程偉

摘要：新高考中文理合卷且數(shù)學(xué)思維要求更高，文科學(xué)生面臨更大挑戰(zhàn)，轉(zhuǎn)化與化歸思想是高考數(shù)學(xué)中必備的素養(yǎng)，受全國(guó)Ⅰ卷（理科）11題以及根據(jù)教學(xué)實(shí)踐的啟發(fā)，給出四點(diǎn)如何在教學(xué)中提升文科學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想的實(shí)踐研究.

關(guān)鍵詞：文科生;數(shù)學(xué)思維提升;轉(zhuǎn)化與化歸思想

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）03-0029-03

1 問(wèn)題提出

在最近結(jié)束的數(shù)學(xué)市統(tǒng)測(cè)中，有這樣的一道題：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓O：x2+y2=1，直線x-y+m=0m∈R與圓O的兩個(gè)公共點(diǎn)為A，B，C為圓O上一點(diǎn)，若△ABC為等邊三角形，求直線AB的方程.

本題是解答題第20題第1問(wèn)，共5分，筆者所在四星級(jí)學(xué)校生源質(zhì)量還不錯(cuò)，所帶的班級(jí)是文科最好的班級(jí)，但學(xué)生得分情況卻讓人大失所望.

49人班級(jí)只有9人滿分，37人卻0分.

此現(xiàn)象引起作者的思考：新高考數(shù)學(xué)試題強(qiáng)調(diào)開(kāi)放性，減少機(jī)械刷題、死套結(jié)論等現(xiàn)象，且文（歷史方向）、理（物理方向）共用一張?jiān)嚲?而文科生本身數(shù)學(xué)思維相對(duì)偏弱且固化，靠刷題時(shí)的記憶以及模型的套用來(lái)解題，很多數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)理解不透，且數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣不濃.面對(duì)新高考，教學(xué)中提升文科生數(shù)學(xué)思維能力迫在眉睫.

2 教學(xué)思考

片段1：推陳出新，感悟轉(zhuǎn)化與化歸

平時(shí)教學(xué)中可以對(duì)書(shū)本題目或者一些典型練習(xí)進(jìn)行再“加工”.讓學(xué)生有種耳目一新的“錯(cuò)覺(jué)”，既提高了轉(zhuǎn)化與化歸的素養(yǎng)，也培養(yǎng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力和具備不畏難勇于探索的毅力.下面以書(shū)本一道經(jīng)典習(xí)題為例：如圖1，在半徑為R、圓心角為60°的扇形AB弧上取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接長(zhǎng)方形PNMQ，使點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M，N在OB上，求長(zhǎng)方形面積的最大值.本題是道經(jīng)典的三角函數(shù)運(yùn)用輔助角公式求最值問(wèn)題.連接OP，設(shè)∠POB=θ，PN=Rsinθ=QM，在△QOM中，OM=33Rsinθ，所以MN=Rcosθ-33Rsinθ.故長(zhǎng)方形面積為：S=RsinθRcosθ-33Rsinθ=33R2sin2θ+π6-36R2，又∵θ∈0，π3，故當(dāng)θ=π6時(shí)，Smax=36R2.

筆者在一次測(cè)試中，對(duì)此題進(jìn)行改編：如圖2，扇形MON是一個(gè)休閑公園的平面示意圖，其中扇形半徑為10米，∠MON=π3，在休閑公園內(nèi)規(guī)劃一個(gè)三角形區(qū)域花圃ABC，其中頂點(diǎn)B在弧MN上，A，C分別在半徑OM，ON上，且AB//ON，AC⊥ON，求△ABC面積的最大值.

學(xué)生在分析解決問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)此題就是上題的變式，如圖3過(guò)B作BD⊥ON，垂足為D，連結(jié)OB后完全就是課本題，轉(zhuǎn)化與化歸思想太重要了.此時(shí)又有學(xué)生提出：由于AB∥ON，S△ABC=S△ABO，頓時(shí)吸引班級(jí)學(xué)生興趣，這個(gè)轉(zhuǎn)化太有意思了，三角形ABO面積怎么表示呢？討論很快得出：設(shè)∠AOB=θ，在△ABO中由正弦定理可得：

AB=203sinθ，OA=203sinπ3-θ，

又由余弦定理知：OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cos∠OAB，∴OA·AB≤1003，

當(dāng)且僅當(dāng)OA=AB=103時(shí)取等;

∴S△ABC=12OA·AB·sin120°≤12×1003×32=2533（m2）.

無(wú)論哪種解法都讓學(xué)生深刻體會(huì)了轉(zhuǎn)化與化歸思想的重要性，讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的魅力，提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

片段2：一題多解，探索轉(zhuǎn)化與化歸

有些題引入多種解法，可以從不同的角度引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.從不同解法探索中體會(huì)到轉(zhuǎn)化與化歸思想的重要性.以下題為例：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓O：x2+y2=1，直線x-y+m=0m∈R與圓O的兩個(gè)公共點(diǎn)為A，B，C為圓O上一點(diǎn)，若直線x-y-3=0上存在點(diǎn)P，且滿足AP·BP=0，求m的范圍.

學(xué)生1：條件AP·BP=0，可以轉(zhuǎn)化為以AB為直徑的圓和x-y-3=0有公共點(diǎn).設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.則以AB為直徑的圓為：（x-x1） （x-x2）+（y-y1） （y-y2）=0，聯(lián)立x2+y2=1，x-y+m=0，2x2+2mx+m2-1=0Δ1≥0，且結(jié)合韋達(dá)定理可得以

AB為直徑的圓的方程為

2x2-23x+m2+3m+2=0，此方程有實(shí)數(shù)解Δ2≥0-1+32≤m≤1-32.

此方法雖然不難理解，但感覺(jué)繁瑣，還有其他思路么？

學(xué)生2：由于直線AB的斜率確定，則AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心O且斜率為-1，直線x-y-3=0與該圓有公共點(diǎn)d≤r，從而可得m的范圍.

明顯此方法借助直線和圓的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，簡(jiǎn)化了計(jì)算.又學(xué)生通過(guò)轉(zhuǎn)化化歸還可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算.

學(xué)生3：發(fā)現(xiàn)直線x-y+m=0與x-y-3=0平行，AB為直徑的圓的圓心到直線x-y-3=0的距離就是這兩條平行線之間距離，則d=m+32，又AB為圓O的弦，所以AB2=1-m+322，只需AB2=1-m22≥m+32即可.教學(xué)時(shí)多角度引導(dǎo)學(xué)生探索思考才能把轉(zhuǎn)化與化歸的意識(shí)滲透到學(xué)生腦海中去.

片段3：一題多變，領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸

例題教學(xué)環(huán)節(jié)，變式訓(xùn)練很重要，不僅能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)清楚問(wèn)題的本質(zhì)，也無(wú)形中培養(yǎng)了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的能力.下面以一道基本不等式題為例進(jìn)行說(shuō)明：

原題：若正數(shù)x，y滿足：4x+1y=1，求x+y的最小值.

變式1：若正數(shù)x，y滿足：x+4y-xy=0，求x+y的最小值.

變式2：若正數(shù)x，y滿足：x+4y-xy=0，求3x+y的最大值.

變式3：若正數(shù)x，yy>1滿足：4x+1y-1=1，求x+y的最小值.

變式4：若正數(shù)x，y滿足x+y=2，求1x+1y+1的最小值.

變式5：若正數(shù)x，y滿足x+y=2，求yx+2y的最小值.

原題讓學(xué)生體會(huì)“1”的代換的思想，變式1條件變形，讓學(xué)生體會(huì)化歸到4x+1y=1上;變式2讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到轉(zhuǎn)化與化歸的思想：求3x+y的最大值，只需求出x+y的最小值即可.變式3，4讓學(xué)生體會(huì)到通過(guò)換元轉(zhuǎn)化后就是“1”的代換的思想.變式5讓學(xué)生體會(huì)到把2等價(jià)轉(zhuǎn)化為x+y.“授人以魚(yú)不如授之以漁”由此可見(jiàn)一題多變的方式教學(xué)讓學(xué)生既掌握了處理一類(lèi)問(wèn)題的方法更學(xué)會(huì)了重要的數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸.

片段4：模型識(shí)別，運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸

高中數(shù)學(xué)中一些式子的幾何意義以及一些定義作為常見(jiàn)模型，教學(xué)中必須時(shí)刻提醒學(xué)生，讓學(xué)生植根于腦海中.解題時(shí)馬上就能意識(shí)到把式子轉(zhuǎn)換成它的幾何意義，這樣處理問(wèn)題才能游刃有余.如：設(shè)φ（a，b）=（a-b）2+lna-b242+b24（a>0，b∈R），當(dāng)a，b變化時(shí)，求φ（a，b）的最小值.

仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)：φ（a，b）=a-b2+lna-b242+b24，就是平時(shí)常見(jiàn)的模型，可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)Aa，lna和Bb，b24的距離加上B的縱坐標(biāo)，而這兩個(gè)點(diǎn)分別是函數(shù)fx=lnx和拋物線x2=4y上的點(diǎn)，且函數(shù)式最后加上B的縱坐標(biāo)又可以轉(zhuǎn)化為拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線距離減去1即BD-1，如圖4所示，根據(jù)拋物線的定義BD-1又可以轉(zhuǎn)化為BF-1，所以：AB+BC=AB+BD-1=AB+BF-1≥AF-1，且當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取到等號(hào).AF的最小值怎么求呢？此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生又可以轉(zhuǎn)化為以F為圓心作個(gè)圓，當(dāng)圓F：x2+y-12=r2和函數(shù)fx=lnx圖像相切時(shí)最小.切點(diǎn)

A01，0AF≥A0F=2，則φ（a，b）的最小值是2-1.

3 反思總結(jié)

新高考更注重對(duì)學(xué)生的思維能力的考查，而轉(zhuǎn)化與化歸思想既能把題中隱含的條件挖掘出來(lái)，也能化繁為簡(jiǎn)，從而時(shí)間上也得以保障，應(yīng)試時(shí)也會(huì)得心應(yīng)手.教學(xué)中我們更應(yīng)實(shí)施精準(zhǔn)教學(xué)，不斷提升文科學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的能力，培養(yǎng)文科生多思少算的思維意識(shí).

參考文獻(xiàn)：

[1]張偉.對(duì)化歸思想的幾點(diǎn)思考.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（21）：48-49..

[2]彭永寧.例析解題教學(xué)中轉(zhuǎn)化與化歸思想的滲透.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（21）：76-77.

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