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        非等時(shí)變分與拉格朗日方程

        2022-03-18 02:05:36徐麗佳張小明毛長(zhǎng)榮
        大學(xué)物理 2022年3期
        關(guān)鍵詞:宜春拉格朗變分

        李 琛,徐麗佳,張小明,毛長(zhǎng)榮,謝 芳

        (1. 宜春學(xué)院 物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院,江西 宜春 336000;2. 宜春市第三中學(xué), 江西 宜春 336000)

        (1)

        上式中q為廣義坐標(biāo),t為時(shí)間參量.但是如果更一般地考慮非等時(shí)變分,并用廣義變分符號(hào)Δ代替等時(shí)變分符號(hào)δ,則上述關(guān)系變化為[1]

        (2)

        因?yàn)樽钚∽饔昧吭硎且粋€(gè)物理要求,而等時(shí)變分是一個(gè)數(shù)學(xué)處理方式,所以可以預(yù)期如果使用非等時(shí)變分應(yīng)該得到同樣的動(dòng)力學(xué)方程.下面我們通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證這一點(diǎn).

        1 非等時(shí)變分與微分關(guān)系

        對(duì)一般函數(shù)q(p,t),當(dāng)取等時(shí)變分時(shí),即δt=0,有

        (3)

        當(dāng)取非等時(shí)變分時(shí),即δt≠0,對(duì)函數(shù)q(p,t)變分得到

        (4)

        式(4)兩邊分別對(duì)t求微商,得

        (5)

        (6)

        (7)

        如果q僅是時(shí)間t的函數(shù),化簡(jiǎn)上式即得到式(2)的結(jié)果.

        2 基于非等時(shí)變分的拉格朗日方程

        由非等時(shí)變分下的最小作用量原理得到

        (8)

        將上式展開(kāi)表示為

        ΔS等時(shí)+ΔS非等時(shí)

        (9)

        上式計(jì)算中使用了非等時(shí)變分的式(2)中的關(guān)系,其倒數(shù)第二行中前兩項(xiàng)為等時(shí)變分部分,且有如下關(guān)系式:

        Δq=δq, Δt=δt, dΔq=dδq

        (10)

        對(duì)式(9)中的非等時(shí)積分項(xiàng)做分部積分,并利用端點(diǎn)約束條件有

        (11)

        根據(jù)最小作用量原理ΔS=0,以及變分δq和δt的獨(dú)立任意性,可以推斷出式(10)和式(11)中的積分項(xiàng)分別為零,即通過(guò)等時(shí)變分項(xiàng)和非等時(shí)變分項(xiàng)一致性地得到了通常的拉格朗日方程.

        3 非等時(shí)變分的物理含義

        在等時(shí)變分中,其物理含義為固定分割的時(shí)間間隔,然后任意變動(dòng)每個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的位移,再根據(jù)最小作用量原理確定粒子的真實(shí)軌道;而對(duì)于非等時(shí)變分,在ΔS非等時(shí)中,可以視為劃定粒子運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)間隔不變,即δq=0,而試探變動(dòng)每段位移使用的時(shí)間,同樣基于最小作用量原理得到粒子運(yùn)動(dòng)的真實(shí)軌跡.從結(jié)果看,兩種數(shù)學(xué)處理方式對(duì)應(yīng)著同樣的物理本質(zhì)(最小作用量原理),從而得到同樣的動(dòng)力學(xué)方程.

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