林玉玲

史寧中教授在《數(shù)學(xué)思想概論》一書中，系統(tǒng)介紹了數(shù)學(xué)教學(xué)中的歸納推理，即從特殊到一般的推理，它告訴我們可以從順向去思考，那就是憑借我們對(duì)事物的過去和現(xiàn)在情況的了解去推斷事物的未來，也可以以逆向思維的方式從熟悉事物的當(dāng)前狀況反向思考推導(dǎo)出事物的過去情況，其實(shí)質(zhì)是已經(jīng)驗(yàn)證過的事物推斷出未經(jīng)驗(yàn)證的事物。在歸納推理的過程中，概念或法則不需要進(jìn)行嚴(yán)格的定義或規(guī)定，學(xué)生可以通過大膽猜想來對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行探究。在小學(xué)階段，學(xué)生對(duì)運(yùn)算規(guī)律、概念公式或數(shù)學(xué)模型的探究大多是對(duì)不完全歸納法的嘗試運(yùn)用，這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要路徑。那么，怎樣在小學(xué)階段的課堂教學(xué)中有效培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力呢？本文將從以下幾個(gè)方面展開具體闡述。

一、異中求同，提高學(xué)生歸納推理的準(zhǔn)確性

眾所周知，簡(jiǎn)單的歸納推理思想在學(xué)生的幼兒階段就存在于他們的潛意識(shí)中，豐富的學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與合情合理的想象是培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力的必要前提。在日常教學(xué)中，我們要深入挖掘教材，指導(dǎo)學(xué)生充分獲得必要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，大力培養(yǎng)他們的歸納推理意識(shí)，為實(shí)現(xiàn)歸納推理能力的提升打下良好的基礎(chǔ)。

例如，在教學(xué)“9加幾”的過程中，可以讓學(xué)生利用擺小棒探索計(jì)算9加幾的湊十方法，結(jié)合學(xué)具計(jì)算出9加幾的結(jié)果，然后讓學(xué)生將這些算式讀一讀：9+1=10，9+2=11，9+3=12，9+4=13，9+5=14，9+6=15，9+7=16，9+8=17，9+9=18。之后，教師提問：“通過這樣有節(jié)奏的讀，說說你有什么發(fā)現(xiàn)？”這個(gè)問題的提出就是歸納推理意識(shí)的啟蒙，啟發(fā)學(xué)生逐步從具體操作轉(zhuǎn)向抽象歸納。學(xué)生很容易就可以發(fā)現(xiàn)：加的數(shù)逐步在增加，得數(shù)也相應(yīng)在增加。還有的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)：得數(shù)個(gè)位上的數(shù)總是比第二個(gè)加數(shù)少1。教師可以進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思考：“為什么會(huì)少1呢？少的這個(gè)1去哪里了？”結(jié)合學(xué)生擺小棒的經(jīng)驗(yàn)，再次呼應(yīng)湊十的方法。在發(fā)現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律后，教師引導(dǎo)學(xué)生來計(jì)算9加幾，并提問：“這樣是不是可以算得更準(zhǔn)更快呢？”讓學(xué)生感受發(fā)現(xiàn)規(guī)律、運(yùn)用規(guī)律可以提高計(jì)算的正確率和速度，這樣就可以為學(xué)生埋下歸納推理的種子。長(zhǎng)期堅(jiān)持這樣的扎實(shí)訓(xùn)練和有效引導(dǎo)，學(xué)生便可由表及里，學(xué)會(huì)透過現(xiàn)象看本質(zhì)，善于異中求同，巧用規(guī)律，從而提高他們歸納推理的準(zhǔn)確性。

二、由淺入深，激發(fā)學(xué)生歸納推理的主動(dòng)性

一般而言，小學(xué)階段的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知都是從原有的生活經(jīng)驗(yàn)逐步抽象出數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)模型，再運(yùn)用模型來解決實(shí)際問題。學(xué)生在經(jīng)歷了一系列學(xué)習(xí)探究過程之后，便能逐步將生活與數(shù)學(xué)建立聯(lián)系，由淺入深，逐步形成歸納推理意識(shí)。這個(gè)探究過程，大大增強(qiáng)了學(xué)生進(jìn)行歸納推理的主動(dòng)性，對(duì)發(fā)展學(xué)生的歸納推理能力大有裨益。

例如，在教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，教師可以通過三個(gè)層次來培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)。第一層次：觀察、猜想。給學(xué)生提供求長(zhǎng)方形面積的素材（如圖1），針對(duì)學(xué)生列出的兩種不同的算式：6×3+4×3和（6+4）×3，展開討論：哪個(gè)算式正確？學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)算式都是正確的，之間可以用等號(hào)連接，即6×3+4×3=（6+4）×3。進(jìn)一步觀察：這個(gè)算式有什么特點(diǎn)？是不是具有這樣特點(diǎn)的算式都可以用等號(hào)連接呢？第二個(gè)層次：驗(yàn)證、建模。啟發(fā)學(xué)生在猜想的基礎(chǔ)上舉例進(jìn)行驗(yàn)證，在驗(yàn)證的時(shí)候可以考慮例子的多元性和層次性?？梢韵葞е榫撑e例子：學(xué)校要給舞蹈隊(duì)買服裝，一件上衣46元、一條褲子54元，買5個(gè)人的服裝要花多少元？學(xué)生通過不同的解法得出46×5+54×5=（46+54）×5。然后再逐步剝離情境，抽象出數(shù)學(xué)算式的例子，讓學(xué)生在大量例子的佐證下逐步形成關(guān)于乘法分配律的數(shù)學(xué)模型。第三個(gè)層次：運(yùn)用、變式。憑借不完全歸納法的輔助，在學(xué)生已經(jīng)對(duì)乘法分配律有了一定認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，怎樣才能讓他們靈活運(yùn)用運(yùn)算定律來進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算并形成技巧，需要設(shè)計(jì)有層次和梯度的習(xí)題進(jìn)行鞏固和提升。第四個(gè)層次：回顧、反思。在課堂小結(jié)時(shí)，啟發(fā)學(xué)生回顧：我們是怎樣探究乘法分配律的？引導(dǎo)學(xué)生逐步明晰歸納推理的方法：觀察—發(fā)現(xiàn)—猜想—驗(yàn)證—應(yīng)用。

三、化靜為動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生歸納推理的靈活性

小學(xué)階段，學(xué)生的思維以直觀形象思維為主，抽象邏輯思維處于萌芽階段。在“圖形與幾何”領(lǐng)域，需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間觀念和幾何直觀能力，從數(shù)學(xué)本質(zhì)上感悟概念的內(nèi)涵和公式的形成過程。基于信息技術(shù)的多媒體課件，可以從很大程度上豐富學(xué)生的感知，提升學(xué)生的理解能力，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生的歸納推理能力。

例如，教學(xué)“圓的面積”相關(guān)內(nèi)容。這是學(xué)生第一次接觸求曲線圖形的面積，一時(shí)很難找到突破口，難以和以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系。通過動(dòng)手操作，學(xué)生可以嘗試將圓8等分、16等分，再拼接成近似的平行四邊形（圖2）。但從視覺上，學(xué)生對(duì)于近似的平行四邊形是有疑慮的——這樣的不規(guī)則圖形能代表圓的面積嗎？這時(shí)，教師可以借助多媒體課件，化靜為動(dòng)，依次展示32等分、64等分、128等分……隨著分的份數(shù)越來越多，拼出的圖形就越接近長(zhǎng)方形，這時(shí)啟發(fā)學(xué)生尋找圓與長(zhǎng)方形的對(duì)應(yīng)關(guān)系就水到渠成了。信息技術(shù)的使用可以化靜為動(dòng)、化有限為無限。學(xué)生更容易將未知圖形（圓）轉(zhuǎn)化為已知的圖形（長(zhǎng)方形），基于長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式，猜測(cè)圓的面積計(jì)算公式，再經(jīng)由歸納推理，驗(yàn)證自己的猜想。

又如，學(xué)習(xí)“正方體的展開圖”這一內(nèi)容，學(xué)生的空間想象能力還比較薄弱，很難建立“面”和“體”之間的聯(lián)系，所以這一知識(shí)點(diǎn)一直都是教學(xué)中的難點(diǎn)。在教學(xué)中，我們除了可以讓學(xué)生動(dòng)手拆一拆正方體以積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、豐富空間想象能力之外，還可以借助多媒體課件的展開功能，啟發(fā)學(xué)生對(duì)正方體的展開圖進(jìn)行歸納，大膽猜測(cè)，引導(dǎo)學(xué)生探究究竟什么樣的展開圖可以合成正方體，總結(jié)規(guī)律、驗(yàn)證規(guī)律。可見，多媒體的運(yùn)用可以化靜為動(dòng)、化抽象為直觀，讓學(xué)習(xí)過程變得更靈活。

總之，在當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不再使用傳統(tǒng)的教學(xué)方式，或是將知識(shí)全盤托出，而是循序漸進(jìn)，逐步揭示知識(shí)的形成過程。結(jié)合信息技術(shù)，學(xué)生在動(dòng)靜結(jié)合中進(jìn)一步感知和發(fā)展空間觀念，并在學(xué)習(xí)的過程中完成從觀察比較，到大膽猜想，再到歸納推理的認(rèn)知過程。信息技術(shù)的使用，不僅為學(xué)生的自主探究創(chuàng)造了條件，還有效地展示了直觀的教學(xué)情境，讓學(xué)生能快速、準(zhǔn)確、深刻地把握學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，使他們對(duì)數(shù)學(xué)中的歸納推理有了更深刻的研究。

（作者單位：北京師范大學(xué)廈門海滄附屬學(xué)校?責(zé)任編輯：王彬）

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