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        一類非線性粘彈性Petrovsky方程柯西問題解的爆破

        2022-03-15 10:43:46胡文燕
        關(guān)鍵詞:無界粘彈性柯西

        胡文燕

        (晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 晉中 030600)

        考慮如下非線性粘彈性Petrovsky方程的柯西問題

        (1)

        方程(1)可以解釋很多重要的物理模型,很多學(xué)者已經(jīng)對(duì)其解的整體存在性、漸近性、爆破性進(jìn)行了大量研究[1-10].文獻(xiàn)[1]對(duì)如下初邊值問題進(jìn)行了研究

        (2)

        其中:a,b>0,m≥2,Ω?n為一具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域,并且ν為其單位外法線方向.當(dāng)初始能量為正值時(shí),作者證得了其解在適當(dāng)條件下會(huì)在有限時(shí)刻爆破的結(jié)論.并且,當(dāng)初始能量消耗殆盡時(shí),對(duì)于阻尼項(xiàng)為線性的情形,解仍會(huì)在有限時(shí)刻爆破.文獻(xiàn)[2]通過對(duì)方程(2)源項(xiàng)和非線性阻尼項(xiàng)相互作用的研究,對(duì)解的下界進(jìn)行了估計(jì).

        文獻(xiàn)[3]對(duì)如下帶粘彈性源項(xiàng)和強(qiáng)阻尼的Petrovsky方程的初邊值問題進(jìn)行了研究

        (3)

        當(dāng)p>m時(shí),其解在正的初始能量下在有限時(shí)刻會(huì)爆破,并且當(dāng)p≤m時(shí)初邊值問題(3)的解仍存在,推廣了文獻(xiàn)[1]的結(jié)果.

        對(duì)于初始能量為非正值的情形,文獻(xiàn)[4]討論了如下方程的初邊值問題,并得出了適當(dāng)條件下解在有限時(shí)刻爆破的結(jié)論

        (4)

        對(duì)于非線性粘彈性Petrovsky方程,已有的研究成果[5-9]都是在有界區(qū)域內(nèi)進(jìn)行的.由于其解是可以由有界區(qū)域轉(zhuǎn)移到無界區(qū)域的,那么研究Petrovsky方程在無界區(qū)域中解的爆破性質(zhì)就顯得尤為重要.為了得出無界區(qū)域內(nèi)解的爆破情形,文章首先給出了松弛函數(shù)g滿足的條件[10],并通過構(gòu)造輔助函數(shù),得出了其解在適當(dāng)條件下在有限時(shí)刻會(huì)爆破的結(jié)論.

        1 預(yù)備知識(shí)

        (H) 假設(shè)松弛函數(shù):g:+→+為一可微函數(shù),滿足

        (5)

        utt∈L∞((0,T*);L2(n)).

        參考文獻(xiàn)[11-13],運(yùn)用Faedo-Galerkin方法,可證得柯西問題(1)解的存在性與唯一性,證明略.

        定義方程(1)的能量函數(shù)[14]E(t)如下

        (6)

        引理1假設(shè)g滿足條件(H),且u(t)為柯西問題(1)的解,那么

        證明將方程(1)兩邊同乘以u(píng)t,并在n上積分,可得

        (7)

        (8)

        由(7),(8)式,得

        (9)

        E′(t)≤0.

        (10)

        證畢.

        引理2[15]假設(shè)Ψ∈C2()滿足

        其中:常數(shù)C0,L>0,α>0,-1<β≤0,那么Ψ(t)在有限時(shí)間內(nèi)會(huì)爆破.

        2 主要結(jié)果

        (11)

        那么,對(duì)于任意初值(u0,u1),當(dāng)如下條件

        (12)

        成立時(shí),柯西問題(1)的解在有限時(shí)間內(nèi)爆破.

        (13)

        (14)

        由方程(12)容易證得Ψ(0)>0,且Ψ′(0)≥0.再利用方程(1), 可以得到

        (15)

        將(15)式兩邊同乘以u(píng)(t),并在n上積分,有

        Ψ″(t)+Ψ′(t)=

        (16)

        由Young及H?lder不等式,對(duì)任意的η>0,有

        從而,對(duì)于任意的η>0,有

        將其代入(16)式,整理可得

        因?yàn)?/p>

        所以

        (17)

        由能量函數(shù)E(t)的定義, 將下式

        代入(17)式,有

        因?yàn)?11)式成立,所以

        由引理1,E′(t)≤0,又已知E(0)≤0,從而

        E(t)≤E(0)≤0.

        綜上可得,存在γ>0,使得

        (18)

        運(yùn)用H?lder不等式證明如下不等式

        其中:L>0,B(t+L)是以原點(diǎn)為球心的球,且supp{u0(x),u1(x)}?B(L).

        令Vn為單位球的體積,則

        所以

        (19)

        從而

        (20)

        將(19),(20)式代入(18)式,有

        根據(jù)(12)式及函數(shù)連續(xù)性,存在T*≤T*,使得

        3 結(jié)束語

        文章考慮了一類具有粘彈性和非線性源項(xiàng)的Petrovsky方程,在文獻(xiàn)[5-9]的研究基礎(chǔ)上做了推廣,將其解由有界區(qū)域轉(zhuǎn)移到無界區(qū)域.結(jié)果表明,當(dāng)松弛函數(shù)和初值滿足一定條件時(shí),非線性源項(xiàng)足以導(dǎo)致其柯西問題解的爆破現(xiàn)象的發(fā)生.

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