)比指標(biāo),定義抑制率η

圖7 不同增益調(diào)節(jié)系數(shù)影響對(duì)比Fig.7 Deformation of Pwith different controller gain

式中,pi為未施加壓電控制下點(diǎn)P的柔性變形大小,pz為施加壓電控制下點(diǎn)P的柔性變形大小.

點(diǎn)P在時(shí)間歷程下的抑制率動(dòng)態(tài)曲線(xiàn)如圖7 所示.由圖可知,由于變截面桅桿單元在z方向的增益調(diào)節(jié)系數(shù)大于y方向,因此在壓電控制作用下,變截面桅桿單元沿z方向的變形抑制率總體高于y方向.同時(shí)在0～ 10.0 s 非穩(wěn)定變形階段,z方向的變形抑制率整體較高,其主要原因?yàn)樵撾A受非穩(wěn)定性外力影響較大,從而使得變截面桅桿單元應(yīng)變波動(dòng)顯著,因此可說(shuō)明放大增益調(diào)節(jié)系數(shù)可增加作動(dòng)型壓電片對(duì)單元應(yīng)變的敏感程度,從而提高系統(tǒng)整體抑振抑變能力;點(diǎn)P在20.0 s 后趨于穩(wěn)定振蕩階段時(shí),z方向的最大變形抑振率接近于y方向,但沿z方向抑振率的變化幅值遠(yuǎn)小于y方向,因此可說(shuō)明放大增益調(diào)節(jié)系數(shù)也可進(jìn)一步提高壓電控制效果穩(wěn)定性,從而優(yōu)化變截面太陽(yáng)帆桅桿在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的動(dòng)態(tài)行為參數(shù).

為進(jìn)一步驗(yàn)證增益調(diào)節(jié)系數(shù)在放大過(guò)程中對(duì)壓電抑振抑變能力的影響,以增益調(diào)節(jié)系數(shù)為0.03 時(shí),點(diǎn)P沿y方向在變形穩(wěn)定階段的數(shù)據(jù)為研究對(duì)象,繪制其龐加萊相圖及截面圖.其分析結(jié)果如圖8 所示,當(dāng)龐加萊截面允許誤差在0.2 范圍內(nèi)時(shí),龐加萊相圖呈現(xiàn)規(guī)則圓形且龐加萊截面呈現(xiàn)有限的規(guī)律性散點(diǎn),因此可證明在增益調(diào)節(jié)系數(shù)為0.03 時(shí),當(dāng)變截面太陽(yáng)帆桅桿在穩(wěn)定振動(dòng)階段(20.0 s 后),點(diǎn)P呈現(xiàn)周期性穩(wěn)定振動(dòng),壓電控制效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)整體穩(wěn)定性具有正向作用.

圖8 增益調(diào)節(jié)系數(shù)0.03 時(shí)穩(wěn)定階段龐加萊圖Fig.8 The poincare map of Pwith 0.03 controller gain

當(dāng)增益調(diào)節(jié)系數(shù)放大至0.1 時(shí),點(diǎn)P在穩(wěn)定振動(dòng)階段沿y方向變形的龐加萊相圖及截面圖如圖9所示.根據(jù)圖示所知,點(diǎn)P在穩(wěn)定振動(dòng)階段的龐加萊相圖呈現(xiàn)明顯混沌現(xiàn)象,同時(shí),其在一定周期內(nèi)的龐加萊截面圖呈現(xiàn)非規(guī)律性散點(diǎn),由此可說(shuō)明在該增益調(diào)節(jié)系數(shù)作用下變截面太陽(yáng)帆桅桿在20.0 s 后處于非周期性振動(dòng).綜上所述,增益調(diào)節(jié)系數(shù)對(duì)變截面太陽(yáng)帆桅桿的壓電抑振抑變效應(yīng)存在非線(xiàn)性影響,在一定程度內(nèi)提高增益調(diào)節(jié)系數(shù)可實(shí)現(xiàn)變截面太陽(yáng)帆桅桿壓電控制穩(wěn)定性及靈敏性提升;然而當(dāng)增益調(diào)節(jié)系數(shù)發(fā)生超調(diào)時(shí),將會(huì)激勵(lì)變截面太陽(yáng)帆桅桿產(chǎn)生附加非周期性振動(dòng),從而影響系統(tǒng)整體動(dòng)態(tài)行為響應(yīng),降低壓電抑振抑變控制效果.

圖9 增益調(diào)節(jié)系數(shù)0.1 時(shí)穩(wěn)定階段龐加萊圖Fig.9 The poincare map of Pwith 0.1 controller gain

3 總結(jié)

傳統(tǒng)ANCF 建模過(guò)程中多以幾何中位線(xiàn)對(duì)構(gòu)件中性線(xiàn)進(jìn)行等效,此類(lèi)方法難以對(duì)單元位移場(chǎng)進(jìn)行精確描述.針對(duì)此類(lèi)問(wèn)題,本文提出了一種用于精確描述非線(xiàn)性變截面梁類(lèi)構(gòu)件變形的ANCF 建模方法.該模型綜合考慮構(gòu)件變截面結(jié)構(gòu)及微觀材料屬性對(duì)梁?jiǎn)卧行跃€(xiàn)的偏差影響,通過(guò)修正應(yīng)變參考點(diǎn)與中性線(xiàn)間的相對(duì)位置關(guān)系.并深入結(jié)合負(fù)應(yīng)變率控制法建立了變截面梁構(gòu)件在空間熱載荷作用下的壓電抑振抑變結(jié)構(gòu),通過(guò)對(duì)應(yīng)數(shù)值分析結(jié)果驗(yàn)證了該模型的準(zhǔn)確性及精度.

根據(jù)本文所提出的ANCF 修正模型,以典型變截面太陽(yáng)帆桅桿在軌實(shí)際工作為算例,深入研究在不同作動(dòng)型壓電片數(shù)目、安裝位置及增益調(diào)節(jié)系數(shù)下變截面桅桿結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)行為規(guī)律.數(shù)值分析結(jié)果表示,靠近于傳感式壓電片處的作動(dòng)環(huán)節(jié)具有較高的控制同步性,隨作動(dòng)型壓電片與傳感型壓電片間的距離增加,作動(dòng)單元與傳感單元間應(yīng)變描述非同步性提升,使得控制性能降低;其次,在一定范圍內(nèi)提高增益調(diào)節(jié)系數(shù)可增加控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及靈敏性,但增益調(diào)節(jié)系數(shù)超調(diào)將會(huì)激勵(lì)變截面桅桿產(chǎn)生非周期性振動(dòng),從而降低系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)定性.