黃絲引，曾 光，張思平，余笑宇，雷 莉

(東華理工大學理學院，330013，南昌)

0 引言

在工程與科學計算中會遇到大量的求解非線性方程的問題，對于一般的代數(shù)方程，當它的次數(shù)超過4次時無法用公式直接表示方程的根；對于更復雜的超越方程，解析法求方程的根有不少困難；因此研究數(shù)值方法計算非線性方程的根就顯得尤為重要。迭代法是數(shù)值求解非線性方程根的重要方法，但是使用迭代法的困難在于計算量難以估計，有時迭代過程收斂，但收斂速度緩慢，此時迭代格式因為計算量變得很大而失去實用價值。與簡單迭代法相比，Newton迭代法的收斂速度更快，它具有局部平方收斂的性質(zhì)。因此得到了學者們的重視和廣泛應用。

一直以來有很多學者提出了各種關于 Newton 迭代法的改進。A Y ?zban[1]基于算術平均牛頓法，用調(diào)和平均數(shù)代替算術平均數(shù)而得到調(diào)和平均牛頓法，該方法的收斂階為三階；范倩楠和王曉峰[2]通過改造史蒂芬森迭代法，構(gòu)造了一種新的具有最優(yōu)階的無導數(shù)兩步迭代法，得到收斂階為四階的無需計算導數(shù)的迭代法；黃芳芳[3]等在經(jīng)典牛頓迭代法和弦截法的基礎上，構(gòu)造了3種新的迭代法，這3種迭代法在一定程度上加快了收斂速度；張輝[4]等根據(jù)四點 Newton-Cotes求積公式提出了一種六階的牛頓迭代法；吳江[5]在算術平均牛頓法的基礎上提出了一種六階收斂的迭代格式；王堯和陳豫眉[6]在Ostrowski[7]四階收斂和Grau[8]的六階收斂以及三步迭代法的基礎上，構(gòu)造了一種新的求解非線性方程單根的三步六階迭代法；薛霜[9]在2013年基于2種三階牛頓變形方法的基礎上，通過線性插值和待定系數(shù)法得到了2種新的牛頓變形法，并且理論證明了這2種方法的收斂階都能達到五階。

本文以Newton迭代法為基礎，結(jié)合兩步迭代格式，通過組合迭代，構(gòu)造收斂階更高的迭代法，以進一步提高迭代法的計算效率。文章安排如下：第1節(jié)介紹迭代格式的具體形式；第2節(jié)給出收斂性的證明；第3節(jié)利用數(shù)值實驗進一步驗證理論方法的有效性。

1 新迭代格式的構(gòu)造

定義1[10]: 設迭代序列xk收斂于點x*，所以誤差為ek=xk-x*，若存在實數(shù)p≥1和非零常數(shù)C使得

此時，迭代序列xk的收斂階是p,C為漸進誤差系數(shù)。顯然，收斂階p越大收斂速度越快，當p=1時，迭代法稱為線性收斂；當p>1時，迭代法稱為超線性收斂；當p=2時，迭代法稱為平方收斂。

定義2[11]：設迭代序列xk是p階收斂于點x*，每次迭代中所需計算的函數(shù)值的次數(shù)為k次，則稱EI為迭代序列中的效率指數(shù)，計算公式為

定義3[12]：設定義在開區(qū)間D?R→R上的函數(shù)f(x)足夠光滑，a為方程f(x)=0的一個根，若滿足

其中c是非零正常數(shù)，則稱上式為誤差方程。

Newton迭代法是求解非線性方程的重要方法之一，其迭代格式為

(1)

王小瑞[13]等人提出一種收斂階為四階的兩步迭代，迭代格式為

(2)

為了提高迭代格式的收斂速度，同時又盡量減少迭代格式中對于函數(shù)值和導數(shù)值的求解，本文基于迭代格式(2)提出新的三步迭代格式，其構(gòu)造過程如下：

首先，式(2)中的第一式保持不變

(3)

再用zk替代式(2)的第2式中的xk+1，即得到與xk,yk有關的zk

(4)

最后，添加一步牛頓迭代即得到新的三步六階迭代格式

(5)

下面利用(xk,f′(xk)),(yk,f′(yk))對(f′(zk))進行插值估計

(6)

由上式可知

(7)

將式(5)中間的式子代入式(7)中，化簡得

(8)

將式(5)的第1式代入式(8)中，化簡得

(9)

將式(9)代入式(5)的第3式中，化簡得

(10)

于是得到新的迭代格式為：

(11)

2 收斂性分析

定理1：設方程f(x)=0 的一個單根為a，函數(shù)f(x)在包含a的一個開區(qū)間I中充分光滑，當x0充分靠近a時，則由式(11)所定義的迭代法在開區(qū)間I中以六階收斂速度收斂于a，且其誤差方程為

證明：f(xk)在a處使用泰勒公式展開

(12)

(13)

由式(12)和式(13)得到

(14)

所以

(15)

利用式(15)，將f′(yk)在a處使用泰勒公式展開

(16)

由式(13)和式(16)得到

(17)

(18)

(19)

利用式(19)，將f(zk)和f′(zk)用泰勒公式在a處展開

f(zk)=f′(a)[(zk-a)+c2(zk-a)2+o(zk-a)3]

(20)

故

(21)

故本文迭代格式的誤差估計為

(22)

將式(18)代入式(22)中，得到

(23)

3 數(shù)值實驗

為了驗證本文的迭代格式的有效性，將其應用于求解以下4個測試函數(shù)的零點，并將本文新的迭代格式(簡稱H6方法)與牛頓迭代法(簡稱NM方法)進行比較。文中的數(shù)值實驗在 MATLAB R2017b中進行，digits = 1 024, 測試函數(shù)為：

測試函數(shù)的零點(此處僅考慮一個零點)分別為：

α1=1.365 230 013 414 10;

α2=0.739 085 133 215 16;

α3=0.567 143 290 409 78;

α4=2.174 952 447 083 43。

數(shù)值實驗測試結(jié)果如下表所示，其中表1至表4分別是函數(shù)f1(x)至f4(x)用牛頓迭代法和本文的三步六階迭代法求解的數(shù)值實驗，x0表示迭代初值，k表示迭代步數(shù),|xk-xk-1|表示誤差，迭代終止的條件是|xk-xk-1|<10-14。

表1 NM方法與H6方法數(shù)值求解f1(x)的結(jié)果對比

表2 NM方法與H6方法數(shù)值求解f2(x)的結(jié)果對比

表3 NM方法與H6方法數(shù)值求解f3(x)的結(jié)果對比

表4 NM方法與H6方法數(shù)值求解f4(x)的結(jié)果對比

在表1中，在取3個不同的初始值時，H6迭代法均快于經(jīng)典的牛頓迭代法，特別的，當初始值分別取-0.5、-0.3時，經(jīng)典牛頓迭代法的迭代步數(shù)分別是132步、54步。本文H6方法的迭代步數(shù)分別是是58步、13步，H6方法大大提高了迭代速度；從表2可以看出，當取不同的迭代初始值時，相對于經(jīng)典牛頓迭代法，H6方法都不同程度地減少了迭代的次數(shù)；對于函數(shù)f3(x)=xex-1, 迭代初值取-0.1和-0.2時，迭代法H6明顯優(yōu)于牛頓迭代法。同時，通過數(shù)值實驗表明，迭代法的收斂速度與選取的初始值有關，不同的初始值在用相同迭代法計算時，其迭代步數(shù)也不相同；一般初始值越接近零點，迭代步數(shù)越少；但是在初始值相同的情況下，H6方法始終快于牛頓迭代法。