陳云富

(浙江省樂(lè)清中學(xué))

1 問(wèn)題背景及提出

“曹沖稱象”的故事大家都很熟悉，利用等效替代的方法，稱量出大象的質(zhì)量，但測(cè)量過(guò)程比較煩瑣.我們猜想質(zhì)量一定的小船(含大象)，在振動(dòng)過(guò)程中周期為定值.如果能找到周期和質(zhì)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則稱量船體質(zhì)量，只需用手機(jī)Phyphox中的加速度傳感器測(cè)量周期即可.

為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們建立一個(gè)簡(jiǎn)單的浮筒模型.如圖1所示，以浮筒平衡時(shí)，底部中央位置為坐標(biāo)軸原點(diǎn)，豎直向下為正方向建立一維坐標(biāo)系，設(shè)質(zhì)量為m的浮筒平衡時(shí)，浸在水里的高度為x0，已知水的密度為ρ，圓筒的橫截面積為S，則

圖1

浸入水中的高度為x＋x0時(shí)，浮筒受到的回復(fù)力為

浮筒運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

由初始條件t＝0，x＝A，v＝0，解得

可知浮筒的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)周期

筆者用一個(gè)底面直徑為12cm 的塑料圓柱形浮筒，將手機(jī)放入浮筒內(nèi)展開(kāi)實(shí)驗(yàn).浮筒置于裝著水的水桶內(nèi)，實(shí)驗(yàn)實(shí)物裝置如圖2所示.實(shí)驗(yàn)過(guò)程中浮筒加速度隨時(shí)間變化如圖3所示.

圖2

圖3

由圖3的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果可知，n＝7次振動(dòng)的時(shí)間為t＝2.6505718s，則周期代入公式，得m＝402.6g.而用天平測(cè)量浮筒和手機(jī)的總質(zhì)量為172g，這顯然超出了實(shí)驗(yàn)誤差的范圍.

筆者猜想由于水桶的橫截面不大，液面高度變化引起模型與實(shí)驗(yàn)不吻合，或者水波碰到水桶內(nèi)壁回彈，回彈波對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有重要影響.

于是，將實(shí)驗(yàn)浮筒移至濕地湖中進(jìn)行，由于水域遼闊，水面高度幾乎不變，也不存在水波回彈.但是實(shí)驗(yàn)測(cè)得周期與在水桶內(nèi)測(cè)得相近，所以排除了場(chǎng)地因素的影響.

2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程與數(shù)據(jù)

為了進(jìn)一步深入探究浮筒質(zhì)量與振動(dòng)周期的關(guān)系，筆者采用控制變量法，在浮筒里加入砝碼，用膠帶將其固定在浮筒上，從而改變浮筒的質(zhì)量，測(cè)量不同質(zhì)量下振動(dòng)的周期，如表1所示.

實(shí)驗(yàn)初始狀態(tài)為將浮筒下壓至合適位置，由于除了上下振動(dòng)外，還有左右搖晃，為了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更加可靠，每組實(shí)驗(yàn)均測(cè)量5次周期，再取平均值.記錄原始數(shù)據(jù)為表1中的第二列和第三列，其余數(shù)據(jù)為基于原始數(shù)據(jù)的計(jì)算值，在后續(xù)作圖中使用.

表1 實(shí)驗(yàn)過(guò)程中各物理量的測(cè)量值和其他量的計(jì)算結(jié)果

按上述理論推導(dǎo)，可知T2與m是正比關(guān)系，但是繪制的圖4顯示，兩者并沒(méi)有成正比關(guān)系.筆者用一次函數(shù)做線性回歸，相關(guān)系數(shù)平方R2＝0.9413，與理論推導(dǎo)表達(dá)式不符，于是筆者從理論上重新審視其中的問(wèn)題.

圖4 T2 與m 圖像及擬合結(jié)果

3 實(shí)驗(yàn)分析與結(jié)論

在上述問(wèn)題分析中，筆者觀察到浮筒的振動(dòng)為阻尼振動(dòng)，振動(dòng)七八次后，振幅就比較小了，因此把浮筒振動(dòng)視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)存在問(wèn)題.查閱相關(guān)資料可知，水的密度是空氣密度的773倍，則對(duì)應(yīng)的阻力也是空氣阻力的幾百倍，在分析過(guò)程中不能忽略水的阻力.

設(shè)水對(duì)浮筒的阻力方向與速度方向相反，阻力的大小與速度大小成正比，即f＝－kv，則回復(fù)力可表示為

浮筒運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

由初始條件t＝0，x＝A，v＝0，解得

由上式可知，振動(dòng)周期表達(dá)式為

根據(jù)表格數(shù)據(jù)，以T－2為縱軸，以m－1為橫軸，繪制圖像如圖5所示.與通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的二次函數(shù)進(jìn)行擬合，相關(guān)系數(shù)平方R2＝0.9726，非常接近1，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)與理論高度契合.

圖5 T-2與m-1圖像及擬合結(jié)果

由于水的密度為103kg·m－3(溫度t＝4 ℃)，浮筒直徑d＝12cm，g取9.8m·s－2，可以計(jì)算出m－1前系數(shù)理論值為2.8074，這與擬合結(jié)果系數(shù)2.7966基本吻合.

4 結(jié)果應(yīng)用和意義

利用上述的周期與質(zhì)量對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)曹沖稱象.將陶瓷小貓放入浮筒中，如圖6所示，通過(guò)手機(jī)傳感器軟件(如圖7)測(cè)得n＝3 次振動(dòng)的時(shí)間為t＝1.3603745s，則周期.代入擬合公式可以得到浮筒的總質(zhì)量為448.9g，由于手機(jī)和浮筒的質(zhì)量為172g，所以可以知道陶瓷小貓的質(zhì)量為276.9g.將小貓放在天平上，如圖8所示，稱量知道它的實(shí)際質(zhì)量為272g，與根據(jù)周期測(cè)量的結(jié)果誤差僅為1.80%.

圖6

圖7

圖8

實(shí)驗(yàn)應(yīng)用1:可以復(fù)制上述方法檢測(cè)船舶是否超載.將船舶駛?cè)胂鄬?duì)平靜的水域，將手機(jī)置于船舶上，測(cè)量船舶的振動(dòng)周期，粗略估計(jì)船舶的整體質(zhì)量.由于船舶不是圓形，模型建立會(huì)更加復(fù)雜.

實(shí)驗(yàn)應(yīng)用2:由于m－1前的系數(shù)包含密度ρ，因而可以通過(guò)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)測(cè)量介質(zhì)密度.

反思:我們意識(shí)到在建立物理量對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，既要考慮理論模型，也要根據(jù)實(shí)際結(jié)果修正理論模型，當(dāng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論比較吻合的時(shí)候，就可以應(yīng)用結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)和指導(dǎo)實(shí)際.

(完)