楊 伊，李小華，楊瑞芳

(遼寧科技大學 電子與信息工程學院，遼寧 鞍山 114051)

機械臂是具有高度復雜時變耦合動力學特性的非線性系統(tǒng). 有關機械臂系統(tǒng)的控制方法主要有: PID(proportion integration differentiation)[1-2]、自適應[3-4]、backstepping[5-9]、 魯棒控制[10-12]等. 有限時間控制由于具有快的收斂性和強的魯棒性, 已成為系統(tǒng)控制的研究熱點[13-15]. 文獻[16]設計了機械臂系統(tǒng)漸近穩(wěn)定時的有限時間H∞控制器. 文獻[17]研究了系統(tǒng)有界穩(wěn)定時的有限時間H∞控制, 設計的控制器能保證機械臂系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定, 且能降低外部擾動的影響.

指令濾波技術不僅能解決backstepping方法的“微分爆炸”問題, 還能避免虛擬控制器求導過程中出現(xiàn)奇點[18-19]. 隨著網絡技術的成熟, 可對機械臂進行遠程控制. 在網絡控制中, 為了解決信號傳輸過程中的數(shù)據(jù)包丟失和傳輸速度不高的問題, 要對輸入進行量化[20-21]. 文獻[22]對機械臂系統(tǒng)的量化控制進行了研究.針對受外部干擾的量化輸入單連桿機械臂系統(tǒng), 該文擬利用backstepping方法, 結合指令濾波技術、量化控制、快速有限時間控制及H∞控制,設計快速有限時間有界H∞量化跟蹤控制器.

1 系統(tǒng)描述和預備知識

1.1 系統(tǒng)描述

考慮電機驅動的單連桿機械臂系統(tǒng), 其數(shù)學描述[23]為

(1)

(2)

為了方便, 將式(2)改寫為

(3)

(4)

其中：ui=ρ1-iumin,i=1,2,…;δ=(1-ρ)/(1+ρ), 0<ρ<1,ρ為量化密度的測量值;q(u(t-)) 為q(u(t))左鄰域的值，q(u(t))的死區(qū)范圍為umin>0.由式(4)可知q(u(t))∈{0,±ui,±ui(1+δ),i=1,2,…}.根據(jù)文獻[24], 可將q(u(t))改寫為

q(u(t))=G(u)u(t)+D(t),

(5)

其中：1-δ≤G(u)≤1+δ, |D(t)|≤umin.

假設1參考輸入yr及其各階導數(shù)是已知函數(shù)且連續(xù)有界.

該文的控制目標是: 設計機械臂系統(tǒng)(3)的快速有限時間有界H∞量化跟蹤控制器, 使系統(tǒng)輸出在有限時間內能跟蹤給定的參考信號，且系統(tǒng)對外界干擾具有有界H∞抑制性能, 同時保證閉環(huán)系統(tǒng)是快速有限時間有界的.

1.2 預備知識

利用徑向基函數(shù)(radial basis function,簡稱RBF)神經網絡逼近未知非線性函數(shù)f(Z),其表達式為

f(Z)=W*TS(Z)+δ(Z)， ?Z∈Ξ?m,

(6)

其中：m為正整數(shù)；W*T為理想的常數(shù)權向量；輸入向量Z=[z1,z2,…,zn]T；基函數(shù)向量S(Z)=[s1(Z),s2(Z),…,sl(Z)]T∈l；δ(Z)為估計誤差，且滿足|δ(Z)|≤ε,ε為有界正常數(shù)；si(Z)為高斯函數(shù), 其表達式為

(7)

其中：μi為基函數(shù)的中心,vi為高斯函數(shù)的寬度.

引理1[25]若S(Z)與S(Zl)均為RBF神經網絡基函數(shù)向量,Z=[z1,z2,…,zn]T,Zl=[z1,z2,…,zl]T均為輸入向量,l和n均為正整數(shù)，且滿足l≤n,則有下式成立

‖S(Z)‖2≤‖S(Zl)‖2.

(8)

引理2[17]對于任意實數(shù)ε>0,下面不等式成立

(9)

其中：p>1,q>1, (p-1)(q-1)=1.

引理3[18]對于正常數(shù)m0,n0,ω0及實變量φ0,ψ0,下列不等式成立

(10)

引理4[17]假設x,ψ,χ在t∈[a,b]上是實連續(xù)函數(shù), 且χ(t)≥0,若

(11)

則有

(12)

引理5[17]對于li∈,i=1,2,…,n和實數(shù)ρ∈(0,1),有下面不等式成立

(|l1|+|l2|+…+|ln|)ρ≤|l1|ρ+|l2|ρ+…+|ln|ρ.

(13)

(14)

則系統(tǒng)是快速有限時間有界的, 其停息時間滿足

(15)

其中: 0<θ0≤1.

(16)

-φ1(V(x)+k0)-φ2(V(x)+k0)λ+β.

(17)

因此，有

-φ1V(x)-φ2Vλ(x)+β.

(18)

根據(jù)引理6及式(18)，可知系統(tǒng)是快速有限時間有界的.

定義1對于系統(tǒng)(3), 如果滿足：

(2) 下式成立

(19)

其中:z1為系統(tǒng)跟蹤誤差;V(x(0))為正常數(shù);ω=[0,ω2,ω3]T為非零外部干擾;φ1,φ2,β均為正實數(shù);γ為給定的干擾抑制系數(shù).

則系統(tǒng)(3)具有快速有限時間有界H∞性能.

2 控制器設計

該節(jié)將給出控制器設計的具體過程. 為了避免對虛擬控制器反復求導,引入如下的1階低通濾波器

(20)

其中：τi(i=1,2)為濾波時間常數(shù),αi為設計過程中的虛擬控制,si為濾波器輸出. 取如下坐標變換

zi=xi-si-1,

(21)

vi=zi-ei,

(22)

其中：s0=yr,ei(i=1,2,3)為補償信號,vi為跟蹤誤差的補償量.

控制器設計的步驟如下：

第1步 根據(jù)坐標變換(21), 可得系統(tǒng)(3)的誤差為

(23)

根據(jù)式(22)，有

(24)

選取Lyapunov函數(shù)為

(25)

對V1求導，可得

(26)

選取虛擬控制律及誤差補償信號分別為

(27)

(28)

其中：e1(0)=0,c1>0,k1>0, 0.5<λ<1.將式(27)～(28)代入式(26)中，可得

(29)

第2步 由坐標變換z2=x2-s1,有

(30)

根據(jù)式(22)，有

(31)

選取Lyapunov函數(shù)為

(32)

對V2求導并結合式(31)，可得

(33)

根據(jù)引理2，有

(34)

將式(34)代入式(33)，可得

(35)

(36)

根據(jù)引理1，2, 可得

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

其中：e2(0)=0,c2>0,k2>0,r2>0,σ2>0.將式(39)～(41)代入式(38)，可得

(42)

第3步 根據(jù)坐標變換方程z3=x3-s2及系統(tǒng)(3)的第3個狀態(tài)方程, 可得

(43)

根據(jù)式(22)，有

(44)

選取輔助Lyapunov函數(shù)為

(45)

其中：設計參數(shù)r3>0,任意常數(shù)k0>0.

對式(45)求導再結合式(5)，可得

(46)

根據(jù)引理2, 可得

(47)

(48)

其中: |D(t)|≤umin.將式(47)～(48)代入式(46)，得

(49)

(50)

由引理2, 可得

(51)

將式(51)代入式(49),有

(52)

選取實際控制律為

(53)

(54)

(55)

其中：e3(0)=0,c3>0,k3>0,r3>0,σ3>0.將式(53)～(55)代入式(52), 可得

(56)

選取系統(tǒng)(3)的總Lyapunov函數(shù)為

(57)

根據(jù)式(29)，(42)，(56)，可得

(58)

定理1若機械臂系統(tǒng)(3)滿足假設1, 且補償誤差信號為式(28)，(40)及(54), 自適應律為式(41)，(55), 虛擬控制律為式(27)，(39), 實際控制律為式(53), 則有:

(1) 閉環(huán)系統(tǒng)是快速有限時間有界的;

(2) 系統(tǒng)對外界干擾具有有界H∞抑制的性能.

證明(1) 閉環(huán)系統(tǒng)是快速有限時間有界的.令外部擾動ω2=ω3=0,則式(58)可改寫為

(59)

式(58)可進一步改寫為

(60)

其中：σmin=min{σj}，2≤j≤3.

(61)

(62)

將式(62)代入式(61)，可得

(63)

(64)

將式(63)，(64)代入式(60), 可得

(65)

(66)

(67)

其中：cmin=min{ci},1≤i≤3，C=2λcmin.將式(66)～(67)代入式(65), 可得

(68)

根據(jù)引理5，有

(69)

由引理6和推論1可知，閉環(huán)系統(tǒng)是快速有限時間有界的.

(2) 系統(tǒng)對外界干擾具有有界H∞抑制性能. 由式(58)，(63)可得

(70)

定義輔助函數(shù)

(71)

將式(70)代入式(71)，可得

H≤ζ,

(72)

(73)

其中：未知常數(shù)ρ>0.將式(73)代入式(70)，可得

(74)

對式(74)兩邊積分，可得

(75)

(76)

假設ψ(t)≤0,則有

(77)

可見式(77)與(57)矛盾，則有

(78)

式(78)可改寫為

(79)

因此，定理1得證.

3 仿真實驗

圖1 連桿角位置及其參考軌跡 圖2 連桿角速度

圖3 系統(tǒng)電流 圖4 連桿角位置的跟蹤誤差

圖5 無干擾時控制輸入及量化輸入 圖6 有干擾時控制輸入及量化輸入

從圖1可看出，系統(tǒng)輸出能在有限時間內很好地跟蹤參考軌跡, 有外部擾動時, 控制效果仍然很好. 從圖1～ 3可看出，系統(tǒng)所有狀態(tài)為有界的. 由圖4～6可知, 該控制器在量化輸入下仍能很好地控制目標，即該控制器具有有效性.

4 結束語

該文研究了量化輸入的電機驅動機械臂系統(tǒng)的快速有限時間有界H∞量化跟蹤控制問題, 設計了基于指令濾波的神經網絡快速有限時間有界H∞量化跟蹤控制器. 采用指令濾波技術解決了backstepping方法的“微分爆炸”問題，且避免了有限時間控制設計中出現(xiàn)奇點.所設計的控制器能夠使系統(tǒng)跟蹤誤差在有限時間內收斂至原點附近很小的鄰域, 且對外部擾動具有抑制作用.仿真實驗結果表明：該控制器具有有效性. 該文研究結果能為機械臂系統(tǒng)的抗干擾設計提供理論指導.