張明杰，王 偉，周路群

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100871 )

1831年，法拉第[1]首次發(fā)現(xiàn)，受豎直方向周期性驅(qū)動力作用的液體表面能夠產(chǎn)生有序斑紋. 為了紀(jì)念法拉第的發(fā)現(xiàn)，這種有序的周期性結(jié)構(gòu)也被稱為“法拉第斑圖”，產(chǎn)生法拉第斑圖的體系是典型的非線性體系.近些年來，隨著對非線性體系理解的深入，關(guān)于法拉第斑圖的研究受到了廣泛關(guān)注，人們對斑圖形狀的選擇[2]、斑圖產(chǎn)生的條件[3]、斑圖的穩(wěn)定性[4]等問題展開了豐富的研究.

從之前的實驗結(jié)果[5,6]來看，黃原膠溶液的法拉第斑圖比較混亂.本實驗的研究發(fā)現(xiàn)，在水中加入蜂蜜能夠大大提高斑圖的整齊程度.實驗中觀察到蜂蜜溶液的兩種斑圖產(chǎn)生機(jī)制.之后，對蜂蜜溶液這種特殊體系的動力學(xué)特性，即臨界加速度與色散關(guān)系進(jìn)行了研究.實驗發(fā)現(xiàn)，蜂蜜溶液與黃原膠溶液在弱非線性區(qū)具有相似的動力學(xué)特性.對色散關(guān)系的測量顯示，蜂蜜溶液的色散關(guān)系與重力-表面張力波理論色散關(guān)系有較好的一致性，但數(shù)據(jù)點相較于理論曲線整體偏右，這很有可能是蜂蜜溶液的非牛頓黏滯性造成的.

1 實驗對象以及設(shè)備簡介

本實驗采用蜂蜜溶液作為實驗對象.溶液的密度ρ=1.233 g/cm3，表面張力系數(shù)σ=0.046 N/m.使用的圓柱形容器內(nèi)徑d=9 cm，溶液深度h=2.5 cm.信號發(fā)生器(TFG6920A，石家莊數(shù)英儀器有限公司)輸出頻率和振幅可調(diào)的正弦信號，經(jīng)功率放大器(YE5878，江蘇聯(lián)能電子技術(shù)有限公司)放大后輸入模態(tài)激振器(JZK-100，江蘇聯(lián)能電子技術(shù)有限公司)驅(qū)動圓柱形容器振動.利用固定在激振臺上的壓電式加速度傳感器(GA-YD-107，江蘇聯(lián)能電子技術(shù)有限公司)測量平臺的加速度，信號經(jīng)電荷放大器(YE5852，江蘇聯(lián)能電子技術(shù)有限公司)放大后輸入示波器[TDS1002，泰克科技(中國)有限公司].在容器正上方安裝高速攝像機(jī)(AOS S-MOTION，瑞士AOS公司)，以環(huán)形LED照明燈進(jìn)行照明，可以拍攝高速清晰的液體表面影像.

圖1 實驗裝置示意圖(參考自同一平臺進(jìn)行實驗的相關(guān)論文[6])

2 斑圖的有序度

實驗中發(fā)現(xiàn)蜂蜜溶液的法拉第斑圖呈現(xiàn)極高的有序程度，這是水或黃原膠溶液所不具備的.實驗中拍攝了水、5 mg/ml黃原膠溶液、蜂蜜溶液的法拉第斑圖.調(diào)節(jié)激振臺驅(qū)動頻率，控制三種液體產(chǎn)生的斑圖波長相近，這樣三種液體中等相位點的間隔相當(dāng)，能更好地比較斑圖有序程度.故對于水，激振臺頻率f控制為f=100 Hz，對于黃原膠溶液控制f=100 Hz，對于蜂蜜溶液控制f=60 Hz.

從圖2可以看出，在這些頻率下，三者法拉第斑圖具有接近的波長.由于三種液體對光的反射與吸收不同，為了使液體表面對光有相同響應(yīng)從而進(jìn)行對比，在液體中各滴入500 uL黑墨水，同時拍攝過程中保持?jǐn)z像系統(tǒng)參數(shù)不變.截取一塊斑圖區(qū)域進(jìn)行二維傅里葉變換.可以看出，水的斑圖不太規(guī)則，相應(yīng)的其二維傅里葉變換的峰也不規(guī)則(中心的峰對應(yīng)直流量)，見圖2(a).黃原膠溶液的斑圖在中心處比較規(guī)則，但到了接近容器壁的地方開始變得混亂，其傅里葉變換的峰近似成周期性排列，見圖2(b).對于蜂蜜溶液，斑圖非常整齊，在距離容器壁數(shù)個波長的地方仍保持非常好的周期性，以至于對圖像進(jìn)行傅里葉變換后能看到非常清晰而尖銳、有序的峰，見圖2(c).

f=100 Hz，水的法拉第斑圖

為了進(jìn)一步定量描述斑圖的有序程度，在二維傅里葉變換頻譜上找到距原點最近的峰，以原點為中心，該峰到原點的距離為半徑畫圓，記錄圓上譜強(qiáng)度隨角度的變化.可以看出，在圓上走過一圈，對于純水，峰比較雜亂；對于黃原膠溶液，有4個較大的峰，但信噪比不高，有強(qiáng)度較大的次峰；對于蜂蜜溶液，由于原圖像中亮點呈正方形整齊排布，所以出現(xiàn)了4個非常清晰的峰.取圖3中數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為斑圖有序程度的衡量，s越大，斑圖越有序，三個體系的s值見表1.

水 黃原膠溶液 蜂蜜溶液圖3 譜強(qiáng)度隨角度的變化

表1 各液體的s值

3 斑圖產(chǎn)生的兩種機(jī)制

實驗中發(fā)現(xiàn)斑圖有兩種形成機(jī)制.在臨界振 幅以下非常緩慢地增加激振臺振幅，可以看到表面局部先產(chǎn)生穩(wěn)定的橫向條紋.隨著振幅變大，縱向條紋開始出現(xiàn)，橫向條紋和縱向條紋相交區(qū)域形成了穩(wěn)定的局域方形斑圖.進(jìn)一步加大振幅，方形斑圖范圍逐漸擴(kuò)大，直到充滿整個區(qū)域(圖4).當(dāng)激振臺的振幅較小時，外界輸送給體系的能量無法滿足全局斑圖的耗散，所以只能在局部出現(xiàn)斑圖.出現(xiàn)橫向條紋的區(qū)域總是固定的(圖中右上角)，這很有可能是由于體系在該區(qū)域存在缺陷，例如圓形的容器邊界條件遭到破壞.

V=370 mV V=372 mV

如果在臨界振幅以下突然加大振幅至高于臨界值，得益于高速攝像機(jī)的超高幀率，可以觀察到一種完全不同的斑圖形成過程.系統(tǒng)會短暫地出現(xiàn)環(huán)形條紋，這些條紋代表的液面模式是許多貝塞爾函數(shù)的疊加.隨后在邊緣出現(xiàn)格狀條紋，并逐漸向中心拓展.此時格狀條紋并不完全是正方形的，還有六邊形等其它形狀，并且由中心向外呈輻射狀排列.隨著時間t增加，這些條紋排列逐漸趨于規(guī)則，最后形成穩(wěn)定的正方形斑圖.從六邊形的暫態(tài)條紋向正方形的穩(wěn)定條紋的演化，可以說明體系對于斑圖形狀和對稱性選擇的過程(圖5).

t=0 s t=0.84 s

4 動力學(xué)特性的研究

4.1 臨界加速度的研究

產(chǎn)生斑圖的臨界加速度與驅(qū)動臺頻率的關(guān)系是法拉第斑圖體系一個重要的動力學(xué)特性.在激振臺頻率f一定的情況下，從臨界振幅以下緩慢增加激振臺振幅，直到體系出現(xiàn)法拉第斑圖，記錄下此時示波器上電荷放大器輸出電壓的峰峰值Von(這一數(shù)值正比于激振臺振動的加速度).文獻(xiàn)[5]中的理論認(rèn)為，當(dāng)液體表面最大速率達(dá)到某一臨界閾值后，體系出現(xiàn)法拉第斑圖.在這一理論下，臨界加速度對應(yīng)的電荷放大器電壓峰峰值Von與激振器頻率f之間的關(guān)系為Von∝f4/3.文獻(xiàn)[5]中對黃原膠溶液體系進(jìn)行了檢驗，結(jié)果符合較好.對于蜂蜜溶液體系，線性擬合lnVon與lnf(圖6)，擬合結(jié)果為lnVon∝1.30lnf.可以看出與該理論符合得也相當(dāng)好，說明對于蜂蜜溶液體系，斑圖出現(xiàn)條件是液體表面最大速率達(dá)到一定閾值這一理論也是合理的.因此可知在弱非線性區(qū)蜂蜜溶液與黃原膠溶液具有相似的動力學(xué)特性.

圖6 Von與f 對數(shù)線性擬合

4.2 色散關(guān)系

實驗中還對蜂蜜溶液的色散關(guān)系進(jìn)行了測量.由于參變共振[3]，液體振蕩角頻率ω與激振器振動角頻率Ω的關(guān)系為ω=Ω/2.認(rèn)為液體的色散關(guān)系符合經(jīng)典的無黏滯重力-表面張力波形式.

(1)

其中k是波矢，h是溶液深度，g是重力加速度，σ是表面張力，ρ是液體密度.對該色散關(guān)系進(jìn)行了近似，實際上色散關(guān)系還和驅(qū)動力振幅以及非線性效應(yīng)有關(guān)，但在臨界點附近這些因素影響不大[7]，更細(xì)致的計算可以參考文獻(xiàn)[7].

在高頻區(qū)獲得了非常規(guī)則的晶格狀斑圖，因此 可以比較準(zhǔn)確地算出晶格常量(圖7).利用不同頻率下規(guī)則的正方形斑圖，可以算出溶液的色散關(guān)系(圖9).

f=40 Hz f=60 Hz

另一方面，可以利用同心圓環(huán)狀的暫態(tài)波紋(圖8)算出波長[2]，從而得出色散關(guān)系(圖9).

f=40 Hz f=60 Hz

圖9 色散關(guān)系

從實驗結(jié)果可以看出，用晶格狀斑圖和暫態(tài)圓形條紋得出的色散關(guān)系與理論上的重力-表面張力波色散關(guān)系[式(1)]有較好的一致性.但數(shù)據(jù)點相較于理論曲線整體偏右，意味著在相同驅(qū)振頻率下，蜂蜜溶液形成的斑圖波數(shù)更大，波長更短，斑圖的結(jié)構(gòu)更為緊致.這很有可能是蜂蜜溶液的非牛頓黏滯性導(dǎo)致的.

5 結(jié)論

本實驗對蜂蜜溶液這一特殊體系形成的法拉第斑圖進(jìn)行了研究.蜂蜜溶液的特殊性在于，其產(chǎn)生的法拉第斑圖具有極高的有序度.實驗中觀察到了斑圖產(chǎn)生的兩種機(jī)制，并且對體系的動力學(xué)特性，即臨界加速度與色散關(guān)系展開了研究.盡管蜂蜜溶液產(chǎn)生的法拉第斑圖與黃原膠等溶液在有序度上有很大不同，兩類液體在弱非線性區(qū)具有相似的動力學(xué)特征.本實驗的研究仍然有限，還有諸多問題值得進(jìn)一步研究，例如為何蜂蜜溶液的斑圖會如此整齊等.從圖像結(jié)果來看，這種整齊程度很有可能跟蜂蜜溶液的非牛頓黏滯特性有關(guān).

6 致謝

感謝參與同一課程的同學(xué)們，在與他們的交流中受益良多.本實驗受到了實驗室前輩相關(guān)研究的啟發(fā)，在此表示感謝.