賴煜成，胡新元，吳家毅，白在橋

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

偏振是光的重要特性之一. 精確描述偏振光的狀態(tài)需要用到Stokes參量，定量刻畫一般的無吸收光學(xué)元件對偏振狀態(tài)的改變需要引入Jones矩陣[1,2]. 有很多方法可以測量Stokes參量、Jones矩陣[3-5]以及推廣的Müller矩陣[6,7]，其中最簡單和經(jīng)濟(jì)的是旋轉(zhuǎn)波片法[8-13]. 然而目前大學(xué)基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中很少涉及Stokes參量和Jones矩陣的測量和應(yīng)用. 在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上，Stokes參量和Jones矩陣與二能級量子系統(tǒng)的密度矩陣和演化算符完全相同[14]. 將這方面的知識引入實(shí)驗(yàn)，不僅可以加深學(xué)生對偏振性質(zhì)的認(rèn)識，也為后續(xù)量子力學(xué)的學(xué)習(xí)提供了一個實(shí)例，有利于學(xué)生對抽象數(shù)學(xué)概念的理解. 本文將以旋轉(zhuǎn)波片法為例討論偏振態(tài)和偏振元件特性的測量問題.

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 Jones矢量和Stokes參量

首先回顧一些基本概念. 一束完全偏振光的偏振狀態(tài)可以表示為Jones矢量[1]

(1)

其中a1、a2是電場振動平面內(nèi)兩個垂直方向上的振幅，φ1、φ2是它們的初始相位.由于初始相位與時間零點(diǎn)選擇有關(guān)，只有相位差δ=φ2-φ1才有物理意義.按以下定義引入Stokes參量S=(S0,S1,S2,S3)≡(S0,S)，有

(2)

其中σx、σy、σz為3個Pauli矩陣.根據(jù)定義可得

(3)

(4)

而對于非完全偏振光，有

(5)

在考慮偏振光的狀態(tài)時，通常并不關(guān)心其總強(qiáng)度.因此可以設(shè)S0=1，對于完全偏振光，S位于單位球面上，此球面稱為Poincaré球(在量子力學(xué)中稱為Bloch球)[1]. 在Poincaré球上，赤道上的點(diǎn)(S3=0)為線偏振光，南北極的點(diǎn)(S3=±1)為圓偏振光，北極是右旋光，南極是左旋光，北半球表示右旋的橢圓偏振光，南半球表示左旋的橢圓偏振光.此外，Poincaré球面上的對徑點(diǎn)，即S和-S，對應(yīng)相互正交的兩個Jones矢量.

1.2 Jones矩陣及其物理意義

線性光學(xué)元件把將入射光的Jones矢量|ψ〉和出射光的Jones矢量|ψ′〉聯(lián)系起來，其作用相當(dāng)于1個2×2復(fù)矩陣(Jones矩陣)，有

|ψ′〉=A|ψ〉

(6)

本文只考慮沒有吸收(或者吸收與偏振無關(guān))的偏振元件，比如波片、旋光溶液、液晶等.這類元件的Jones矩陣是酉矩陣，即A+A=AA+=I.由于Jones矢量可以相差一個整體相位，還可以進(jìn)一步要求det(A)=1，即A∈SU(2).SU(2)中矩陣的一般形式為

A=a0I+i(a1σz+a2σx+a3σy)=

(7)

其中a0、a1、a2、a3為4個實(shí)數(shù)，滿足關(guān)系：

(8)

以快軸方向?yàn)棣鹊?/4波片為例，此時Jones矩陣可表示為

(9)

這里R[θ]表示旋轉(zhuǎn)矩陣:

(10)

(11)

(12)

容易驗(yàn)證，QTQ=QQT=I，即Q∈SO(3)[15].上式實(shí)際上就是旋轉(zhuǎn)矩陣的四元數(shù)表示.

Poincaré球上的赤道經(jīng)旋轉(zhuǎn)后仍為一個大圓，它與赤道至少有兩個對徑交點(diǎn).這意味著任意無吸收線性元件都至少把兩個偏振方向互相垂直的線偏振光變換成另外兩個偏振方向互相垂直的線偏振光.這兩個特殊的入射角度被稱為該偏振元件的入射主軸.一般的酉矩陣分解成下面的形式:

(13)

其中θ(以及θ+π/2)為入射主軸方向，δ為兩個主軸的相位延遲，φ為旋光角，θ+φ為出射主軸方向.將式(13)展開，與式(7)對比系數(shù)，可得

(14)

注意主軸方向只能確定到2θ，這是因?yàn)棣群挺?π對應(yīng)的方向是相同的.

1.3 旋轉(zhuǎn)波片法測量Stokes參量

圖1 旋轉(zhuǎn)波片法光路圖

在圖1所示的光路中，待測偏振光依次經(jīng)過波片和偏振片進(jìn)入光探測器.設(shè)偏振片的透振方向?yàn)閤軸(θ=0)，波片的相位延遲為δ.波片慢軸從θ=0開始旋轉(zhuǎn)一周，用光探測儀器記錄光強(qiáng)I隨轉(zhuǎn)角θ的變化曲線.理論上I(θ)可由下式計(jì)算:

(15)

將實(shí)測I(θ)進(jìn)行傅里葉展開，有

(16)

對比式(15)和式(16)，可得

(17)

(18)

教學(xué)實(shí)驗(yàn)中使用的1/4波片往往存在一定的誤差[16-19]，因此有必要實(shí)測波片的相位延遲.在圖1光路中波片前放一塊偏振片并將其透振方向調(diào)為45°.這樣入射光的Stokes參量(S0,S1,S2,S3)=I0(1,0,1,0)，根據(jù)式(15)，測得光強(qiáng)曲線為

(19)

擬合實(shí)測I(θ)曲線得到cosδ，從而得到相位延遲.用這種方法對實(shí)驗(yàn)所用1/4波片進(jìn)行了3次測量，δ分別為87.94°、87.99°、87.93°、87.91°，而調(diào)節(jié)起偏器的偏振方向使其重新為45°時，測量得到的結(jié)果為87.68°、88.43°、88.16°、88.06°，故認(rèn)為測量過程中的誤差主要來自于調(diào)節(jié)起偏器角度時的調(diào)節(jié)誤差，故而1/4波片的相位延遲角取測量平均值δ=88.05°.

1.4 擬合Jones矩陣

考慮無吸收線性偏振元件，由式(11)可得

(20)

從而可以得到

(21)

其中

K(S,S′)=

(22)

(23)

最小特征值所對應(yīng)的特征向量.

實(shí)驗(yàn)中使用4個不同偏振方向的線偏振光入射，測得對應(yīng)出射光的Stokes參量以后，根據(jù)上面的方法得到最佳Jones矩陣. 本文還計(jì)算了M最小特征值與次小特征值之比，如果這個值非常接近0，就驗(yàn)證了理論模型(即吸收與偏振無關(guān))的合理性. 得到Jones矩陣以后，根據(jù)式(14)算出偏振元件的主軸、相位延遲和旋光角等物理參數(shù).

2 裝置與方法

實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示，所用器材主要包括氦氖激光器(帶布儒斯特窗，波長為632.8 nm)、2個偏振片、2個1/4波片(λ/300波片)、光電傳感器(Thorlabs DET36A2)、旋轉(zhuǎn)編碼器(12位增量型)、直流電源、面包板、數(shù)據(jù)采集卡(NI USB-6212)、待測液晶盒以及裝有LabVIEW軟件的計(jì)算機(jī). 在實(shí)驗(yàn)前增加了測量實(shí)驗(yàn)室雜散光強(qiáng)的操作，在后續(xù)實(shí)驗(yàn)中減去雜散光的影響. 實(shí)驗(yàn)中所有的測量都是出射光強(qiáng)I如何隨1/4波片的角度θ改變，因此把1/4波片安裝在編碼器內(nèi)，編寫LabVIEW程序，連續(xù)采集編碼器輸出脈沖，通過累加/減實(shí)時測量1/4波片的角度.同時采集光電傳感器的電壓輸出(正比于光強(qiáng))，并對相同角度內(nèi)的光強(qiáng)取平均，就可以得到光強(qiáng)曲線I(θ).然后計(jì)算I(θ)的傅里葉系數(shù)，根據(jù)系數(shù)計(jì)算Stokes參數(shù)，將結(jié)果顯示在程序前面板.為檢驗(yàn)測量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，前面板上還畫出了實(shí)測I(θ)和理論模型(即只考慮0、2、4階諧波的傅立葉展開)的對比.

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置圖

測量前需要初始化檢偏器和1/4波片的角度.方法如下：先用布儒斯特角的方法將檢偏器透振方向調(diào)成水平方向，并在后續(xù)的實(shí)驗(yàn)中保持固定.然后加入起偏器，旋轉(zhuǎn)其角度至消光，此時兩塊偏振片正交.再在兩塊正交偏振片之間加上1/4波片，旋轉(zhuǎn)1/4波片至再次消光，此時1/4波片光軸的方向與偏振片方向平行，以此確定1/4波片光軸的角度.需要說明的是：這種方法不能區(qū)分1/4波片的快慢軸，后面測量的S3可能會全部相差一個負(fù)號.在之后的每次實(shí)驗(yàn)中，根據(jù)編碼器輸出脈沖保證1/4波片每次旋轉(zhuǎn)為準(zhǔn)確的360°，因此無需重新確定1/4波片光軸的方向.

本實(shí)驗(yàn)用的液晶盒來自網(wǎng)購的電焊自動護(hù)目鏡片.將其前后的反光片和偏振片剝離，就得到兩片黏在一起的導(dǎo)電玻璃(中間夾層中有液晶).將液晶盒用雙面膠黏在旋轉(zhuǎn)光學(xué)支架上，并用導(dǎo)線將前后電極與直流電源相連，就可以用于實(shí)驗(yàn).

3 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

3.1 方法準(zhǔn)確性驗(yàn)證

表1 線偏振光和圓偏振光Stokes參量測量結(jié)果

然后用起偏器制備9個方向(0°到160°每隔20°)的線偏振光，測量它們分別入射一個1/4波片后的Stokes參量(參見圖3). 將(S1,S2,S3)的長度歸一化后畫成3維點(diǎn)圖，結(jié)果見圖4. 可以看出：1/4波片將原本在赤道面上按角度間距40°排列的10個點(diǎn)變換到一個近似過原點(diǎn)的平面上，而且相鄰點(diǎn)的夾角也接近40°. 這直觀地表明1/4波片的作用是Poincaré球上的一個剛體轉(zhuǎn)動.

圖3 1/4波片的Jones矩陣測量光路

圖4 偏振狀態(tài)在Poincaré球上的表示

根據(jù)式(21)、(22)，用10組(S,S′)擬合1/4波片的Jones矩陣，結(jié)果為

(24)

擬合矩陣M的最小特征值與次小特征值的比值為

(25)

很接近零，說明測量數(shù)據(jù)是合理的.進(jìn)一步計(jì)算該Jones矩陣的跡為

Tr(J)=1.417 6

(26)

(27)

以上測量表明，雖然結(jié)果存在一定誤差，但測量Stokes參量和擬合Jones矩陣的方法是可靠的.

本實(shí)驗(yàn)的測量誤差主要來自于激光并沒有正入射待測量的1/4波片，使得其相位延遲并非完全為90°導(dǎo)致測量誤差. 同時，實(shí)驗(yàn)中由于手動旋轉(zhuǎn)起偏器導(dǎo)致了起偏器透振方向的相對誤差，這也會影響該實(shí)驗(yàn)測量的精度.

3.2 測量液晶不同電壓下的Jones矩陣

液晶在光偏振態(tài)的調(diào)制上有重要的應(yīng)用[20-23]，因此本文探究液晶的性質(zhì)，用旋轉(zhuǎn)波片法測量液晶的Jones矩陣.用測試液晶盒代替圖3中左邊的1/4波片.在液晶盒電極兩端加不同電壓U，在每個電壓下，控制起偏器的透振方向分別為0°、30°、45°、60°，用旋轉(zhuǎn)波片法測量光透過液晶盒之后的Stokes參量，并根據(jù)4個結(jié)果擬合Jones矩陣.在每個電壓下，矩陣M的最小本征值與次小本征值的比值均在10-4量級. 圖5給出了Jones矩陣元的變化曲線，利用式(14)將Jones矩陣轉(zhuǎn)換成入射主軸方向θ、旋光角φ和相位延遲δ，結(jié)果見圖6.

圖5 液晶盒Jones矩陣元隨電壓的變化曲線. a0、a1、a3、a2的定義參見公式(7).

可以看到，當(dāng)電壓在0 V到4 V改變時，液晶盒的Jones矩陣隨電壓的變化集中在[1.5 V,3 V]區(qū)間. 電壓小于1.5 V或大于3 V時，Jones矩陣基本不變.U=0 V時，旋光角為-56.4°，相位延遲約為64.67°. 取3.4～4.0 V測量結(jié)果的平均，得到

(28)

圖6 液晶盒入射主軸方向(θ)、旋光角(φ)和相位延遲(δ)與電壓的關(guān)系. 可以看出(φ+2θ)基本為常量.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

本實(shí)驗(yàn)在修正波片相位延遲的基礎(chǔ)上，檢定了旋轉(zhuǎn)波片法測量各種偏振態(tài)以及線性光學(xué)元件的Jones矩陣的準(zhǔn)確性，并在此基礎(chǔ)上測量了液晶Jones矩陣隨電壓的變化. 實(shí)驗(yàn)測量得到修正波片相位延遲后各種偏振態(tài)測量的相對誤差都小于0.02，測量準(zhǔn)確；驗(yàn)證了1/4波片的作用相當(dāng)于是對Poincaré球上的一個剛體旋轉(zhuǎn)，擬合矩陣M的最小特征值與次小特征值的比值β1=2.800×10-5表明測量數(shù)據(jù)合理，1/4波片Jones矩陣的跡與理論值的相對誤差α=0.24%表明測量準(zhǔn)確. 液晶盒的Jones矩陣隨電壓的變化集中在[1.5 V, 3 V]區(qū)間. 電壓小于1.5 V或大于3 V時，Jones矩陣基本不變，U=0 V時，旋光角為-56.4 °，相位延遲約為64.67 °. 本實(shí)驗(yàn)結(jié)合旋轉(zhuǎn)波片法與LabVIEW編程，自動化計(jì)算與測量斯托克斯參量，大大簡化了實(shí)驗(yàn)步驟，可以引入大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中.

致謝:

感謝北京師范大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心的平澄老師和王愛記老師對本文的幫助.