李 琛，徐麗佳，張小明，毛長榮，謝 芳

(1. 宜春學(xué)院 物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院,江西 宜春 336000；2. 宜春市第三中學(xué)， 江西 宜春 336000)

(1)

上式中q為廣義坐標(biāo)，t為時間參量.但是如果更一般地考慮非等時變分，并用廣義變分符號Δ代替等時變分符號δ，則上述關(guān)系變化為[1]

(2)

因為最小作用量原理是一個物理要求，而等時變分是一個數(shù)學(xué)處理方式，所以可以預(yù)期如果使用非等時變分應(yīng)該得到同樣的動力學(xué)方程.下面我們通過計算驗證這一點.

1 非等時變分與微分關(guān)系

對一般函數(shù)q(p,t),當(dāng)取等時變分時，即δt=0，有

(3)

當(dāng)取非等時變分時，即δt≠0，對函數(shù)q(p,t)變分得到

(4)

式(4)兩邊分別對t求微商，得

(5)

(6)

(7)

如果q僅是時間t的函數(shù)，化簡上式即得到式(2)的結(jié)果.

2 基于非等時變分的拉格朗日方程

由非等時變分下的最小作用量原理得到

(8)

將上式展開表示為

ΔS等時+ΔS非等時

(9)

上式計算中使用了非等時變分的式(2)中的關(guān)系，其倒數(shù)第二行中前兩項為等時變分部分，且有如下關(guān)系式：

Δq=δq, Δt=δt, dΔq=dδq

即

(10)

對式(9)中的非等時積分項做分部積分，并利用端點約束條件有

(11)

根據(jù)最小作用量原理ΔS=0，以及變分δq和δt的獨立任意性，可以推斷出式(10)和式(11)中的積分項分別為零，即通過等時變分項和非等時變分項一致性地得到了通常的拉格朗日方程.

3 非等時變分的物理含義

在等時變分中，其物理含義為固定分割的時間間隔，然后任意變動每個時間間隔內(nèi)的位移，再根據(jù)最小作用量原理確定粒子的真實軌道；而對于非等時變分，在ΔS非等時中，可以視為劃定粒子運動的坐標(biāo)間隔不變，即δq=0，而試探變動每段位移使用的時間，同樣基于最小作用量原理得到粒子運動的真實軌跡.從結(jié)果看，兩種數(shù)學(xué)處理方式對應(yīng)著同樣的物理本質(zhì)(最小作用量原理)，從而得到同樣的動力學(xué)方程.