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        基于學(xué)科核心素養(yǎng)的“全等三角形”復(fù)習(xí)課設(shè)計

        2022-03-07 09:11:48楊文陳開文
        教育科學(xué)論壇 2022年8期
        關(guān)鍵詞:全等三角形直角三角形三角形

        ■楊文,陳開文

        核心素養(yǎng)在全面深化課程改革,落實立德樹人根本任務(wù)中具有重要作用和突出的地位,近年來,核心素養(yǎng)的培養(yǎng)已成為中小學(xué)課堂教學(xué)的指導(dǎo)思想和基本方向,如何在具體教育實踐中讓學(xué)科核心素養(yǎng)落地落實,這是廣大教育工作者必須厘清的關(guān)鍵問題。筆者以一堂青年教師賽課——北師大版初中數(shù)學(xué)教材七年級下冊第四章 “全等三角形的復(fù)習(xí)”為例,結(jié)合自身教學(xué)實踐,談?wù)勗鯓釉诔踔袛?shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中將數(shù)學(xué)的核心知識、基本思想方法、數(shù)學(xué)精神等教育滲透到復(fù)習(xí)中[1],從而真正做到有效提升學(xué)生的核心素養(yǎng),為教師在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中落實核心素養(yǎng)培養(yǎng)提供一些借鑒。

        一、教學(xué)過程

        (一)課前準備,積累活動經(jīng)驗

        落實學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)就是要組織、實施好學(xué)科活動。教者以活動為引領(lǐng),在課前準備中為學(xué)生布置了一個前置活動:1.用硬紙片剪出兩個等腰直角三角形;2.用兩個等腰直角三角形,拼成自己喜歡的圖形;3.上課時,請同學(xué)們來分享拼好的圖形。

        教學(xué)分析:由于活動要求并沒有規(guī)定兩個等腰直角三角形的大小,故應(yīng)分類討論:可以是兩個一樣大小的等腰直角三角形,也可以是一大一小的等腰直角三角形。通過“前置活動”的形式,不僅可以讓同學(xué)們回顧等腰直角三角形的基本性質(zhì),還可以讓學(xué)生動手裁剪、設(shè)計,最后拼接成一個美麗的圖形,從中感受到數(shù)學(xué)的美。在課堂上,讓同學(xué)們上講臺來展示自己的“作品”,并分享自己的設(shè)計方案和想法,還引出了本節(jié)復(fù)習(xí)課研究的所有基本圖形。整節(jié)課同學(xué)們都在研究自己設(shè)計出的圖形的性質(zhì),這大大激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性。以下是部分同學(xué)的拼圖:

        圖1

        圖2

        圖3

        圖4

        (二)知識回顧,熟悉基本性質(zhì)

        落實學(xué)科核心素養(yǎng)就是要有過硬的學(xué)科基礎(chǔ)知識。好的教學(xué)設(shè)計要著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),從學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗出發(fā),因此,教者在新課伊始,設(shè)計了兩個與本節(jié)課相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的問題:(1)如圖5,已知ΔACE為等腰直角三角形,∠CAE=90°,AC=AE,請找出相等的角和線段。(2)如圖6,已知ΔABD和ΔACE是等腰直角三角形,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°,請找出相等的角和線段;線段BD與CE有什么位置關(guān)系?

        圖5

        圖6

        教學(xué)分析:問題(1)根據(jù)等腰直角三角形的基本性質(zhì),可以知道底角相等、腰相等,有一個角是直角。這不僅可以幫助學(xué)生回顧等腰直角三角形的基本性質(zhì),還為后面的問題做鋪墊。教者由一個簡單的等腰直角三角形入手,讓每個學(xué)生都可以參與進來,提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。問題(2)中相等的線段有AB=AD,AE=AC,通過線段的比較可以得到BE=CD。其中相等的角有∠A=∠A=90°,∠E=∠C=∠ABD=∠ADB=45°,∠EBD=∠CDB=135°,根據(jù)平行線的判定可以知道線段BD與CE的位置關(guān)系為互相平行。隨著圖形變得復(fù)雜,不僅考查了學(xué)生運用等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題的能力,還考查了學(xué)生對基本模型的識別能力,進一步為后面的教學(xué)環(huán)節(jié)埋下伏筆。

        (三)求同存異,回歸圖形本質(zhì)

        落實學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵是要抓住事物的本質(zhì)。三角形全等的重點在于圖形的變化較多,但究其本質(zhì)就是兩個三角形平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等變換,因此,教者以旋轉(zhuǎn)為抓手,引導(dǎo)學(xué)生從他們自己拼接成的圖形入手研究問題(3):如圖7,已知ΔABD和ΔACE是等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接CD,BE,試找出圖形中的全等三角形;試探究BE與CD有什么關(guān)系。問題(4):如圖8,已知ΔABD和ΔACE是等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接CD,BE,試找出圖形中的全等三角形;試探究BE與CD有什么關(guān)系。問題(5):如圖9,已知ΔABD和ΔACE是等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接CD,BE,試找出圖形中的全等三角形;試探究BE與CD有什么關(guān)系。

        圖7

        圖8

        圖9

        教學(xué)分析:教者以旋轉(zhuǎn)變換為切口,用三角形全等來研究旋轉(zhuǎn)變換中的不變關(guān)系。根據(jù)旋轉(zhuǎn)型全等這個基本模型,不難發(fā)現(xiàn)圖7中全等的三角形為ΔABE和ΔADC。在全等的條件下,自然有BE=CD,本題的難點在于探究BE與CD的位置關(guān)系,值得注意的是在探究兩線段之間的關(guān)系時,應(yīng)分類討論,其關(guān)系不僅包括位置關(guān)系,如平行、垂直等,還包括數(shù)量關(guān)系,即兩線段相等的情況。在問題(3)和問題(4)中需要延長CD交BE于點F,根據(jù)轉(zhuǎn)移角的基本模型“蝴蝶型”,以問題(4)為例,如圖10,因為ΔABE?ADC(SAS),所以∠FED=∠ACD,又因為對頂角,所以∠FDE=∠ADC,在ΔFDE與ΔADC中,三角形內(nèi)角和均為180°,所以∠EFD=∠CAD=90°,所以BE⊥CD。本環(huán)節(jié)三個問題的已知條件基本一致,圖形具有變化的連續(xù)性,揭示出了本節(jié)課研究的主題:在等腰三角形的問題中,通常涉及全等、旋轉(zhuǎn)等元素,由于圖形均由學(xué)生自己拼接而成,大大地激發(fā)了學(xué)生研究的興趣。復(fù)習(xí)課的重點不僅是要教會學(xué)生識別復(fù)雜圖形中的基本模型,更為關(guān)鍵的是教會學(xué)生研究基本模型變換的規(guī)律,抓住變換的本質(zhì),從而做到舉一反三,知一通百。

        圖10

        (四)小組合作,培養(yǎng)創(chuàng)新能力

        本節(jié)課的難點在于同學(xué)們能否在教師的引導(dǎo)下,通過小組合作在原來的基本模型中探究出其他結(jié)論。先獨立思考,再小組討論,最后請小組分享成果。問題(6):如圖11,已知ΔABD和ΔACE是等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接CD,BE,連接AF,試說明∠BFA=∠CFA。問題(7):如圖12,已知ΔABD和ΔACE是等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接DE,BC,過點A作BC的垂線交BC于點M,延長MA交DE于點N.試說明DN=EN。問題(8):請同學(xué)們根據(jù)自己拼接的圖形,類比本節(jié)課探究的模式,命制一道題并給出解答。

        圖11

        圖12

        教學(xué)分析:問題(6)要證明∠BFA=∠CFA,即證明AF平分∠BFC,根據(jù)角平分線的判定,過點A作AM⊥BE,AN⊥CD分別交BE,CD于點M,N,只要能夠證明AN=AM即可,根據(jù)問題(5)可知ΔABE?ADC(SAS),所以SΔABE=SΔADC且BE=CD,由等面積法可知三角形的高相等即AN=AM,所以AF 平分∠BFC,故∠BFA=∠CFA得證,本題涉及了全等的運用,角平分線的判定以及遇到角平分線應(yīng)過角平分線上的點作角兩邊的垂線的基本模型。問題(7)考查了學(xué)生對“K”型全等的識別和運用,如圖13,過點E,D,作EG⊥MN,DH⊥MN分別交MN于點G,H,因為∠EAC=90°,所以∠EAG+∠CAM=90°,又因為EG⊥MN,所以∠EAG+∠GEA=90°,所以∠GEA=∠CAM,又因為AE=AC,所以ΔAGE?CMA (AAS),所以GE=AM;同理可得DH=AM,所以ΔDHN?EGN(A AS ),所以DN=EN。教者為了進一步深入挖掘題目中的價值,繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探究圖形的本質(zhì),設(shè)置如下追問:若將DN=EN當(dāng)作條件,其他條件不變,能否證明AM⊥BC?問題(8)是一個開放性問題,充分利用課前活動中拼接的圖形,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。本環(huán)節(jié)均是通過小組合作探究,圍繞同學(xué)們拼接而成的圖形,利用全等的基本模型繼續(xù)深入探究圖形的性質(zhì),挖掘圖形的本質(zhì),讓學(xué)生經(jīng)歷研究圖形性質(zhì)的過程,提升獨立研究的能力。

        圖13

        二、教學(xué)反思

        復(fù)習(xí)課是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要組成部分,通過對所學(xué)內(nèi)容的復(fù)習(xí),可讓學(xué)生進一步理解知識[2],鞏固已學(xué)過的知識、方法、思想,使其建立起系統(tǒng)的知識體系,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),也為新的學(xué)習(xí)內(nèi)容做鋪墊。

        (一)在學(xué)科活動中培養(yǎng)核心素養(yǎng)

        學(xué)科知識與學(xué)科活動是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的兩翼,學(xué)科知識是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的主要載體,學(xué)科活動是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的主要路徑[3]。也就是說,核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)該堅持杜威提倡的“做中學(xué)”,在學(xué)校學(xué)習(xí)過程中,則需要依托學(xué)科教育實踐活動來實現(xiàn)。在平時的教學(xué)活動中,教師應(yīng)合理設(shè)計活動,注重融入核心素養(yǎng),以活動來引導(dǎo)學(xué)生動手操作,激發(fā)學(xué)生的探究興趣,從而實現(xiàn)核心素養(yǎng)的有效培養(yǎng)。由此,提出兩點建議:一是活動設(shè)計應(yīng)具有明確、簡潔、可操作性等特點;二是活動設(shè)計應(yīng)緊貼復(fù)習(xí)課主題或生活情景。

        (二)在問題探究中培養(yǎng)核心素養(yǎng)

        無論我們采取何種方式方法設(shè)計落實核心素養(yǎng)的復(fù)習(xí)課,核心素養(yǎng)的落地都高度依賴問題情景,正是高質(zhì)量的問題串設(shè)計[4],才能有效溝通知識和素養(yǎng)之間的聯(lián)系,借助于問題串可以幫助學(xué)生更好地鞏固基礎(chǔ)知識,提升學(xué)生使用數(shù)學(xué)方法分析問題和解決問題的能力,而且通過問題串的設(shè)計豐富了學(xué)生學(xué)習(xí)的進程,有助于學(xué)生核心素養(yǎng)的提升[5]。通俗地講,復(fù)習(xí)課就是基于一個能夠體現(xiàn)核心素養(yǎng)的核心問題,并將其分解為一個個問題串,引導(dǎo)學(xué)生在探究實踐中一步步靠近復(fù)習(xí)課的最終問題的解決。由此,提出兩點建議:一是問題串的設(shè)計要重視生活情景和知識情景的創(chuàng)設(shè);二是問題串的設(shè)計要設(shè)置梯度,層層深入,把看似零散的概念、規(guī)律有機滲透在問題探究的全過程[6],更要有意識地重視開放性問題的設(shè)計。

        (三)在創(chuàng)新實踐中培養(yǎng)核心素養(yǎng)

        創(chuàng)新不是憑空臆造的,而是建立在知識的傳播、轉(zhuǎn)化和應(yīng)用的基礎(chǔ)之上的,無論是知識的創(chuàng)新還是技術(shù)的創(chuàng)新,都離不開教育[7]。教者在最后設(shè)置的問題(8)中,利用學(xué)生活動成果,模仿課堂圖形探究流程,充分發(fā)揮他們的想象,讓學(xué)生自己提出問題、分析問題,并解決問題,積累創(chuàng)新活動的經(jīng)驗,進而提升學(xué)生創(chuàng)新的意識。由此,提出三點建議:一是重視學(xué)科活動的設(shè)計; 二是發(fā)揮小組合作優(yōu)勢;三是精心設(shè)計問題串。

        三、結(jié)語

        促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展是初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的重要方向,因此,復(fù)習(xí)不是簡單的對新課期間所學(xué)的知識“炒冷飯”,也不是針對新課期間的難點反復(fù)地“機械刷題”,而是借助具有結(jié)構(gòu)性的問題從更高的視角讓學(xué)生聯(lián)系地、整合地、本質(zhì)地看待所學(xué)習(xí)過的內(nèi)容[8]?;诤诵乃仞B(yǎng)的復(fù)習(xí)課教學(xué)需要教師更好地理解數(shù)學(xué),創(chuàng)造性地設(shè)置活動,巧妙地設(shè)置問題串,堅持培養(yǎng)創(chuàng)新能力,切實將培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)融入復(fù)習(xí)課的每一個教學(xué)環(huán)節(jié)中,實現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展[9]。

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