李昌官

(浙江省臺州市教育局教研室 318000)

雖然人們普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)是思維的體操，但數(shù)學(xué)作為“思維體操”的功能并沒有得到充分利用．這主要緣于數(shù)學(xué)教學(xué)存在如下三方面的缺陷：一是重知識技能而輕數(shù)學(xué)思維；二是重思維結(jié)果而輕思維過程；三是思維指導(dǎo)不到位、不給力，學(xué)生思維難以“開竅”．

1 何為思維之道

思維有“道”，這是毫無疑問的．這里的“思維之道”，一是指思維的原理與規(guī)律；二是指思維的緣由與依據(jù)；三是指思維的策略與方法；四是指思維的路徑與節(jié)點(diǎn)．

2 為何要強(qiáng)化思維之道教學(xué)

蘇霍姆林斯基(В.А.Сухомлинский，1918-1970)指出：“如果一個人在童年時期還能勝任腦力勞動并且從中感到樂趣，而到了少年時期，學(xué)習(xí)對他來說卻變成了痛苦的負(fù)擔(dān)，那么這正是由于沒有借助抽象思維發(fā)展他的頭腦所造成的可悲后果．兒童的智力才能到了少年時期好像在慢慢黯淡下來和趨向遲鈍，這是十分令人擔(dān)憂的．”[1]杜威(John Dewey，1859-1952)也指出：“思維需要細(xì)心而周到的教育的指導(dǎo)，才能充分地實(shí)現(xiàn)其機(jī)能．不僅如此，思維還可能沿著錯誤的途徑，導(dǎo)引出虛假的和有害的信念．思維系統(tǒng)的訓(xùn)練之所以必要，不僅在于擔(dān)心思維有缺乏發(fā)展的危險，更為重要的是擔(dān)心思維的錯誤的發(fā)展．”“學(xué)習(xí)就是要學(xué)會思維”，“教育在理智方面的任務(wù)是形成清醒的、細(xì)心的、透徹的思維習(xí)慣．”[2]數(shù)學(xué)思維之道是學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)會思考、學(xué)會創(chuàng)造的關(guān)鍵；教好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵在于“示以學(xué)生思維之道”[3]；揭示思維之道、強(qiáng)化思維之道教學(xué)是發(fā)展學(xué)生思維最根本的途徑與方式．

3 如何強(qiáng)化思維之道教學(xué)

3.1 揭示思維的原理與規(guī)律

思維是有規(guī)律的，認(rèn)識和把握思維的一般規(guī)律對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要．先宏觀后微觀、先直覺后邏輯、先定性后定量、先特殊后一般、先形后數(shù)、先殘缺后全面、先合情推理后演繹推理、先歸納事實(shí)后建構(gòu)理論體系，等等，都是十分常用而一般的數(shù)學(xué)思維規(guī)律．以“先宏觀后微觀”為例，無論是對幾何體的認(rèn)識，還是對人或其他事物的認(rèn)識，人們通常都是先有一個總體的、大致的認(rèn)識，再在總體的“指引”下深入地認(rèn)識各個局部．正如克伯屈(William Hurd Cobbler，1871—1965)所說：“人們不是先得到爪子、腿、軀體、尾巴和頭的各自概念，然后拼湊起來形成狗的概念一樣，而是相反．”[4]因為在認(rèn)識一個新的事物之初，“如果你深入到細(xì)節(jié)中去，你就可能在細(xì)節(jié)中迷失自我．過多過細(xì)的枝節(jié)對思維是一種負(fù)擔(dān)．它們會阻礙你對要點(diǎn)投入足夠的注意力，甚至?xí)鼓闳豢床坏揭c(diǎn)．”[5]

案例1平面向量的基本定理教學(xué)

平面向量的基本定理教學(xué)需要經(jīng)歷提出問題、猜想結(jié)論、完善結(jié)論、證明結(jié)論、運(yùn)用定理的過程．教學(xué)時，讓學(xué)生認(rèn)識到同一平面內(nèi)的向量(如圖1)是充滿聯(lián)系的，然后再探究這種聯(lián)系，是先宏觀后微觀．受力的分解啟發(fā)，猜測一個向量可以用不共線的兩個向量來表示(如圖1、圖2)，然后基于向量的平行四邊形法則得到圖3，是先直覺后邏輯．在確認(rèn)任一個向量a可用兩個不共線的向量e1,e2來表示的基礎(chǔ)上，找出具體的量λ1,λ2，把它們的關(guān)系表示為a=λ1e1+λ2e2，是先定性后定量．通過觀察圖3得到a=λ1e1+λ2e2，是先形后數(shù)．發(fā)現(xiàn)只考慮圖1或圖2的情形是不完善的，還應(yīng)考慮a是與e1或e2共線的非零向量以及a是零向量兩種情形，是從殘缺到全面．從平面向量的基本定理到向量的正交分解和坐標(biāo)表示，再到向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，是從歸納事實(shí)到構(gòu)建理論體系．

圖1

圖2

圖3

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)通過具體事例，不斷地揭示思維的基本規(guī)律，深化學(xué)生對思維的基本規(guī)律的認(rèn)識，進(jìn)而自覺地、主動地運(yùn)用思維的基本規(guī)律思考、解決問題．

3.2 揭示思維的緣由與依據(jù)

學(xué)生在問題解決中面臨的最大問題與困難往往是不會想、想不到，因此指導(dǎo)和幫助學(xué)生會想、能想到是教師工作的核心任務(wù)，而揭示思維的緣由與依據(jù)是指導(dǎo)和促進(jìn)學(xué)生會想、能想到的最重要的途徑與方式．因為思維的中心因素是“一種事物指示或預(yù)示另外一種事物，這種功能引導(dǎo)我們?nèi)ニ伎家环N事物在多大程度上可以看做另一事物的根據(jù)”[6]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)揭示思維的緣由與依據(jù)，幫助學(xué)生搞清楚一事物是怎樣指示或預(yù)示另一事物的，從而促進(jìn)學(xué)生“形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神”[7]．

案例2已知點(diǎn)A，B是拋物線y2=4x上2個不同的點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且OA⊥OB.

(Ⅰ)求證：直線AB過定點(diǎn)；

(Ⅱ)求點(diǎn)O到直線AB距離的最大值.

為了凸顯一個事物如何指示或預(yù)示另一個事物，作如下分析：

(1)問題的目標(biāo)預(yù)示著思維的目標(biāo)與方向，因此我們應(yīng)圍繞證明直線AB過定點(diǎn)展開思考．

(2)從問題的情境看，這是解析幾何問題，因此宜用坐標(biāo)法求解，即應(yīng)通過建立直線AB的方程來證明直線AB過定點(diǎn)．

(3)由于過定點(diǎn)的直線的方程含有1個參數(shù)，因此需要導(dǎo)出只含1個參數(shù)的直線AB的方程．

(6)由于有(Ⅰ)的結(jié)論作為基礎(chǔ)，由“垂線段最短”知，問題(Ⅱ)中的最大值即為原點(diǎn)O到直線上的定點(diǎn)的距離．

(7)如果沒有問題(Ⅰ)作鋪墊，問題(Ⅱ)可視為以解析幾何為背景的函數(shù)問題．由于高中所學(xué)的函數(shù)都是單變量函數(shù)，因此直線AB的方程宜含1個參數(shù)．利用點(diǎn)到直線的距離公式，可把點(diǎn)O到直線AB的距離用這個參數(shù)的表達(dá)式來表示，進(jìn)而求出距離的最大值．

問題解決思路、方法的尋找與探究往往依賴經(jīng)驗和直覺．我們應(yīng)努力追尋事物之間的聯(lián)系，追尋一個事物指示或預(yù)示另一事物的因素，追尋直覺背后的邏輯和引領(lǐng)邏輯的直覺[8]，從而使自己的思維更好地建立在證據(jù)和邏輯的基礎(chǔ)上．

3.3 揭示思維的策略與方法

“工欲善其事，必先利其器．”數(shù)學(xué)思維策略與方法就是數(shù)學(xué)思維與問題解決的“器”．?dāng)?shù)學(xué)思維的策略與方法有很多，如，從數(shù)學(xué)概念的定義入手、從條件與結(jié)論之間的差異入手、從事物產(chǎn)生的源頭入手、從事物的構(gòu)成要素入手、從問題中的關(guān)鍵因素入手、以退求進(jìn)、以簡馭繁、正難則反、特殊化與一般化、映射化歸，等等．

案例3一組多變量問題

(1)(2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第13題)在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為________.

(2)(2018年高考理科數(shù)學(xué)北京卷第7題)在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P(cosθ，sinθ)到直線x-my-2=0的距離，當(dāng)θ，m變化時，d的最大值為

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(3)(2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第14題)已知集合A={x|x=2n-1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}，將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列{an}，記Sn為數(shù)列的前n項和，則使得Sn>12an+1成立的n的最小值為________.

(4)(2013年高考理科數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷第21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

(Ⅰ)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)當(dāng)m≤2時，證明f(x)>0．

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

思維策略與方法教學(xué)的關(guān)鍵在于把握其實(shí)質(zhì)與靈魂，結(jié)合具體事例把它們用活、用好，進(jìn)而運(yùn)用它們解決更多、更一般的問題．

3.4 揭示思維的路徑與節(jié)點(diǎn)

“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢．”當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)和問題解決“走一步算一步”、缺乏整體規(guī)則和安排的現(xiàn)象比較嚴(yán)重，這不僅造成了學(xué)生的學(xué)習(xí)只能跟著教師亦步亦趨，而且也不利于他們思維的發(fā)展．就單元教學(xué)而言，應(yīng)突出和強(qiáng)化思維和問題解決的基本路徑教學(xué)，揭示數(shù)學(xué)發(fā)展的基本線索與基本步驟．如，研究集合、向量、概率、復(fù)數(shù)等可運(yùn)算的數(shù)學(xué)對象的基本路徑通常是現(xiàn)實(shí)背景—運(yùn)算對象—對象間的關(guān)系—運(yùn)算法則—運(yùn)算律—應(yīng)用；研究幾何對象的基本路徑通常是背景—概念—表征—性質(zhì)—判定—應(yīng)用—推廣．

案例4集合教學(xué)

高中集合教學(xué)主要包括三方面的內(nèi)容：集合的概念、集合的基本關(guān)系、集合的基本運(yùn)算．提出研究集合問題、建構(gòu)集合概念時，就應(yīng)意識到這不僅是為了刻畫具有某種“類”的性質(zhì)的全體，也是為了從數(shù)學(xué)角度研究它們，或者說對它們進(jìn)行運(yùn)算．建構(gòu)集合概念時，應(yīng)意識到集合元素的“確定性、互異性、無序性”是為確定集合間的關(guān)系、對集合進(jìn)行運(yùn)算服務(wù)的．沒有集合元素的確定性，判定集合間的關(guān)系、進(jìn)行集合運(yùn)算就無從談起；沒有集合元素的互異性與無序性，集合的表示方式、集合之間的關(guān)系、集合的運(yùn)算法則將發(fā)生極不合理的變化，甚至無從談起．反之，集合運(yùn)算是集合的概念、集合間的基本關(guān)系邏輯發(fā)展的必然；沒有集合運(yùn)算，前面這些研究將失去其最重要的意義與價值．

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅應(yīng)讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識發(fā)展的基本路徑、基本環(huán)節(jié)，還應(yīng)讓他們感受和體會知識發(fā)展的內(nèi)在邏輯以及各環(huán)節(jié)的相互聯(lián)系、相互影響等；應(yīng)通過具體事例讓學(xué)生在真實(shí)的情境中體會和認(rèn)識到：思維應(yīng)“不止于觀念的‘連續(xù)’(sequence)，而要求它連續(xù)的結(jié)果(consequence)——它是一個持續(xù)的、有步驟的過程．前一步?jīng)Q定后一步的結(jié)果，后一步參照前一步的成因；一步一步，相因而發(fā)生，相輔而成立……各個單位，這樣互相連貫，持續(xù)地向著一個共同的目的前進(jìn)．”[9]

就數(shù)學(xué)解題而言，應(yīng)盡量在具體操作之前搞清楚解題的主導(dǎo)思想，做到“三思而后行”，而不是像“玻璃罩里的蒼蠅盲目亂撞”．我們應(yīng)牢記波利亞的教誨：數(shù)學(xué)也許往往像是猜想游戲，在你證明一個定理之前，你必須猜想到這個定理，在你搞清楚證明細(xì)節(jié)之前，你必須先猜想出證明的主導(dǎo)思想．[10]事實(shí)上，前面的案例2、案例3就是在猜想解題的主導(dǎo)思想、搞清楚解題的基本思路與方法．

3.5 示范真實(shí)的思維過程

“在我們教給學(xué)生更傳統(tǒng)、更正式的演繹和證明的方式之前，培養(yǎng)他們對材料的直覺理解才是首要任務(wù)．”“如果學(xué)生從來沒有見過他們的長輩們有效地使用直覺思維，那么他們幾乎不可能或沒有信心來培養(yǎng)自己的直覺思維．對于學(xué)生提出的問題，那些愿意猜測答案然后讓學(xué)生來批判分析的教師，比預(yù)先為學(xué)生分析好一切的教師更容易培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維習(xí)慣．”[11]因此教師展示自己真實(shí)的思維過程，談自己看到題目時的第一感覺或直觀感覺，示范面對思維障礙時如何突破、拐彎，對學(xué)生來說非常重要．

案例5已知E，F(xiàn)分別是四面體的棱AB，CD的中點(diǎn)，過EF的平面與棱AD，BC分別相交于G，H，則

障礙一及其突破：對于GH與EF的關(guān)系，也許我們開始時局限于平面PEF內(nèi)思考而一無所獲．由E，F(xiàn)分別是四面體的棱AB，CD的中點(diǎn)，覺察、猜測思維的突破方向是把平面問題轉(zhuǎn)化為空間問題來解決．分別取AC，BD的中點(diǎn)M，N(如圖4)，不難發(fā)現(xiàn)四邊形EMFN是平行四邊形，AD∥平面EMFN，BC∥平面EMFN，且AD，BC到平面EMFN的距離相等．又EF與GH的交點(diǎn)O既在平面EMFN與平面PEF的交線EF上，也在平面AHD與平面EMFN的交線GH上，故OG=OH，EF平分GH．

圖4

4 結(jié)束語

為什么而教既關(guān)乎數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)與方向，也關(guān)乎數(shù)學(xué)教學(xué)的策略與方法．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)通過強(qiáng)化思維之道教學(xué)，達(dá)到兩方面的目的：一是有效地解決眼前面臨的問題，避免無效探究；二是以解決眼前的問題為載體，學(xué)習(xí)和掌握思維之道，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．