吳 婷

（閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,福建 漳州 363000）

1985年,Doignon 和Falmagne 在文獻[1-2]中提出了用來知識評估和輔助學習的知識空間理論.在知識空間的理論中,pre-拓撲[3]又稱為知識空間.事實上,pre-拓撲與Császár[4]提出的強廣義拓撲是相一致的.2005年,李進金[5-6]研究了pre-拓撲結(jié)構(gòu).隨后,劉德金等[7-12]研究了pre-拓撲結(jié)構(gòu)的一些拓撲性質(zhì).2021年,林福財?shù)萚13]較系統(tǒng)的研究了pre-拓撲空間的性質(zhì).目前,關(guān)于pre-拓撲空間的研究已經(jīng)取得了一些較好的結(jié)果.

20世紀以來,代數(shù)與拓撲這兩個數(shù)學分支不斷地互相滲透,逐步形成了一個新的分支——拓撲代數(shù).拓撲群是拓撲代數(shù)的重要研究內(nèi)容之一,pre-拓撲群作為拓撲群的推廣,研究其性質(zhì)能夠進一步豐富拓撲代數(shù)的內(nèi)容.在文獻[14]中定義了pre-拓撲群并研究了pre-拓撲群的一些性質(zhì),比如:T0的pre-拓撲群是正則的;其中也給出了pre-拓撲群的余反射群拓撲τ*的定義及τ*的基的形式.因此本文在此基礎上進一步研究,探索了pre-拓撲群(G,τ)與余反射拓撲群(G,τ*)之間的一些拓撲性質(zhì)關(guān)系,并得到了如下的結(jié)果:

1)(G,τ*)是正則的當且僅當(G,τ)是正則的.

2)若(G,τ)是第一可數(shù)的,則(G,τ*)是第一可數(shù)的;反之不成立.

3)若(G,τ*)是連通的,則(G,τ)是pre-連通的;反之不成立.

4)若(G,τ*)是Lindel?f的,則(G,τ)是Lindel?f的;反之不成立.

5)若(G,τ*)是可分的,則(G,τ)是pre-可分的;反之不成立.

1 預備知識

定義1[1]若集合X的子集的集族τ滿足對任意的并封閉且X∈τ.特別地,?∈τ.則稱τ是X上的pre-拓撲,τ中的元素稱為pre-拓撲的開集.

定理1[13]設B和B′分別是集合X的pre-拓撲τ和τ′的pre-基.下列條件等價:

1)τ′細于τ,即τ?τ′;

2）如果B∈B且x∈B,則存在B′∈B′使得x∈B′?B.

定義2[13]設X是pre-拓撲空間.如果X不能表示為兩個不相交的非空開子集的并,則稱X是pre-連通空間.

定義3[13]設X是pre-拓撲空間,x∈X.如果對x的每個鄰域U,存在x的pre-連通的鄰域V使得V?U,則稱在點x是pre-局部連通的.如果X在它的每一點處是pre-局部連通的,則稱X是pre-局部連通空間.

定義4[14]非空集合G是一個群同時又是pre-拓撲空間,使得乘法運算f(x×y)=x·y是G×G→G的pre-連續(xù)映射且逆運算g(x)=x-1是G→G的pre-連續(xù)映射,則稱G為pre-拓撲群.

定理2[14]設G是pre-拓撲群.若Be是單位元e處的pre-鄰域基,則對任意g∈G,g處的pre-鄰域基為Bg={gU:U∈Be}或者Bg={Ug:U∈Be}.

定理3[14]T0的pre-拓撲群(G,τ)是正則的.

定義5[14]設(G,τ)是pre-拓撲群,若τ*是G上比τ細的最粗的拓撲群拓撲,則稱τ*是τ的余反射群拓撲.

命題1[14]設(G,τ)是pre-拓撲群,則集族B={∩F:F ?τe,|F|＜ω}為余反射群拓撲τ*中單位元e的一個開鄰域基.

定理4[15]每一拓撲群是T3空間.

命題2[16]離散拓撲空間X是可分的當且僅當|X|≤0.

本文用到的有關(guān)拓撲空間、pre-拓撲空間中一些未說明的定義和術(shù)語讀者可以參考文獻[13,16-17].

2 主要結(jié)果與證明

在文獻[14]中給出了許多pre-拓撲群的例子,再由命題1有

例1在實數(shù)集R上賦予加法,使得(R,+)是一個群,定義R上的pre-拓撲τ的pre-基為

U={(-∞,a)：a∈R} ∪{(b,+∞)：b∈R},

則(R,+,τ)為pre-拓撲群.(R,+,τ)的余反射群拓撲τ*的基為U*={(a,b):a,b∈R}.

例2在群(R,+)上定義pre-拓撲τ的pre-基為

U={[a,b)：a,b∈R,b＞a} ∪{(b,a]：a,b∈R,b＜a},

則(R,+,τ)是一個pre-拓撲群.(R,+,τ)的余反射群拓撲τ*的基為U*={{a}:a∈R},則余反射拓撲群(R,+,τ*)是不可數(shù)的離散拓撲群.

下面命題說明pre-拓撲群的分離性與其余反射拓撲群的關(guān)系.

命題3pre-拓撲群(G,τ)是T0的當且僅當余反射拓撲群(G,τ*)是T0的.

證明 必要性對任意x∈G且x≠e.由pre-拓撲群(G,τ)是T0的,則存在U∈Be使得e?xU,或者存在W∈Be使得x?W.由τ?τ*,則 存在V∈Be

*使得V?U,于是e?xV.或者存在O∈Be*使得O?W,于是x?O.因此,(G,τ*)是T0的.

充分性對任意x∈G且x≠e.由余反射拓撲群(G,τ*)是T0的,則存在使得e?xU,其中Ui∈Be,n∈N.于是從而存在i≤n使得x?U-1i,即x-1?Ui,所以e?xUi.或者存在W=使得x?W,其中Wi∈Be,n∈N.所以存在i≤n使得x?Wi.因此,pre-拓撲群(G,τ)是T0的.

推論1pre-拓撲群(G,τ)是正則的當且僅當余反射拓撲群(G,τ*)是正則的.

證明由(G,τ)是正則的,則(G,τ)是T0的.由命題3知:(G,τ*)是T0的.因此余反射拓撲群(G,τ*)是正則的.相反,若(G,τ*)是正則的,則(G,τ*)是T0的.由命題3 知:(G,τ)是T0的.由定理3 知:T0的pre-拓撲群是正則的,所以(G,τ)是正則.

定義6設X是pre-拓撲空間.如果x∈X且x在X中具有可數(shù)的pre-鄰域基,則稱X在點x處是第一可數(shù)的.若X的每一點是第一可數(shù)的,則稱X滿足第一可數(shù)公理或X是第一可數(shù)空間.

命題4若pre-拓撲群(G,τ)是第一可數(shù)的,則余反射拓撲群(G,τ*)是第一可數(shù)的;反之不成立.

證明若pre-拓撲群(G,τ)是第一可數(shù)的,則(G,τ)在單位元e處具有可數(shù)的pre-鄰域基Be.由命題1 可知,余反射拓撲群在單位元e處的鄰域基Be*={∩F:F ?Be,|F|＜ω}.因為可數(shù)集的有限交仍是可數(shù)集,從而Be*是可數(shù)的,所以余反射拓撲群(G,τ*)是第一可數(shù)的.

相反,設G=A(X)是非離散的完全正則空間X上的自由群且τ1是其上自由交換拓撲群拓撲.由文獻[18]可知,交換群G=A(X)存在拓撲群拓撲τ2使得τ1和τ2分別存在單位元e的一個開鄰域U1和U2滿足U1∩U2={e}.由文獻[15]知τ1不是第一可數(shù)的,于是pre-拓撲群拓撲τ1∪τ2不是第一可數(shù)的.但余反射群拓撲τ*是離散的,從而是第一可數(shù)的.

命題5若余反射拓撲群(G,τ*)是連通的,則pre-拓撲群(G,τ)是pre-連通的;反之不成立.

證明若(G,τ)不是pre-連通的,則τ中存在既開且閉的非空真子集A.由τ?τ*,集合A也為τ*中既開且閉的非空真子集,這與(G,τ*)是連通的矛盾.所以pre-拓撲群(G,τ)是pre-連通的.

反之,由文獻[18]知基數(shù)為c的Boolean 群G上存在兩個連通的可度量化群拓撲τ1和τ2使得τ1和τ2分別存在單位元e的一個開鄰域U1和U2滿足U1∩U2={e}.顯然,τ1∪τ2是pre-連通的pre-拓撲群拓撲.但因為τ*是離散的,所以余反射群拓撲τ*不是連通的.

命題6存在余反射拓撲群(G,τ*)是局部連通的,但pre-拓撲群(G,τ)不是pre-局部連通的.

證明例2 中,余反射拓撲群(R,+,τ*)是離散拓撲群,從而是局部連通的.但(R,+,τ)不是pre-局部連通的.事實上,對任意x∈R,存在x的一個開鄰域[a,b)使得對x的任意包含于[a,b)的鄰域[c,d)或者(c,d]都是(R,+,τ)中既開且閉的真子集.因此,(R,+,τ)不是pre-局部連通的.

定義7設X是pre-拓撲空間.如果X的每個開覆蓋都有有限子覆蓋,則稱X是pre-緊空間.

命題7若余反射拓撲群(G,τ*)是緊的,則pre-拓撲群(G,τ)是pre-緊的.

證明設A為pre-拓撲群(G,τ)的一個開覆蓋.由τ?τ*,則A也為(G,τ*)的一個開覆蓋.由(G,τ*)是緊的,則A具有有限子覆蓋.所以(G,τ)是pre-緊的.

問題1是否存在pre-拓撲群(G,τ)是pre-緊的,但余反射拓撲群(G,τ*)不是緊的?

定義8設X是pre-拓撲空間.如果每一點x∈X具有一個pre-緊的鄰域,則稱X是pre-局部緊空間.

命題8存在余反射拓撲群(G,τ*)是局部緊的,但pre-拓撲群(G,τ)不是pre-局部緊的.

證明例2 中,余反射拓撲群(R,+,τ*)是離散拓撲群,從而是局部緊的.但(R,+,τ)不是pre-局部緊的.事實上,對任意x∈R,對x的任意一個開鄰域[a,b)或者(a,b],其中a,b∈R且a＜b.因為集族A={[a,x1),[x1,x2),…,[xn,xn+1),…,[x∞,b)}是[a,b)的一個開覆蓋,但集族A沒有有限子覆蓋,所以x的開鄰域[a,b)不是pre-緊的;同理可證(a,b]不是pre-緊的鄰域.因此,(R,+,τ)不是pre-局部緊的.

注例1 中,pre-拓撲群(R,+,τ)不是pre-局部緊的.這是因為對單位元e的任意一個開鄰域(-a,+∞)或者(-∞,a),其中a∈R且a＞0.集族A={(-∞,i):i∈N}是(-a,+∞)的一個開覆蓋,但是集族A沒有有限子覆蓋,所以(-a,+∞)不是pre-緊的;同理可證(-∞,a)不是pre-緊的鄰域.所以pre-拓撲群(R,+,τ)不是pre-局部緊的.因為(R,+,τ)的余反射群拓撲τ*是群(R,+)上的通常拓撲,所以(R,+,τ*)是局部緊的.

定義9設X是pre-拓撲空間.如果X的每個開覆蓋都有可數(shù)子覆蓋,則稱X是Lindel?f空間.

命題9若余反射拓撲群(G,τ*)是Lindel?f的,則pre-拓撲群(G,τ)是Lindel?f的;反之不成立.

證明設A為pre-拓撲群(G,τ)的一個開覆蓋.由τ?τ*,則A也為(G,τ*)的一個開覆蓋.由(G,τ*)是Lindel?f的,則A具有可數(shù)子覆蓋.所以(G,τ)是Lindel?f的.

相反,例2 中,(R,+,τ*)是不可數(shù)的離散拓撲群,從而不是Lindel?f.但(R,+,τ)是Lindel?f的pre-拓撲群.事實上,設A={Uα:α∈Λ}是(R,+,τ)的一個開覆蓋.記U?α為Uα在通常拓撲σ下的內(nèi)部.令則U作為(R,σ)的子空間是第二可數(shù)的,于是U是Lindel?f的,從而U的開覆蓋{U?α:α∈Λ}具有可數(shù)子覆蓋令F=R-U,下證:F是一個可數(shù)集.那么pre-拓撲群(R,+,τ)是Lindel?f的.

對任意a∈F,則a一定是集族{Uα:α∈Λ}中某個元的左端點或者右端點,否則a∈U,這與a的取法矛盾.不妨設a是集族{Uα:α∈Λ}中某個元的左端點,則存在xa＞a使得[a,xa)?Uα,于是就有(a,xa)?U,所以(a,xa)∩F=?.記A′={(a,xa):a∈F},則A′為互不相交的開區(qū)間族并且是可數(shù)的,從而F是可數(shù)的.

定義10設X是pre-拓撲空間.如果X具有可數(shù)的稠密子集,則稱X是pre-可分空間.

命題10若余反射拓撲群(G,τ*)是可分的,則pre-拓撲群(G,τ)是pre-可分的;反之不成立.

證明若(G,τ*)是可分,則(G,τ*)具有可數(shù)的稠密子集A.由τ?τ*,則A也是(G,τ)的稠子集.因此,pre-拓撲群(G,τ)是pre-可分的.

例2 中,顯然(R,+,τ)是一個pre-可分的pre-拓撲群.但因為(R,+,τ*)是不可數(shù)的離散拓撲群,所以(R,+,τ*)是不可分的.