樊無雙 江蘇省南通市通州區(qū)實驗小學

拜讀了張興華老師的《我的教育人生》，我感受到了一個教師的智慧、勤懇，一個教育專家的潛心鉆研，一個教育人的真摯、熱忱。張老師基于兒童學習心理的數(shù)學教學研究給我啟發(fā)和深思：關(guān)注并順應(yīng)兒童的心理特點和認知規(guī)律，促進兒童的心理發(fā)展，用精致的引導和靈動的思考，發(fā)展學生的數(shù)學思維。

一、充分感知，渡向抽象

張老師指出：“感知是思維活動的窗戶，是人們深入認識事物本質(zhì)的開端。小學生認識事物帶有很大的具體性和直觀形象性，特別需要先從感知窗戶得到一定的感性知識，作為升華到理性的誘因和基礎(chǔ)?！?/p>

（一）從具象到抽象

在執(zhí)教小學數(shù)學五年級上冊《解決問題的策略》時，我就深有感觸。比如在面對組題“圍拼問題”時，部分學生始終不太理解和區(qū)分用同一根鐵絲圍長方形和用若干個小正方形拼長方形這兩類問題的方法異同。面對學生存在的問題，我決定從具體感知出發(fā)，引導學生先對比觀察，明確“圍拼”之區(qū)別：用一根鐵絲圍長方形，鐵絲圍的是長方形的周長，而用若干個小正方形拼長方形，小正方形面擺出的是長方形的面積。引導學生再動手圍拼，思考“圍拼”之關(guān)鍵：鐵絲圍成的長方形周長始終是鐵絲總長，小正方形拼成的長方形面積始終是小正方形的面積和。引導學生動腦“畫”，聯(lián)想“圍拼”之本質(zhì)：圍法變化間長方形周長不變，拼法變化間長方形面積不變。最后學生自然而然能夠?qū)⒉僮鲀?nèi)化，抓住題目關(guān)鍵，從而歸納出解題方法：一根鐵絲圍長方形，周長不變，即長寬之和不變，依次列舉長寬即可列舉出所有情況。用若干個小正方形拼大長方形，總面積不變，思考一行擺幾個，擺幾行，就能確定長方形的長和寬，依次列舉即可得出所有情況。

正如皮亞杰認知發(fā)展階段理論所言，小學生正處于具體運算階段，缺乏抽象邏輯推理能力，但他們能憑借具體形象的支撐，進行邏輯推理。在面對學生不易夠著的抽象方法時，教師不妨放慢腳步，回到學生身邊，基于兒童的認知規(guī)律，利用具體的操作和形象的圖示，讓學生有所感、有所知，建立符合他們認知的表象，以此為基，逐步構(gòu)建，渡向抽象。

（二）從抽象再回到具象

小學數(shù)學四年級下冊三角形的三邊關(guān)系對該年齡段的學生來說比較抽象難理解。教師借助教具的擺放，或是課件動畫的演示可以給學生理解的具象支持，從而使學生獲得清晰的認識，得出最終結(jié)論：任意兩邊之和大于第三邊，即利用較短的兩邊之和大于最長邊就可以直接判斷給出的三條邊能否圍成三角形。但是在進行相關(guān)的變式練習時，學生不易直接利用已有結(jié)論進行具體遷移，但可以結(jié)合動手操作和嘗試推理等解決抽象問題的方法進行一般遷移。比如已知三角形周長，怎樣確定三角形三條邊分別是多長這類問題，直接從三角形三邊關(guān)系入手比較困難。我們可以引導學生回顧探索三邊關(guān)系的過程，在嘗試擺畫的過程中，逐漸逼近極端情況：最長邊是兩短邊之和時正好圍不成。此時，如果繼續(xù)增長最長邊更加圍不成，如果縮短最長邊則開始圍得成。在圖像和數(shù)據(jù)的同步呈現(xiàn)下，學生真正理解解決該問題的突破口乃是首先確定最長邊：最長邊必須小于三角形周長的一半。接下來我們再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，通過有序列舉和簡單計算就能夠確定另外兩條邊的長度分別是多長了。

由此可見，孩子真正理解抽象的概念是需要具體形象的感性材料支撐的，在理解抽象概念之后，運用抽象概念和方法解決比較綜合的難題時，也不能保守，應(yīng)當引導學生再回到具體，重拾感性材料，借助直觀圖示，深入剖析問題關(guān)鍵，尋找解題突破口，將難題分解和降級，使理解負擔減輕，從而讓學生對具體方法運用得更靈活，對抽象概念理解得更深刻。

二、善用變式，突出本質(zhì)

在閱讀本書的過程中，我發(fā)現(xiàn)張老師特別熱衷于也特別善于在變式練習中加強學生對概念的理解和對思維的提升。在鄭毓信教授的《新數(shù)學教育哲學》中也提到了“變式理論”：具體地說，為了防止學生將相關(guān)實例的某些特殊性質(zhì)誤認為相應(yīng)概念的本質(zhì)屬性，我們在教學中就不應(yīng)局限于平時所經(jīng)常用到的一些實例（這就是所謂的“標準變式”），也應(yīng)當有意識地引入一些“非標準變式”，另外，教學中我們還應(yīng)有意識地引入一定的“反例”……盡管上述分析主要是針對數(shù)學概念的教學進行的，但其主要結(jié)論對于“問題解決”的教學顯然也是同樣適用的。

（一）概念中的變式

在概念教學中，學生往往會因為給出的例證過于典型，而下意識地縮小概念外延。張老師在書中就提到了梯形的概念。孩子們在生活中和書本上見到的梯形一組不平行的對邊方向都類似于一撇一捺，一旦遇到上底的一端超過下底這端的邊緣，孩子們自發(fā)地忽視了梯形的本質(zhì)特征，而選擇根據(jù)頭腦中典型的例證推想這不是梯形。因此有必要在學生認識梯形的初期就適當引入這樣的例子，完善學生對梯形的正確認識，同時也提醒孩子在判斷時不能盲目地歸納，而要抓住概念的本質(zhì)特征進行正確的判斷。

其實在圖形與幾何中不乏這樣的存在。就以四邊形、平行四邊形、長方形和正方形的包含關(guān)系為例，學生學習了長方形后，會根據(jù)自己的生活經(jīng)驗和課堂圖示，在自我歸納中形成長方形的表象：兩組對邊分別平行，有四個直角，并且一組對邊為長邊，另一組對邊為短邊，形狀是長長的或者扁扁的。在學習完正方形特征后，學生會更傾向于對兩者進行區(qū)分，而非聯(lián)系。即使再三強調(diào)，學生也沒有真正認可正方形是特殊的長方形。怎樣才能讓學生從聯(lián)系的角度出發(fā)，發(fā)自內(nèi)心地接受兩個圖形之間存在的包含關(guān)系呢？教師可以在學生對長方形和正方形概念穩(wěn)固的前提下，采用動態(tài)的演示：將一個普通四邊形，逐步變形到平行四邊形，再到長方形，最后到正方形。在變形的過程中，引導學生感受圖形原有特征的不變、與原來相比產(chǎn)生變化的新增特征，在遞進中體會圖形概念中特征的重疊，抓住幾類圖形概念的本質(zhì)，理解逐層包含的關(guān)系，真正接納正方形是特殊的長方形，也能領(lǐng)會長方形是特殊的平行四邊形，平行四邊形是特殊的四邊形。既學會在對比中理解概念間的區(qū)別，也學會在對比中接納概念間的聯(lián)系。

（二）解決問題中的變式

在應(yīng)用題教學中，張老師常組織一題多變、一題多解、一題多問、一式多算等活動，在這些活動中增強學生興趣，強化學生抓住問題本質(zhì)的思維能力，在日常的練習中培養(yǎng)學生的理性思考品質(zhì)。

在單元教學后出現(xiàn)的大量習題為了鞏固新知，往往形式和內(nèi)容上比較單一，學生極易出現(xiàn)借助經(jīng)驗解題的情況，在這樣的練習下，如果不采取一些變式練習，教師無從真正了解學生的理解程度。因此，受到張老師的啟發(fā)，我也試著利用組題來考查學生是否真正理解問題本質(zhì)，能夠靈活解決問題。

比如五年級上冊的《多邊形的面積》，我們在求到土地面積大小后，常常接著設(shè)計“平均每棵白菜占地9平方米”“平均每平方米需要油漆2 千克”這樣的條件，再根據(jù)這類條件繼續(xù)求解。如果不能理解問題實質(zhì)，這類問題極易混淆學生。怎樣才能讓他們經(jīng)歷思考后明確問題本質(zhì)，做出準確解答呢？我設(shè)計了以下一組題：

（1）一塊梯形菜地的上底是9 米，下底是12 米，高是18 米，如果平均每棵白菜占地9 平方分米，這塊地一共可以種多少棵白菜？

（2）一塊梯形菜地的上底是9 米，下底是12 米，高是18 米，如果平均每平方米需要施肥200 克，這塊菜地需要肥料多少千克？

（3）一塊梯形土地的上底是9 米，下底是12 米，高是18 米，如果每2 平方米種3 棵小樹苗，這塊地一共可以種多少棵小樹苗？

仔細一看，這組題的最后一個條件各不相同，計算的方法也不一樣，可是再深思對比，其實它們的本質(zhì)都是一樣的，那就是都要“分地”。三道題都需要按照題意對梯形的面積進行劃分：第一題是每9 平方分米為一份，第二題是每平方米為一份，而第三題是每2 平方米為一份。在按照要求對梯形面積進行包含除后，就能夠確定總面積里有幾份這樣的小面積，從而再確定白菜、肥料和小樹苗的數(shù)量。

在應(yīng)用題的設(shè)計、練習和講評過程中，為避免學生不加思考而直接依賴經(jīng)驗解決問題，教師要充分利用已有素材，善于組織變式練習，引導學生嘗試多樣的方法，多角度去思考，真正把握問題本質(zhì)，完成對知識的深化和對方法的靈活運用，培養(yǎng)學生理性思考的品質(zhì)。

三、強固基礎(chǔ)，組織遷移

張老師指出，研究表明，直接影響學生遷移過程的主要有三個認知結(jié)構(gòu)變量：一是學生原有認知結(jié)構(gòu)中是否有適當?shù)钠饛姽套饔玫挠^念可以利用（簡稱“可利用性”）；二是新的有潛在意義的學習任務(wù)與同化它的原有的概念系統(tǒng)的可以辨別的程度如何（簡稱“可辨別性”）；三是原有的起固定作用的觀念的穩(wěn)定性和清晰性如何（簡稱“穩(wěn)定性”）。

學習者的認知結(jié)構(gòu)特征恰恰就是影響知識理解的重要主觀因素之一，由此可見，學生只有強固基礎(chǔ)知識，才能真正理解新知，并使新知順利同化或順應(yīng)于原有認知結(jié)構(gòu)，更新并平衡認知結(jié)構(gòu)，擴大其規(guī)模，增厚其深度，拓寬其廣度。

（一）從負遷移到正遷移

四年級學生在學習了加減乘除混合運算后，面對諸如24×5÷24×5 和25+75-25+75 這樣的綜合算式，有部分學生會根據(jù)算式中的數(shù)據(jù)所具有的對稱特點，自發(fā)地被已經(jīng)學過的帶有小括號的綜合算式的運算順序負遷移，認為這類算式可以先算兩邊，再算中間。在計算里，像這樣的錯例還有很多。由此可見，學生在考慮運算順序的過程中，極易被數(shù)據(jù)的特點影響，而忽視加減乘除四則運算本身的運算順序。學生之所以會存在這樣的負遷移，往往是因為運算原理和方法基礎(chǔ)掌握得不夠穩(wěn)固，不同運算類型之間的可辨別性低。教師要在穩(wěn)固基礎(chǔ)的前提下，給學生提供更多對比、練習、提煉、歸納的機會，使學生在面對計算問題時，能夠辨別和利用的是算理而不是非本質(zhì)的數(shù)據(jù)特點，在利用和辨別的過程中對算理及算法進行進一步的鞏固理解。

（二）從水平遷移到垂直遷移

基礎(chǔ)知識的扎實不僅影響著學生能否準確地進行知識方法的水平遷移，更影響著整個單元教學內(nèi)容甚至整個小學階段相關(guān)知識的垂直遷移。以圖形學習為例，學生從一年級開始初步認識立體圖形，再到中年級遞進認識平面圖形，并結(jié)合平面圖形的特點理解平面圖形的面積和周長以及相關(guān)計算方法，再到高年級進一步對立體圖形進行探索和研究。要想將圖形的知識融會貫通，首先便是打好認識圖形特征的基礎(chǔ)。比如六年級下冊學生學習圓柱和圓錐時，一整個單元的教學都直指第一課時：圓柱和圓錐的特征，再向前追溯則是長方體、圓形、長方形等基本圖形的特征。從計算圓柱體側(cè)面積、底面積、表面積、體積，到在圓柱體上進行彩帶的捆扎，長方形、三角形的旋轉(zhuǎn)成體，從圓柱體上將商標紙剝離……每一次知識的綜合運用都是對學生基礎(chǔ)的檢驗。只有基礎(chǔ)知識扎實、穩(wěn)定、可辨別，才可被準確提取利用，實現(xiàn)有效地垂直遷移。因此，從一開始就應(yīng)當借助直觀，引導學生準確感知，發(fā)展空間觀念，利用好平面圖形和立體圖形的特征這一錨樁，將后續(xù)的綜合學習之船穩(wěn)固住。不僅僅是圖形的認識這一領(lǐng)域，在數(shù)學學習的整個過程中，基礎(chǔ)知識始終占據(jù)著最為重要的位置，只有強固基礎(chǔ)，奠穩(wěn)基石，方能利用遷移，筑起萬丈高樓。

（三）從特殊遷移到一般遷移

在解決問題的策略教學過程中，學生能夠在解題時，利用特殊遷移，將同類問題的解答做得非常棒，但是一旦問題更綜合，類型更豐富，題目不典型，他們往往就沒了自信，對數(shù)量關(guān)系一知半解，好像之前的知識方法的遷移在這里失效了一樣。究其原因，原來是同類型的練習學生在解答時往往根據(jù)“經(jīng)驗”，模仿著方法，利用特殊遷移在解題，而不是真正理解知識方法后的一般遷移。所以，在解決問題的策略教學時，要注重學生對知識方法的真正理解，結(jié)合基礎(chǔ)練習的步驟理解、變式練習的本質(zhì)探尋、綜合訓練的剝絲抽繭，幫助學生強固基礎(chǔ)，使數(shù)量關(guān)系、方法技能真正穩(wěn)固、可辨別、可利用。

總之，在小學數(shù)學教育教學的過程中，教師要關(guān)注并順應(yīng)兒童的心理特點和認知規(guī)律，利用精致的引導和靈動的思考，促進兒童的心理發(fā)展和認知發(fā)展，培養(yǎng)兒童的數(shù)學思維。教師要在兒童充分感知的前提下，利用操作和圖示，促進學生形成表象，在直觀上理解并逐步渡向抽象，從而靈活運用抽象概念；教師要在標準變式的基礎(chǔ)上，引入非標準變式和反例，在變式的對比思考中突出問題本質(zhì)，完善學生的認識，擴展學生的思維；學生只有在基礎(chǔ)知識強固的背景下，才能對已學知識組織有效的正向遷移，在理解基礎(chǔ)上更新原有認知結(jié)構(gòu)，才能擁有對數(shù)學知識系統(tǒng)連貫的學習張力。張興華老師對兒童學習心理的研究給我們最重要的啟發(fā)就是只有立足于兒童，才能成就教育教學；兒童是教育的中心，也是重心。教育人生就是成就兒童的美好人生。