鐘志華 李善良

摘? 要：回歸是一種十分重要的教學(xué)策略，是探明“學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么”的最有效途徑. 從理論上對回歸的本質(zhì)、目的、類型及基本途徑等方面進(jìn)行系統(tǒng)探討.

關(guān)鍵詞：回歸;教學(xué)策略;認(rèn)知起點

一、什么是回歸

回歸，《漢語大辭典（三）》給出的解釋是“回還，返回”. 而在西方，回歸最早來自拉丁文recurrere（跑回來），它由再次發(fā)生（recur）的詞義而來. 美國著名教育學(xué)家布魯納認(rèn)為，如果沒有回歸性，任何關(guān)于思想的理論都是無用的. 一門課程在它的教學(xué)進(jìn)展中，應(yīng)反復(fù)地回到這些基本觀念，以這些觀念為基礎(chǔ)，直到學(xué)生掌握了與這些觀念相適應(yīng)的完全形式的體系為止. 杜威則認(rèn)為，每一個終點就是一個新的起點，每一個起點來自前一個終點. 從聯(lián)系的觀點來看，回歸，是一個尋找并識別新知識的認(rèn)知起點并從中生成新知識的過程. 具體來說，它是把一個新知識或新問題放到學(xué)習(xí)者的已有知識結(jié)構(gòu)之中，利用已有知識來給予表征、解釋，或讓新知識、新方法從認(rèn)知起點生長出來的過程.

二、為什么要回歸

1. 回歸可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

長期以來，很多人對數(shù)學(xué)存在偏見，認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥、難學(xué). 這種錯誤的數(shù)學(xué)觀對數(shù)學(xué)教學(xué)非常有害，它像腐蝕劑一樣不斷銷蝕著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和自信心. 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的首要任務(wù)就是充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 孔子認(rèn)為，好學(xué)者不如樂學(xué)者. 因此，只有采取各種行之有效的方法讓抽象、枯燥的數(shù)學(xué)變得生動、有趣，學(xué)生才能好學(xué)、樂學(xué). 而要激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，關(guān)鍵在于教師要將抽象的數(shù)學(xué)知識回歸具體，讓學(xué)生看得見、聽得到、摸得著，能讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中充分激起探究興趣、激發(fā)數(shù)學(xué)思考、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗. 只有這樣，學(xué)生的抽象才不會成為無源之水、無本之木.

例如，在講授蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）“對數(shù)的概念”這一節(jié)課時，教師將教材上的問題“某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過1年，這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來的84%，若該物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，則經(jīng)過[x]年該物質(zhì)的剩留量為[y=0.84x]，若知道該物質(zhì)的剩留量[y，]求所經(jīng)歷的時間”改編成了“某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過1年，這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來的84%，若該物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，同學(xué)們能提出什么問題？”這樣一個更具開放性的問題. 由于它為學(xué)生準(zhǔn)確揭示了指數(shù)運算、冪運算及對數(shù)運算這三個概念的共同認(rèn)知起點——如何從[ab=N]中知二求一？從而產(chǎn)生一石激起千層浪的效果，它不僅讓學(xué)生更深刻地認(rèn)識到指數(shù)運算、冪運算及對數(shù)運算之間的區(qū)別與聯(lián)系，還為學(xué)生準(zhǔn)確找到新知識產(chǎn)生的認(rèn)知起點，讓學(xué)生在教師精心預(yù)設(shè)的教學(xué)情境中激發(fā)出主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的強烈欲望，收到舉一反三之功效.

2. 回歸可以更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，抽象性是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一，數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象. 但是，數(shù)學(xué)的抽象性不是憑空產(chǎn)生的，它需要借助一定的直觀才能達(dá)到. 數(shù)學(xué)的發(fā)展過程充分表明，數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與發(fā)展是一個不斷從具體到抽象循環(huán)往復(fù)、不斷上升的過程. 而對數(shù)學(xué)知識的理解則需要從抽象回歸具體，要以具體作為理解的基礎(chǔ)，作為新知識、新思路、新方法的生長點. 這正如波利亞所言，抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使它們看得見、摸得著，即在理解抽象的數(shù)學(xué)知識時，要通過回歸這一策略來實現(xiàn)從具體到抽象的升華. 我國著名數(shù)學(xué)家李大潛院士特別指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓抽象成為一種意識，讓探究成為一種習(xí)慣，讓回歸成為一種理念. 這不僅指明了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)——抽象，而且進(jìn)一步指明了達(dá)到這一目標(biāo)的途徑與方法——探究和回歸. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要善于充分利用圖形所具有的幾何直觀，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)對象簡明化，而且要善于恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造數(shù)學(xué)問題的現(xiàn)實情境，將抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系具體化，還要善于通過直觀調(diào)動學(xué)生的直覺思維以獲得數(shù)學(xué)猜想，通過數(shù)形結(jié)合方法實現(xiàn)抽象與具體之間的轉(zhuǎn)變.

例如，在講授教材上的“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性”這一內(nèi)容時，教師播放“夜間汽車在山坡上行駛”的動畫，并提問學(xué)生：如何根據(jù)汽車的燈光來判定汽車究竟是在上坡還是下坡？這種生活化問題情境，瞬時激起了學(xué)生強烈的探究欲望，為學(xué)生深入理解運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性奠定了良好的生活基礎(chǔ)，讓學(xué)生通過將山坡抽象為一條曲線，將汽車抽象為曲線上的動點，將汽車的燈光抽象為過曲線上動點的切線而很快地發(fā)現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系.

3. 回歸可以為新知識找到生長點

眾所周知，高度的抽象性一直被認(rèn)為是數(shù)學(xué)的重要特點，但現(xiàn)在已經(jīng)逐漸演變?yōu)閿?shù)學(xué)難學(xué)的代名詞. 數(shù)學(xué)固然抽象，但再抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論總能找到相對直觀的表征和解釋. 學(xué)生之所以覺得數(shù)學(xué)抽象，最關(guān)鍵的是教師沒有為學(xué)生找到新知識賴以產(chǎn)生的源頭，這樣，新知識就很難從已有知識的基礎(chǔ)上自然而然地生長出來，于是很多教師只能把知識從外部硬塞到學(xué)生頭腦中. 由于新知識缺乏理解基礎(chǔ)，學(xué)生自然會覺得新知識抽象.

例如，在教學(xué)教材上的“直線與平面平行的判定定理”這一內(nèi)容時，很多教師只會告訴學(xué)生如果平面外的一條直線與該平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線就與該平面平行，但不會給學(xué)生解釋為什么要在平面內(nèi)找這樣的平行線. 由于不能真正理解知識的發(fā)生、發(fā)展過程，導(dǎo)致學(xué)生只能死記硬背知識點. 事實上，如果從回歸的觀點來看，線面平行的認(rèn)知基礎(chǔ)是線線平行，注意到這一點，就比較容易理解為什么要在平面內(nèi)找已知直線的平行線. 因為，兩條直線平行的實質(zhì)是將一條直線平移以后能與另外一條直線重合，類比到直線與平面的平行，就是將直線適當(dāng)平移以后一定能夠落在該平面內(nèi)，換種說法就是在平面內(nèi)存在一條直線與已知直線平行.

像這樣，在教學(xué)時如果能讓學(xué)生充分回歸到新知識產(chǎn)生的認(rèn)知起點，并讓新知識在教師的循循善誘下從認(rèn)知起點自然而然地生長出來，那么學(xué)生就不會覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難，也不會覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)枯燥無味. 杜威指出，有時思想的紛繁相續(xù)，常常會使思考者離開出發(fā)點十分遙遠(yuǎn)，以致不能回溯到出發(fā)點，但細(xì)究起來，總是有一個直接經(jīng)驗的情境在背后，是你所施的、所受的、所享的、所忍的，而決不單是所想的. 思維即為此情境而起. 這里的情境就是知識的生長點，讓思維回歸到知識的生長點，不僅可以使這一知識更好地固定在已經(jīng)熟悉的知識點上，加強與已有知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，縮短與已有知識點之間的聯(lián)系路徑，減少信息提取的時間，有助于知識更好地被保持，還可以豐富由知識生長點所構(gòu)成的概念網(wǎng)絡(luò)，建立更為豐富的意義家族相似網(wǎng)絡(luò)，從而達(dá)到深化理解之目的. 它可以避免由于思維序列過長或思維層次比較復(fù)雜而導(dǎo)致的思維困難. 問渠那得清如許？為有源頭活水來. 總之，只有真正找準(zhǔn)學(xué)生的思維之源，才能充分激發(fā)學(xué)生的思維、激活學(xué)生的思路，才能在教師的精心啟發(fā)下，讓學(xué)生迸發(fā)出無窮的創(chuàng)造力.

4. 回歸可以促進(jìn)知識的深度理解

眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人常有這樣的體會，有時候遇到一個難題苦思冥想總是不得要領(lǐng)，但當(dāng)我們跳出這個問題回歸到這個問題產(chǎn)生的源頭時卻會豁然開朗. 之所以會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，是因為：一方面，問題的源頭盡管比較簡單，但卻蘊含了理解新知識的鑰匙和解決復(fù)雜問題所需要的基本思想方法;另一方面，問題的源頭可以讓解題者去除遮蔽、返璞歸真，真正把握問題的本質(zhì)，促進(jìn)深度理解. 斯萊爾馬赫認(rèn)為，只有返回到思想產(chǎn)生的根源，這些思想才可能得到真正的理解. 人工智能理論認(rèn)為，深度學(xué)習(xí)是通過組合低層特征形成更加抽象的高層特征的過程. 這說明，要深度理解抽象的數(shù)學(xué)知識必須先回歸到這些知識產(chǎn)生的源頭.

例如，很多高中生在剛學(xué)習(xí)函數(shù)的對應(yīng)定義時經(jīng)常有這樣的困惑：既然初中已經(jīng)學(xué)過函數(shù)，為什么高中還要再學(xué)？初、高中函數(shù)定義之間到底存在什么區(qū)別與聯(lián)系？如果學(xué)生不能真正弄清這些問題，那么他們不僅很難真正理解高中函數(shù)概念的本質(zhì)，而且還常常會混淆初、高中函數(shù)定義. 而解決這一問題的有效策略是采用HPM教學(xué)法，讓學(xué)生充分回歸函數(shù)概念的起源與發(fā)展歷史，讓學(xué)生認(rèn)識到初中函數(shù)定義存在不完善之處，如變量的變化范圍不明確、缺乏嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號語言等，而高中函數(shù)定義正是為了解決初中函數(shù)定義的不完善之處而引入的，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步認(rèn)識到初中函數(shù)定義與高中函數(shù)定義之間的區(qū)別與聯(lián)系（見下表），避免初中函數(shù)定義對高中函數(shù)定義的負(fù)遷移，從而讓學(xué)生真正認(rèn)識到高中函數(shù)定義由于建立在集合理論基礎(chǔ)上而變得嚴(yán)格這一數(shù)學(xué)本質(zhì).

5. 回歸也是一種重要的解題策略

眾所周知，解決問題時既可以從已知出發(fā)向目標(biāo)前進(jìn)，也可以反其道而行之，從要達(dá)到的目標(biāo)出發(fā)，思考達(dá)到目標(biāo)應(yīng)具備什么條件，已知條件是否支持這些條件？這種思想方法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用十分普遍，我們在數(shù)學(xué)解題中常用的分析法、倒推法、以退為進(jìn)法、特殊化法等本質(zhì)上就是一種回歸方法. 著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)指出，要善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅. 又說，先足夠地退到我們最容易看清楚的地方，認(rèn)透了，鉆深了，然后由此向前推進(jìn). 這充分說明回歸思想在數(shù)學(xué)解題中的重要性.

例如，在解決“已知正數(shù)[a，b，c]滿足[5c-3a≤][b≤4c-a]，[clnb≥a+clnc]，則[ba]的取值范圍? ? ? ”（2012年江蘇卷理科第14題）這道題時，如果采用回歸方法，通過作變量代換[bc=x]，[ac=y]，將已知條件中的字母[c]消去，并將原問題轉(zhuǎn)化為“已知[x，y]均為正數(shù)，且滿足[5-3y≤][x≤4-y]，[lnx≥y]，求[xy]的取值范圍”這樣一個常規(guī)問題，則不僅可以促進(jìn)學(xué)生深刻把握問題本質(zhì)，而且可以幫助學(xué)生迅速找到解決問題的思路與方法.

三、回歸的常見類型

1. 回歸定義

這是一些有經(jīng)驗的教師經(jīng)常采用的一種教學(xué)策略，這種策略運用得恰到好處可以產(chǎn)生柳暗花明之效果. 美國著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育學(xué)家波利亞在總結(jié)“回到定義”這一數(shù)學(xué)經(jīng)驗時說道，回到定義去是一項重要的思維活動. 如果我們想明白為什么用文字表達(dá)的定義是如此重要，我們就應(yīng)該先認(rèn)識到文字是很重要的. 要是不使用文字、標(biāo)記或某種符號，我們就幾乎不能應(yīng)用我們的思維. 通過回到定義去，數(shù)學(xué)家尋求掌握隱藏在專業(yè)術(shù)語背后的數(shù)學(xué)對象間的真正聯(lián)系. 盡管許多教師平時也經(jīng)常使用這一教學(xué)策略，但可能僅僅停留于經(jīng)驗層面，然而如果能夠真正認(rèn)識到這一策略的本質(zhì)卻可以更加自覺、更加理性地運用它. 因為“回到定義”可以讓解題者回到知識的生長點，可以從知識的生長點去更深刻地理解問題的本質(zhì)并找到解決問題的思路與方法. 回歸定義既是一種最基本的辦法，也是一種沒有辦法時的辦法. 如果在解題時，實在沒有其他辦法可用了，那么嘗試一下回歸定義，也許可以豁然開朗.

例如，（1）如圖1，分別以[△ABC]的邊[AB，AC]為邊向外作正方形[ABDE]和正方形[ACFG]，連接[EG]，試判斷[△ABC]與[△AEG]之間的關(guān)系，并說明理由.

（2）園林小路，曲徑通幽，如圖2，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石鋪成. 已知中間的所有正方形的面積之和是[a]平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是[b]平方米，這條小路一共占地多少平方米？

對于剛學(xué)習(xí)全等三角形證明的學(xué)生來說，第（1）小題的困難是可想而知的，因為它不僅需要學(xué)生從直觀上猜想[S△ABC=S△AEG]，而且還需要采用非常規(guī)的方法證明這兩個三角形面積相等. 許多學(xué)生盡管能夠猜想出[S△ABC=S△AEG]，但卻不知道如何去證明這一結(jié)論. 這時，回歸定義的“威力”就顯現(xiàn)出來了，因為要證明這兩個三角形面積相等，首先需要將這兩個三角形的面積表示出來，而要表示就需要用到三角形面積的定義. 當(dāng)然，在運用定義的過程中需要具有一定的靈活性，許多學(xué)生一開始會受圖形條件的干擾去作線段[BC]和[EG]的高，但最后卻無功而返，因為既無法證明[BC=EG]，也無法證明其邊上的高相等. 這就需要結(jié)合具體圖形靈活運用回歸定義方法. 事實上，只要注意到[△ABC]與[△AEG]有一條邊相等（[AC=AG]），就容易想到分別作[AC，AG]邊上的高[BQ，EP]，然后再證明[BQ=EP]，如圖3所示.

至于第（2）小題的求解，可以通過回歸第（1）小題而獲得解決.

需要注意的是，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多學(xué)生常常會因為枯燥無味、考試不考而忽視定義的價值. 其實，在思路的探求、方法的產(chǎn)生及問題的轉(zhuǎn)化等方面，定義有著其他方法無法取代的作用. 因此，在實際教學(xué)中，教師要牢牢抓住定義并引導(dǎo)學(xué)生及時回歸定義，這樣既能幫助學(xué)生鞏固所學(xué)，又能充分激發(fā)學(xué)生的思維，促進(jìn)數(shù)學(xué)問題的順利解決.

2. 回歸原型

心理學(xué)認(rèn)為，原型（Prototype）不是某一個特定對象的內(nèi)部復(fù)本，而是一類客體的內(nèi)部表征，它反映一類客體具有的基本特征，原型的最大特點是它能較其他樣例更容易發(fā)現(xiàn)這類模式的本質(zhì)特征. 事實上，無論一個問題多么復(fù)雜，它都是簡單問題通過多次變式以后得到的，我們總可以從中找到構(gòu)成復(fù)雜問題的基本要素——原型. 數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本活動經(jīng)驗及基本思想方法中有很多都可以作為解決復(fù)雜問題的原型，如勾股定理是余弦定理、兩點間的距離公式、點到直線的距離公式等諸多數(shù)學(xué)公式的原型;拋硬幣、擲骰子的經(jīng)驗是理解許多概率問題的基礎(chǔ)——活動經(jīng)驗原型;化歸方法、數(shù)形結(jié)合思想方法是解決許多數(shù)學(xué)問題的方法原型. 因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)該善于識別復(fù)雜問題中的原型，并及時將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為基本問題——原型，然后再從基本問題（原型）中找到解決復(fù)雜問題的思路與方法.

例如，對于題目“在[△ABC]中，已知[∠ACB=90°]，[AC=2，BC=23，E，F(xiàn)]是邊[AB]上異于[A，B]的兩點，[EF=1]，如圖4所示. 求[CE · CF]的范圍”，如果采用常規(guī)方法（建立平面直角坐標(biāo)系）求解，費時費力. 但是如果解題者知道極化恒等式[a · b=14a+b2-a-b2]這一原型，那么求解就變得非常容易. 事實上，令[M]為[EF]的中點，則有[CE · CF=14CE+CF2-CE-CF2=][142CM2-EF2=CM2-14]. 這樣，只需要求出[CM2]的取值范圍即可.

極化恒等式不僅在解決很多數(shù)學(xué)問題時非常有效，而且在數(shù)學(xué)發(fā)展史上也有重要地位. 在對數(shù)產(chǎn)生以前，人們?yōu)榱私鉀Q生產(chǎn)實際中出現(xiàn)的大量計算問題，常常利用極化恒等式將兩個大數(shù)的乘積先表示為這兩個數(shù)的平方和與這兩個數(shù)的平方差之差的四分之一，然后再通過查平方表進(jìn)行計算. 在近幾年的高考試題中，也經(jīng)常會見到極化恒等式的影子.

例如，對于下面兩道高考試題，如果采用極化恒等式解題就非常簡便.

（2010年福建卷文科第11題）若點[O]和點[F]分別為橢圓[x24+y23=1]的中心和左焦點，點[P]為橢圓上的任意一點，則[OP · FP]的最大值為（? ? ）.

（A）2? ? （B）3? ? ?（C）6? ? ?（D）8

（2017年全國Ⅱ卷理科第12題）已知[△ABC]是邊長為2的等邊三角形，[P]為平面[ABC]內(nèi)一點，則[PA · PB+PC]的最小值是（? ? ）.

（A）-2? ?（B）[-32]? ?（C）[-43]? ?（D）-1

3. 回到核心觀點和核心概念

約翰·D.布蘭思福特和安·L.布朗等人在研究中發(fā)現(xiàn)，專家的知識不僅僅是對相關(guān)領(lǐng)域的事實和公式的簡單羅列，相反它是圍繞核心概念或“大觀點”（big idea）來組織的，這些概念和觀點引導(dǎo)他們?nèi)ニ伎甲约旱念I(lǐng)域. 根據(jù)這一研究，他提出教學(xué)要圍繞“大概念”或“大觀點”來聯(lián)系和組織……有效的學(xué)習(xí)要求教師必須了解他們所教學(xué)科的結(jié)構(gòu)（貫穿于其中的思想），并以此作為認(rèn)知路標(biāo)來指導(dǎo)學(xué)生的作業(yè)，來評價學(xué)生的進(jìn)步. 這一研究結(jié)果與上面所提到的回歸性策略不謀而合，回歸的目的是回到知識產(chǎn)生的生長點，并從此出發(fā)產(chǎn)生和發(fā)現(xiàn)新的知識. 而核心概念和“大觀點”正是新知識得以產(chǎn)生的重要生長點，回歸到核心概念或“大觀點”是為了更好地促進(jìn)知識的發(fā)生和生長.

下面以“一元微積分”的教學(xué)為例來具體說明如何圍繞核心概念或“大觀點”來建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系，如圖5所示.

①→②，極限概念起源于函數(shù)概念，它研究的是函數(shù)的自變量在一個無限變化過程中因變量變化的趨勢，屬于函數(shù)性質(zhì)方面的內(nèi)容.

②→①，從極限返回研究函數(shù). 一方面，可以借助極限定義的概念——連續(xù)來對函數(shù)進(jìn)行重新分類，即把函數(shù)分成連續(xù)函數(shù)與非連續(xù)函數(shù);另一方面，可以利用極限更加深入地研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，如通過研究函數(shù)圖象的漸近線可以更好地了解函數(shù)圖象無限伸展的趨勢.

②→③④，既是極限概念的進(jìn)一步深化與應(yīng)用，也是函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步拓廣.

③→①，利用導(dǎo)數(shù)返回研究函數(shù). 這不僅可以更好地了解函數(shù)的本質(zhì)，如可以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點、拐點、漸近線，求曲線的切線和法線等，而且可以更好地了解函數(shù)圖象的性態(tài)，如可導(dǎo)函數(shù)在作圖時只要用平滑的曲線把有限個點連接起來就可以基本反映圖象的大體形狀.

③→②，利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的極限，如利用洛必達(dá)法則求不定式極限，利用泰勒公式求極限等，這讓極限計算如虎添翼.

③→④，主要解決如何求一個函數(shù)原函數(shù)的問題，它是導(dǎo)數(shù)運算的逆運算.

④→①，利用積分返回研究函數(shù)，可以進(jìn)一步深化對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識，如可以求封閉曲線所圍圖形的面積、可以討論函數(shù)的可積性等，而變上限函數(shù)的出現(xiàn)則進(jìn)一步開闊了我們對函數(shù)的認(rèn)識.

④→②，由定積分可以研究函數(shù)的極限，如用定積分定義求數(shù)列極限等.

④→③，不僅可以更好地認(rèn)識導(dǎo)數(shù)與積分之間的關(guān)系，而且利用導(dǎo)數(shù)可以更好地解決定積分的計算問題. 利用變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)推得的牛頓-萊布尼茲公式不僅把定積分與不定積分有機聯(lián)系起來，而且簡化了定積分的計算.

由圖5可以看出，一方面，一元函數(shù)微積分學(xué)的7個基本概念——函數(shù)、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分、定積分（函數(shù)概念除外）都可以從函數(shù)這一核心概念生成，如導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量比極限，定積分是函數(shù)積分和極限等;另一方面，通過回歸式教學(xué)又可以對函數(shù)進(jìn)行分類，可以研究函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性、最值、極值等各種性質(zhì)，從而促進(jìn)對函數(shù)的深度理解. 這樣，上面的7個基本概念（函數(shù)概念除外）都可以統(tǒng)一在函數(shù)這一核心概念之下，一元微積分學(xué)最終歸結(jié)為利用極限研究一元函數(shù)的學(xué)問.

4. 回歸生活

數(shù)學(xué)來自生活，生活中處處包含著數(shù)學(xué). 著名教育家陶行知先生曾說過，生活教育是給生活以教育，用生活來教育，為生活的向上、向前的需要而教育. 數(shù)學(xué)存在于我們生活的方方面面，在平時，教師應(yīng)處處留心生活情境，觀察生活事實，挖掘潛藏在生活現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)知識，并將其帶入數(shù)學(xué)課堂.

生活點滴不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)的助力點，也是教師創(chuàng)設(shè)生活情境的借力點. 隨著課程改革的逐步實施，“滿堂灌”在數(shù)學(xué)課堂中日漸式微，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂更強調(diào)學(xué)生的自主探索，而這需要教師創(chuàng)設(shè)具有豐富生活背景的數(shù)學(xué)情境來引發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題，進(jìn)而分析與解決問題. 因此，教師應(yīng)注重觀察生活點滴、積累生活經(jīng)驗，在數(shù)學(xué)教學(xué)中以生活原型為背景，讓學(xué)生充分回歸生活，在生活中“找”數(shù)學(xué)，“想”數(shù)學(xué). 例如，有的教師在講授“確定圓的條件”這一內(nèi)容時就針對學(xué)生畫圓不完整這一普遍現(xiàn)象創(chuàng)設(shè)了這樣一種教學(xué)情境：教師在黑板上畫圓時由于不小心手抖了一下，圓心找不到了，怎樣才能把剩下的部分畫完？然后自然而然想到在已有的圓弧上取一點、兩點直至三點才能確定圓心. 學(xué)生十分熟悉這一情境，不僅容易引起學(xué)生的共鳴，而且能充分激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

四、回歸的基本途徑

1. 善于進(jìn)行新、舊聯(lián)想

回歸，是一個尋找并識別新知識的認(rèn)知起點的過程. 因此，進(jìn)行回歸時要先努力尋求所學(xué)的新知識或面臨的新問題與學(xué)習(xí)者頭腦中已有知識之間的聯(lián)系，然后思考是否可以利用已有知識來表征或解釋這些新知識或新問題. 在這方面，波利亞曾經(jīng)提出了許多好的策略，他指出，遇到一個新問題時，首先要思考：這是什么類型的問題？你以前見過它嗎？它與某個已知的問題有關(guān)嗎？它像某個已知問題嗎？你見過同樣的題目以一種不同的形式出現(xiàn)嗎？你見過一個類似的問題嗎？你見過一個條件類似、結(jié)論類似、圖形類似或方法類似的問題嗎？你見過一個更特殊的問題嗎？你見過一個更一般的問題嗎？例如，在教學(xué)“簡單的線性規(guī)劃”這一新知識時，教師就可以將其與“二元一次不等式（組）與平面區(qū)域”“一元函數(shù)的最值問題”“特殊二元函數(shù)的最值問題”“向量的數(shù)量積”等諸多知識建立聯(lián)系.

2. 準(zhǔn)確識別認(rèn)知起點

奧蘇貝爾在其名著《教育心理學(xué)——認(rèn)知觀點》的扉頁上這樣寫道：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么. 要探明這一點，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué).”這說明，只有準(zhǔn)確地把握認(rèn)知起點，才能為新知識的學(xué)習(xí)找到生長點和固著點，才能更好地認(rèn)識新知識的本質(zhì)，新知識才能學(xué)得深、記得牢.

例如，在解決“求[z=2x+3y]的最大值，使[x，y]滿足約束條件[x+2y≤8，x≤4，y≤3，x≥0，y≥0]”這一問題時，如果將“一元函數(shù)的最值問題”或“特殊二元函數(shù)的最值問題”作為認(rèn)知起點，就不僅可以使學(xué)生更加深刻地認(rèn)識到該問題是“求二元函數(shù)最值問題”這一實質(zhì)，而且可以從學(xué)生熟悉的知識入手，通過類比自然而然找到解決問題的方法.

3. 巧用啟發(fā)理解新知

回歸不是目的，而是為了更好地前進(jìn). 找到了新知識的認(rèn)知起點和新、舊知識之間的聯(lián)系僅完成了回歸的第一步，只有把認(rèn)知起點作為新知識的生長點或新思想的生發(fā)點，并靈活運用各種啟發(fā)策略讓學(xué)生從這些認(rèn)知起點出發(fā)生成新知識、新思想、新方法，才算真正達(dá)到了回歸的目的.

例如，在解決問題時，教師可以這樣啟發(fā)學(xué)生：我們以前有沒有遇到過這類問題？如果學(xué)生回答“沒有”，教師就可以進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生：我們以前有沒有遇到過類似問題？提出這一問題的目的是引導(dǎo)學(xué)生回憶過去所學(xué)過的特殊二元函數(shù)的最值問題（如“已知函數(shù)[x，y]滿足等式[x-22+y2=3]，求[yx]的最大值”等），如果學(xué)生能夠回憶起以前所學(xué)過的特殊二元函數(shù)的最值問題，教師就可以進(jìn)一步追問學(xué)生：我們當(dāng)時是怎么解決這一問題的？其中的數(shù)學(xué)思想方法是什么？提出這兩個問題的目的：一是讓學(xué)生認(rèn)識到解決這一問題的關(guān)鍵是找到目標(biāo)函數(shù)[yx]的幾何意義，并把它轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題;二是為即將解決的線性規(guī)劃問題找到類比對象和新方法的生長點. 當(dāng)學(xué)生把這些問題弄清楚以后，教師可以順勢提問學(xué)生：這與我們現(xiàn)在要求的問題有什么關(guān)系？你能從中獲得什么啟發(fā)？提出這兩個問題的目的：一方面，要讓學(xué)生認(rèn)識到這兩類問題之間具有特殊與一般的關(guān)系，并啟發(fā)學(xué)生類比舊問題解決新問題;另一方面，希望將學(xué)生的思維導(dǎo)向求二元函數(shù)最值問題的關(guān)鍵——找出目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，并將二元函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問題. 如果學(xué)生能認(rèn)識到這一點，教師就可以很自然地提出“你能說出表達(dá)式[2x+3y]的幾何意義嗎？”“看到[2x+3y]，你能聯(lián)想到什么？”等問題，通過這樣的啟發(fā)讓學(xué)生自然地將[2x+3y]與兩個向量[x，y]，[2，3]的數(shù)量積聯(lián)系起來，進(jìn)而認(rèn)識到表達(dá)式[2x+3y]的幾何意義就是動向量[x，y]在定向量[2，3]上的投影與定向量[2，3]的長度的乘積，從而將求目標(biāo)函數(shù)[z=2x+3y]這一二元函數(shù)的最值問題成功轉(zhuǎn)化為求動向量[x，y]在定向量[2，3]上的投影這一一元函數(shù)的最值問題.

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