姚張松；程黎明

(1.江蘇省南京曉莊學(xué)院信息工程學(xué)院 211171;2.安徽省南陵中學(xué) 241300)

華為總裁提到，是數(shù)學(xué)幫助華為獲得了制定5G標(biāo)準(zhǔn)的先機(jī).要注重?cái)?shù)學(xué)方法的突起.5G時(shí)代同時(shí)給數(shù)學(xué)教育提出了更高的要求,呼喚著數(shù)學(xué)教育應(yīng)該上一個(gè)更高的臺(tái)階.

其實(shí),著名的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞提出：“現(xiàn)代探索法力求了解探索過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動(dòng)”.數(shù)學(xué)教師如果能在教學(xué)中踐行這種智力活動(dòng)的過程,毫無疑問，這為學(xué)生將來運(yùn)用數(shù)學(xué)方法打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)是高質(zhì)量的數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué).

下面,我們通過一個(gè)例子來展示問題解決的智力活動(dòng)過程.中學(xué)生都會(huì)解一元二次方程，教師能不能幫助學(xué)生進(jìn)一步提高認(rèn)知？解一個(gè)一元三次方程.

1 通過類比得出解決問題的思路

“類比是一個(gè)偉大的引路人”“用求根公式解一元二次方程”這是中學(xué)生的回答和做法.然而，我們現(xiàn)在可沒有現(xiàn)成的求一元三次方程的求根公式.讓我們回到求解一元二次方程的過程，或許能給我們帶來啟迪和靈感.

一元二次方程的一般形式是x2+ax+b=0，當(dāng)a≠0時(shí)，古人曾用過作變量代換：

問題獲得解決.

這種解法揭示了一種思維過程，其模式如下：

一元三次方程的一般形式是

x3+ax2+bx+c=0.

借用古人的做法,作變量代換：

由于a，b，c都是已知數(shù),所以我們可以把上述方程簡(jiǎn)化為：

y3+py+q=0.(其中p，q為已知數(shù))

①

當(dāng)p=0或q=0時(shí)，方程①很容易通過開方運(yùn)算求解.以下討論均在p≠0且q≠0情形中進(jìn)行.

現(xiàn)在的問題是：在解一元二次方程的思維鏈的中間那一環(huán)斷裂，機(jī)械的照搬無濟(jì)于事，顯然，我們要尋求引進(jìn)或建立一種適用的數(shù)學(xué)模型.

2 尋找熟悉的且類似的模型

“看看未知數(shù)!試想起一個(gè)具有相同或相似未知數(shù)的熟悉的問題來”.

解方程①等價(jià)于我們尋找y3+py+q因式分解式.它至少有一個(gè)一次因式y(tǒng)+α，于是y=-α是①的一個(gè)根，求出①的一個(gè)根后，剩余兩個(gè)根也就好求了，這提示我們所尋求的數(shù)學(xué)模型因具有兩種不同的計(jì)算方法，一種算出①式的左邊，一種算出①的因式分解式，我們自然想到行列式的算法，它既有對(duì)角線算法，又有行列式性質(zhì)算法，且兩種算法等價(jià).

①是一個(gè)一元三次方程，我們自然選擇三階行列式，三階行列式用對(duì)角線法計(jì)算，有六項(xiàng)，三正項(xiàng)，三負(fù)項(xiàng).每項(xiàng)由不同行不同列的三個(gè)數(shù)相乘得到.先看主對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)，因?yàn)棰俚淖筮吶雾?xiàng)前面的系數(shù)是1，所以主對(duì)角線上三個(gè)元素取y可以滿足上述條件，當(dāng)然，三項(xiàng)乘積為y3有各種取法，例如：1,y,y2；1,1,y3等，但為了各行各列之和有公因式可以提取，我們只能選擇y,y,y這種，其余六個(gè)數(shù)我們可以通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來確定.

D(y)=y3-(a2a5+a1a3+a4a6)y+a1a4a5+a2a3a6.

D(y)與方程①的左邊已經(jīng)非常接近了.要使D(y)有公因式可以提取，要么各行元素之和相等，要么各列元素之和相等，為此,六個(gè)常數(shù)元素中任取三個(gè)或三個(gè)以上的元素都將破壞這個(gè)條件.六個(gè)元素的配置只能是兩種可能,第一種：

D(y)=(y+2a1)(y-a1)2,

三根為：y1=-2a1,y2=y3=a1.

D(y)，a1應(yīng)是可求的已知,否則構(gòu)造不出模型，而后一個(gè)等式又表明a1是三次方程的根，它又是不可求的未知，a1的雙重身份明顯違背了同一律，說明這樣的模型是不存在的.所以六個(gè)數(shù)相等雖然簡(jiǎn)單但不能這樣取.

第二種，假設(shè)六個(gè)數(shù)中有兩個(gè)任取，例如a1,a2任取，a3,a4,a5,a6等于a1或a2，在保證有公因式可提的條件下，D(y)有下列兩種形式：

當(dāng)各列元素之和相等時(shí),

當(dāng)各行元素之和相等時(shí)

這四種情形的行列式有兩種結(jié)果，第一、三情形的行列式為：

=(y+a1+a2)(y-a1)(y-a2),

第二、四情形的行列式為：

=(y+a1+a2)[y2-(a1+a2)y

D1(y)=D3(y)，按性質(zhì)計(jì)算得到的因式分解式表明，a1，a2，-a1-a2是方程①的三個(gè)根,而與前面情形一樣，a1，a2違背了同一律，說明這樣的數(shù)學(xué)模型是不存在的.

3 調(diào)整模型，解決問題

由于D2(y)=D4(y),我們只需討論D2(y).

D2(y)按兩種計(jì)算方法相等，即有：

=(y+a1+a2)[y2-(a1+a2)y

下面根據(jù)我們思維的過程與結(jié)果求解一個(gè)一元三次方程：

例1 解方程y3-3y+1=0.

解一元二次方程z2-z+1=0，得

因?yàn)閍1a2=1，

所以方程的三個(gè)根為:

4 回顧解決過程，整理解題思路

檢查問題解決的每一步是否對(duì)是回顧不可缺少的步驟，另外，通過驗(yàn)根可以更有力地說明你的思維方向、過程、結(jié)果的正確：

y3-3y+1

=0.

在解①的過程中,我們完全可以導(dǎo)出①的求根公式,讓學(xué)生記住公式就行了，然而，我們沒有這么做，因?yàn)椤皟H僅靠記憶不足以產(chǎn)生好念頭”，我們希望學(xué)生理解、掌握、運(yùn)用解決問題的方法和策略，并能在今后遇到新的問題時(shí)利用它們披荊斬棘，所向披靡.

對(duì)于例題,利用韋達(dá)定理可知：

在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生親身參與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的全過程，這將會(huì)極大激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，掌握科學(xué)的探索方法會(huì)讓他們受益終身.當(dāng)然，教師要具備引導(dǎo)的能力，對(duì)教師本身也提出了更高的要求，“尋找一個(gè)好問題,最好是從前未見過的”，在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，啟發(fā)、幫助學(xué)生“跳一跳把桃子摘下來”，這才是高水平、高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教學(xué)，讓我們一起來努力實(shí)踐之.