周成波，夏明一，張恩陽，徐振邦

（1. 中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所 空間機器人工程中心 空間機器人系統創(chuàng)新研究室，吉林 長春 130033；2. 中國科學院大學 材料與光電研究中心，北京 100049）

1 引 言

空間光學載荷在對地觀測和深空探測等領域有著重要的應用，特別是對于巡視視場為哈勃望遠鏡300 倍且質量可達15 000 kg 的中國空間望遠鏡，在需要長時間曝光的凝視工況下，對其指向穩(wěn)定度（LOS）的要求較高，所以對微振動指標的要求更為嚴苛。因此，為了探究微振動對望遠鏡系統的影響，研究空間望遠鏡中振源的擾振特性就顯得尤為重要。特別當面對大型的航天器，其活動部件越來越大時，基于結構耦合的擾振機理也越來越復雜。目前，大型航天器調姿機構多以6 個為一組，加上工裝其質量可達1 000 kg以上［1-4］。因此需要一種振源擾振力地面測量系統，能夠在臺面尺寸、剛度、精度以及負載能力上滿足測量大型航天設備振源的要求。

目前，對于振源（如反作用飛輪、致冷器、數傳天線以及快門等）的地面測量多采用壓電式結構進行擾振力測試。其中以Gough-Stewart 構型的測量系統最為常用［5-9］，但其松散的結構會明顯降低平臺的剛度，當振源的質量及規(guī)模相對較大時，這將會導致在測量期間振源與測試系統的結構耦合［10］。除此之外，振源的微振動地面測量多采用四點式構型，如Li 等人［10］設計的用于大載荷的壓電式六維力傳感器，采用了四點冗余并聯式的構型，通過每個壓電陶瓷的軸向與剪切輸出進行空間解耦可以得到空間六維力，由于采用了靜態(tài)標定的方式，因此沒有考慮結構耦合的影響。在市面上微振動測量平臺中，最常用的瑞士奇石樂（Kistler）公司的多維力測量平臺也采用這種四點式的布局方式。Xia 等人［11］設計了一種新型的六維廣義力測量平臺，其采用了8 個傳感器，較大程度地提高了平臺的剛度和負載能力，該設計在整體上還是屬于四點支撐結構，因傳感器數量的增加，剛度和承載能力都有了提升，但進一步提升的難度非常大，同時不可避免的引入了較多的系統誤差。Durand 等人［12］設計了一種用于連接扳手的測量傳感器，其中的傳感器由6 個壓電圓柱體組成，壓電圓柱體安裝并固定在兩個板之間的不同方向上。上述的壓電式力測量系統根據不同的工作環(huán)境和測試要求具有不同的結構形式和設計原理，在設計中可以只對個別參數進行設計，存在較大的設計空間。但對于高精度、大負載、高剛度的測量要求，如航天器復雜振源的地面測量，以上方式就很容易造成負載能力、剛度和精度之間的設計沖突。為了提高平臺剛度和承載能力，可以增加平臺和基礎之間的并聯環(huán)節(jié)，但過多增加可能會引入非線性項，傳感器數量增加會引入明顯的系統誤差，這是由測試原理決定的［13］。

針對以上常規(guī)問題，本文采用了一種基于陣列式布局的測量系統。首先，通過增加并聯傳感器的數量來提高系統的剛度和承載能力；其次，為了提高測量精度，系統根據被測振源的預振數據對平臺測試特性進行分析，基于矩陣廣義逆求解的方法選出最優(yōu)的傳感器輸出通道組合，避免了過多傳感器引入的系統誤差，同時也降低了不同力學特性的振源對平臺的影響；最后，基于選得的最優(yōu)通道組的數據，通過全回歸法的線性解耦算法更為精確地求解出擾振力的表達式。本文設計了三維力測量系統樣機進行前期驗證，以此作為六維力測量的理論可行性探索。該平臺擬用于中國空間望遠鏡的微振動地面試驗，其中被測振源可達300～500 kg，臺面尺寸需要1 m×1 m 以上，關心頻率段在8～800 Hz，為了更為經濟方便地進行驗證實驗，現將樣機的臺面尺寸、負載能力都進行了縮小。在最后通過實驗對其進行了性能驗證，提出了測量平臺的測量策略，在原理上驗證了所設計平臺用在測量大質量設備上的可行性。

2 結構設計

該測量系統的結構部分主要由負載平臺、基座以及分布在兩者之間的力傳感器構成，如圖1所示。測試期間，系統通過基座被固定在隔振平臺，被測振源被安裝在負載平臺上的工裝內以便于測試。振源開機時，擾振數據被傳遞到各傳感器，如果能夠采集到足夠數量的數據，就可用于被測振源擾振力的解算。

圖1 陣列式測量系統結構Fig.1 Structure of the array measuring system

綜合考慮優(yōu)化空間及現有條件，測量系統的傳感器采用4×4 陣列式的基本構型，足夠多的并聯環(huán)節(jié)可以保證臺面尺寸、平臺剛度及承載能力等參數具備較高的上限，其中力傳感器采用力環(huán)形 式（Kistler，9134B，Sensitivity：-3.8 pC/N，Range：26 kN），預緊力矩在15～25 N·m 之間，傳感器數據用于解算Mx、My、Fz。其中，Mx、My、Fz分別表示擾振力解耦后對x軸、y軸的力矩和沿z軸的力。

由于承載能力和分辨率主要由基本構型及傳感器自身屬性決定，在對本樣機進行有限元分析過程中主要需要考慮的是其剛度特性。為了增加優(yōu)化空間，負載平臺和基座都采用了薄板的形式，并建立有限元模型如圖2（a）所示，該模型通過Altair. Hypermesh 采用1/4 對稱式建模方法，單元類型主要為六面體網格（99.53%），節(jié)點數為10 531，單元數為6 803，MPC 數為0，各部件通過節(jié)點耦合的方式連接。從MSC.Nastran 仿真結果來看，平臺的基頻為1 174.6 Hz，其二階固有頻率為1 2279.4 Hz，而一般不希望引起耦合作用的頻率段在8～800 Hz 之間，設計平臺的固有頻率不在此范圍之內；反之，會引起振動放大。如圖2（b）所示，用同樣的方法對傳感器為2×2 分布的測量平臺進行仿真，得到其基頻和二階固有頻率分別為362.7 Hz 和646.5 Hz，遠低于傳感器為4×4 陣列分布平臺所對應的頻率。由以上仿真結果可得，所設計平臺剛度較2×2 分布式測量平臺更大，引起的結構耦合作用更?。?3］。此外，與傳統構型相比，所提出的陣列式布局平臺剛度設計更簡單，特別是對負載平臺的設計要求大大降低。

圖2 陣列式測量系統有限元模型及前兩階振型Fig.2 Finite element models and the first two order modes of systems

基于以往的研究結果可知［11］，冗余觀測及標定會導致測量結果中引入明顯的系統誤差，所以陣列式平臺在常規(guī)的觀測方法下，即全部傳感器參與響應，并在不考慮環(huán)境噪聲的前提下，其測試精度會大幅下降。所以將在每次擾振力測試前從16 個傳感器中選取最優(yōu)的傳感器組進行擾振力的解算，即進行預振選取最優(yōu)通道組，這樣就可以在保證陣列式測量系統結構特性（臺面尺寸、剛度、承載能力）優(yōu)異的前提下，確保測試精度。

3 三維擾振力求解

在實際的每次測量中，環(huán)境噪聲是隨機變量，系統誤差和隨機誤差所占比重無法預測，被測振源的質量、擾振特性、安裝位置，也是隨機變量，平臺內部傳感器對被測振源的敏感程度也無法預測，此時系統的傳遞函數不是唯一確定的。所以需要在每次測量前通過預振模式對以上特性進行預估，并選出用于解算的最優(yōu)通道組合。

為了預估被測振源的擾振特性，需要對被測振源進行預振。首先將被測振源安裝在密封工裝之內（文中并未使用振源，用力錘代替進行實驗），每次預振時均用力錘作用在工裝的固定位置1，2，…，9 點，得到時域力輸入信號Fh（tk）和16路傳感器的時域響應信號Uih（tk），i=1，2…，16，i為傳感器通道數；h=1，2，…，9，h為預振位置；tk=1，2，…，tk為采樣時間點，以上數據是基于某一采樣頻率測得的離散數據。基于該數據，首先對數據的信噪比（SNR）進行評價以選擇觀測方式，參見式（1）可用于評估環(huán)境噪聲。

其中：Vs為擾振數據RMS 值，Vn為檢測環(huán)境噪聲RMS 值。該信噪比用于評估信號隨機誤差成分是否滿足常規(guī)測試條件（大于20 dB），以確定參與傳感器數量m＞3 的冗余觀測或者m=3 的常規(guī)觀測方式。當環(huán)境噪聲中隨機成分過多時，擬通過適當增加參與傳感器數量以降低隨機誤差，為了不過多引入系統誤差，環(huán)境良好時應采用非冗余的觀測方式。

因為微振動的幅值和頻率分布較廣，所以本文的微振動測量基于頻譜分析。由離散傅里葉變換公式（2）可得頻域力輸入信號Fh（ω）和16 路傳感器的頻域響應信號Uih（ω）。

基于上述內容，在選擇了觀測方式之后，進行三維力的動態(tài)解耦及最優(yōu)通道組的選擇。假設環(huán)境噪聲較小，擬選用非冗余觀測方式，即m=3（冗余觀測的三維力解耦僅在矩陣維數上存在差異，能從非冗余觀測的解耦推廣得到），任意選 取 通 道 組 為nl，nm，nn，其 中nl≠nm≠nn，則 選 取用于計算的電壓輸出值為Ulh（ω），Umh（ω），Unh（ω），h=1，2，…，9，上述數據可用于解耦三維力Mx、My、Fz。用 于 傳 感 器 三 維 力 解 耦 的 方 法 較多［14-16］，但為了節(jié)省選取最優(yōu)通道組時的計算機計算資源，并考慮到Matlab 中計算矩陣的優(yōu)越性能，所以在前期選取最優(yōu)通道組時使用基于求解矩陣廣義逆的解耦算法來進行求解。

此時用向量F（ω）=［Mx（ω）My（ω）Fz（ω）］T表示頻域輸入三維力，用Ulmn（ω）=［U1（ω）U2（ω）U3（ω）］T表示任意選取三路輸出的頻域電壓信號，Blmn（ω）為常數誤差矩陣，則三維力與電壓之間的關系為：

即：

其中，F（ω）、Ulmn（ω）為3×hi矩陣，hi代表預振位置，一般來說hi≥3；Clmn（ω）為平臺的動態(tài)標定矩陣。為了使指標J=Blmn（ω）TBlmn（ω）為最小，此時標定矩陣Clmn（ω）可以通過求廣義逆矩陣的方式得到：

由此，可得到任意三個通道的Clmn（ω）。盡管通過求廣義逆矩陣來計算解耦矩陣的方式沒有考慮電壓矩陣為0 時的偏置值，使得解算存在一定的誤差，但在最優(yōu)通道組選取時，如此標定矩陣C的求取計算量更小、耗時更少、更為快捷。

將求廣義逆得到的C316個動態(tài)標定矩陣Clm（nω）分別與對應電壓輸出矩陣Ulm（nω）相乘得到C316個力矩陣的計算值Flmn（'ω），即力估計值：

為了得到最佳三個通道數，即力計算值Flmn'（ω）與力輸入值F（ω）的差值最小，建立如下目標函數：

基于Matlab 遍歷16 路傳感器輸出數據的所有組合，并結合公式（7）可得使誤差最小的通道組合nb1、nb2、nb3。

為了實現更為精確的三維力解算，基于最優(yōu)通道組nb1、nb2、nb3的實驗數據U1（ω）、U2（ω）、U3（ω），使用了基于全回歸法的線性解耦算法［17］（冗余觀測方式m＞3 下的解耦同樣推廣可得）。

假設z方向上的力Fz（ω）與三個最優(yōu)通道的電 壓 值U1（ω）、U2（ω）、U3（ω）的 線 性 關 系如式（8）：

式（8）為回歸方程，其中β0（ω）、β1（ω）、β2（ω）、β3（ω）為回歸系數，ε（ω）為剩余誤差。根據Fz（ω）、U1（ω）、U2（ω）、U3（ω）的h組測試數據可計算回歸系數。將測試數據帶入式（8），可得：

其中：k=1，2，…，h；εk（ω）為每次測試的誤差。設βi（ω）（i=1，2，3）的估計值為bi（ω），εk（ω）的估計值為ek（ω），則（9）式可以寫為：

由此，b0、b1、b2、b3的值可通過式（12）、式（13）求得［17］：

則可得到（11）的具體表達式，同理分別可得Mx（ω）、My（ω）關于U1（ω）、U2（ω）、U3（ω）的表達式。若想要時域下的力信號，將得到的頻域下的三維力經離散傅里葉逆變換可得到：

至此，從16 個傳感器中選取了最優(yōu)電壓輸出通道組，并用最優(yōu)通道組的測試數據得到更為精確的擾振三維力表達式。

4 實 驗

實驗主要包括：驗證陣列式平臺的剛度及動態(tài)線性度；驗證振動實驗最優(yōu)傳感器組合的選取和三維力表達式的求解過程，即預振實驗；完成擾振力測試，檢測動態(tài)力測量精度，驗證測量平臺及測量方式的可行性，并驗證以上理論的正確性。

4.1 固有頻率及動態(tài)線性度測試實驗

圖3 為動態(tài)力學性能測試實驗系統實物圖，系統主要包括加載工裝、電荷放大器、數據采集設備、測力平臺樣機、分析系統（精度：±0.1 dB；VRAI820-24bit，M+P，Germany）以 及 力 錘（086C03，PCB；靈敏度：2.25 mV/N；分辨率：0.02 N-rms；測量范圍：±2 200 N-pk）。

圖3 測試系統Fig.3 Test system

其中，測力平臺的傳感器分布如圖4 所示，為4×4 的結構布局形式，在軸線處并沒有布置傳感器，以防止“不能測得扭矩”的現象出現并使得解耦 失 敗 ，圖 中a1=b1=0.15 m，a11=b11=0.05 m［11］。

圖4 傳感器位置分布Fig.4 Sensors location distribution

實驗首先測量了系統的固有頻率。通過力錘輸入寬頻沖擊信號，可以得到系統各傳感器的頻響函數曲線。圖5 展示了6 和9 號位置傳感器的頻響函數曲線。為了原理上驗證動態(tài)線性度，通過輸入不同峰值的寬頻沖擊，并檢測頻響函數曲線的重合度，同時通過該曲線，平臺的基頻也可以被得到?？傻孟到y基頻為1 174 Hz（采樣頻率：8 192 Hz，有效帶寬：0.062 5 Hz～3 200 Hz），由前文可知系統仿真基頻為1 174.6 Hz，兩個值非常接近，表明陣列式系統在仿真剛度設計時的優(yōu)勢，利于耦合測試需求下的系統設計。此外，樣機的負載平臺很薄，通過加強設計，其剛度可以進一步提升?；趥鬟f函數的重合度，通過不同頻段曲線相互之間的相對誤差來表征動態(tài)線性度，由式（15）可算得：各通道的動態(tài)線性度都可以保證在0.1%FS 以內，其中i=1，2，3；j=1，2，…，nfft。同時，也可以在圖5（b）紅框中看到由于工頻（50 Hz及其倍頻）的影響，濾波后頻響函數產生了平移，在現有條件下難以避免。

圖5 系統頻響函數Fig.5 Frequency response function of the system

4.2 預振實驗

為了獲得最優(yōu)通道組，從而進行三維力表達式（11）的求解。通過試驗方法驗證了預振流程。

如圖6 所示，工裝安裝在平臺上的2～7 位置處。其中，位置2～7 表示工裝安裝的對角線位置為傳感器2 和7。如圖7 所示，工裝上有九個加載點，可通過力錘對工裝在加載點上進行加載。本實驗取1、5、9 三點輸入寬頻沖擊力（采樣頻率為2 048 Hz，采樣時間為16 s，有效帶寬1/16～800 Hz，標定有效系數為2.56），選取h=3，即每點加載3 次，每點3 次的力錘反饋力取平均后作為輸入標定力，以降低人為隨機誤差。同時16 個通道的電壓輸出值也取平均后作為每路通道的輸出值。照式（1）計算后，選定傳感器數m=3 的非冗余觀測方式。經式（2）可得頻域下的輸入信號和響應信號。

圖6 工裝放置示意圖Fig.6 Diagram of tooling placement

圖7 標定過程的加載點布局Fig.7 Layout of the load points for the calibration process

由于所施加的載荷并不在平臺安裝面上，需將1、5、9 三點的載荷轉換到平臺安裝面的形心處，即：

其中：F3×3(ω)表示頻域下等效到平臺安裝面形心的載荷；F''3×3(ω)表示頻域下實際加載載荷，是一個對角陣，矩陣中的F''ii(ω)等于1、5、9 三點上3 次加載載荷的平均值；C′表示實際加載載荷矩陣與等效載荷之間的轉換矩陣。由工裝的安裝位置2～7 可得C′為：

基于以上，式（3）可改寫為：

其中：F1（ω）、F5（ω）、F9（ω）表示通過點1、5、9 輸入的力。Uli（ω）、Umi（ω）、Uni（ω）（i=1，5，9）表示任意三個通道組對應于1、5、9 三點的電壓輸出值。每個元素Cij長度為32 768。

式（18）即可寫為：

由式（19）可解得任意三個通道的標定矩陣：

通過Matlab 的遍歷搜索，找到滿足（7）式的通道組合，分別為第3、6、7 通道。

將第3、6、7 通道的實驗數據帶入式（12）、（13）可得本次擾振力更為精確的測量表達式（11）。

4.3 擾振力測試

最后，測試了系統的擾振力測量精度。工裝安裝位置應與預振測試一致，如圖6 所示。本測試在工裝的2 點輸入沖擊力。

圖8 為基于全回歸法的線性解耦算法下平臺解算得到的擾振力與輸入擾振力的對比圖，其中（a）為Fz數據，（b）為My的解耦數據。從圖中可以看出，所設計的陣列式平臺剛度特性比較穩(wěn)定，受傳遞函數平整度影響，關心頻段沒有峰值，解耦結果更為準確，擬合度更高。平臺靈敏度及承載能力則主要由傳感器確定，靈敏度可達1 000 mV/N，測量范圍達到416 kN（根據并聯分載原理：26 kN×16=416 kN）。

圖8 位置2-7-2 輸入力與解耦力對比圖Fig.8 Comparison of measured forces with input forces under position 2-7-2

表1 中列出了兩種算法下8～800 Hz 內的動態(tài)相對測量誤差，其中a 為求解矩陣廣義逆的解耦算法，b 為基于全回歸法的線性解耦算法?？傻没谌貧w法的線性解耦算法下的各向平均相對誤差小于5%，相較于基于求解矩陣廣義逆的解耦算法求得的三維力誤差更小、精度更高。

表1 兩種解耦算法下8～800 Hz 內動態(tài)相對測量誤差Tab.1 Dynamic relative measurement error within 8-800 Hz for two decoupling algorithms

由以上實驗驗證了前文理論的正確性，且所設計平臺的剛度強、載荷大、精度高。

5 測量策略

經實驗驗證了所述測試方法的可行性，故提出如圖9 所示的測量策略：

圖9 測量策略流程圖Fig.9 Flowchart of measuring strategy

6 結 論

本文提出一種基于陣列式傳感器分布的擾振力測量系統，可用于航天器中大型振源或振源組件的擾振力地面測量實驗。該系統通過陣列式的并聯環(huán)節(jié)有效地提高了系統的臺面尺寸、剛度及承載能力；并基于實驗驗證提出了一種測量策略，提高了系統的測量精度。樣機的實驗結果表明該系統具備較高的承載能力和剛度上限（樣機基頻為1 174 Hz，承載能力可達416 kN）；在8～800 Hz 范圍內，各向平均相對誤差低于5%。該研究結果證明陣列式測量平臺及其測量策略具備可行性，可適用于各類振源的擾振力測試。