張媛媛

(開封大學(xué) 信息工程學(xué)院，河南 開封 475000)

具阻尼項(xiàng)發(fā)展方程解的長(zhǎng)時(shí)間特點(diǎn)一直以來都是偏微分方程研究的重點(diǎn)和難點(diǎn),而對(duì)于具分?jǐn)?shù)階阻尼項(xiàng)發(fā)展方程解的探討更是近年來這一研究領(lǐng)域中的熱點(diǎn)問題.目前, 雖然對(duì)于這類方程初值問題和初邊值問題的研究已經(jīng)出現(xiàn)了一些成果[1-9], 但是此類方程作為耗散波傳播的第一種非線性模型, 它的相關(guān)數(shù)學(xué)理論遠(yuǎn)不如Korteweg-de Vries型方程那么完整[10-13].

由于在無界區(qū)域下緊嵌入定理是不成立的, 所以處理一些先驗(yàn)估計(jì)比在有界區(qū)域情形下困難. 論文主要研究如下具分?jǐn)?shù)階阻尼項(xiàng)發(fā)展方程的Cauchy問題, 進(jìn)一步探討其解的長(zhǎng)時(shí)間特點(diǎn)

(1)

u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),x∈N.

(2)

方程(1)中涉及的非線性項(xiàng)是論文處理的重點(diǎn)和難點(diǎn). 由于在無界區(qū)域下非線性項(xiàng)的估計(jì)受某些定理的限制, 因此利用有界區(qū)域Ωk的延拓， 在有界區(qū)域Ωk下, 結(jié)合算子半群對(duì)方程(1)中的兩個(gè)非線性項(xiàng)進(jìn)行估計(jì), 證明解半群的漸近緊性及無界區(qū)域下整體解的存在性.

1 引理和定理

為書寫簡(jiǎn)便,記下列簡(jiǎn)寫符號(hào)

X(N)=H2(N)×H1(N),Lp=Lp(N),Ws,p=Ws,p(N),

其中：C代表不同的正常數(shù),C(·)代表正常數(shù)依賴于括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)的數(shù)量.

引理1[14]設(shè)X是Banach空間,Ζ?C(+,X).Φ:X→是連續(xù)函數(shù),且?η,K≥0,?z∈,有

假定?z∈, 函數(shù)tΦ(z(t))是連續(xù)可微的,并且?δ>0,k≥0,?z∈, 滿足微分不等式

引理2[14]設(shè)y:+→+是絕對(duì)連續(xù)函數(shù), 滿足下列不等式

定理假定下列條件成立

(i)g∈C2(這里C1,C2是正常數(shù).

(ii)f∈L2,(u0,u1)∈X(N),‖(u0,u1)‖X(N)≤r0.

則問題(1)，(2)存在唯一解u,且(u,ut)∈L∞(+;X(N)).另外, 解u滿足下列特點(diǎn)

‖△u‖2+‖ut‖2≤C(r0,‖f‖),t≥0,

2 定理的證明

設(shè)Ω=Ωr是N中半徑為r的球,有

‖·‖p=‖·‖Lp(Ω),‖·‖=‖·‖L2(Ω).

考慮問題(1)，(2)在有界區(qū)域Ω上對(duì)應(yīng)的初邊值問題

utt-△u-△utt+△2u+(-△)αut+g(u)=f(x),x∈Ω,t>0,

(3)

u|?Ω=0,

(4)

(5)

并且0≤θ(x)≤1,|△θ(x)|≤C,x∈N.

先對(duì)問題(3)～(5)的解作一些先驗(yàn)估計(jì). 設(shè)

(3)式兩邊與ut+εu作內(nèi)積,得

(6)

其中：ξu(t)=(u,ut)，有

ε(‖u‖2+‖△u‖2)+ε(g′(u)u,u)-ε(f(x),u).

然而，由假定(i),(ii), 得

(7)

有

將(7)式代入(6)式, 得

(8)

(8)式應(yīng)用引理1，得

‖△u‖2+‖ut‖2≤C(r0,‖f‖),t≥t0=C(r0,‖f‖).

(9)

當(dāng)t≤t0時(shí), 對(duì)(8)式積分, 得

‖△u‖2+‖ut‖2≤C(r0,‖f‖),0≤t≤t0.

方程(3)兩邊關(guān)于t求導(dǎo)并令v=ut,得

vtt-△v-△vtt+△2v+(-△)αvt+g″(u)vu+g′(u)v=0.

(10)

(10)式兩邊與vt+εv作內(nèi)積, 得

(g″(u)vu+g′(u)v,vt+εv)=ε(‖vt‖2+‖vt‖2).

(11)

其中

由g(s)的假定和嵌入定理, 得

|(g′(u)v,vt+εv)|≤C1((1+2ε)‖v‖2+ε‖v‖2)+

(12)

|(g″(u)vu,vt+εv)|≤C1‖v‖‖u‖(‖vt‖+ε‖v‖)+

(13)

(14)

當(dāng)0

上式應(yīng)用引理2, 得

(15)

當(dāng)t≥1時(shí), (14)式在(1,t)上應(yīng)用引理2, 得

‖△ut‖2+‖utt‖2≤C(r0)e-kt+C.

(16)

由(15),(16)式，得

(17)

求問題(3)～(5)滿足形式

(18)

(19)

C‖un‖p-1‖△un-△u‖+C‖u‖(‖un-u‖+

(20)

(21)

不難證明

(22)

(22)式兩邊與ωt+εω作內(nèi)積, 得

(23)

其中

由假定(i)和嵌入定理, 得

(24)

(25)

將(24),(25)式代入(23)式, 得

于是

‖△ω‖2+‖ωt‖2≤Cekt(‖△ω0‖2+‖ω1‖2)+C(T)‖fri-frj‖2，

因此, (u,ut)∈L∞(0,T;X(N))是問題(1)，(2)的解. 由弱*極限范數(shù)的下半連續(xù)性知估計(jì)式(9),(17)式對(duì)u仍成立. 現(xiàn)在證明解的唯一性.

設(shè)u,v是問題(1)，(2)在空間L∞(+;X(N))上分別對(duì)應(yīng)于初值(u0,u1)和(v0,v1)的兩個(gè)解, 令z=u-v, 類似上面的證明, 得

‖△ω‖2+‖ωt‖2≤Cekt(‖△ω0‖2+‖ω1‖2),t∈[0,T]，

證畢.