李紅云 伍春蘭

(北京教育學(xué)院 100120)

高考評(píng)價(jià)體系明確了“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能，將考察內(nèi)容確定為“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)”[1]，如何以高考題“引導(dǎo)教學(xué)”，落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)，值得探究. 以2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(北京卷)數(shù)學(xué)(以下簡(jiǎn)稱高考數(shù)學(xué)北京卷)第9題(表1)為例，分享我們的研究.

表1 2021年高考數(shù)學(xué)北京卷第9題

1 學(xué)生調(diào)研

在北京某兩校高二和高三各一個(gè)班，就第9題進(jìn)行調(diào)查.學(xué)生獨(dú)立解決并寫出簡(jiǎn)要過程，選擇典型作答的學(xué)生進(jìn)行訪談.通過調(diào)研了解學(xué)生的解決思路及困難，主要有三種解決思路：運(yùn)算求解、圖形分析與運(yùn)算求解、圖形的直觀想象.

1.1 運(yùn)算求解

解析幾何問題的通性通法，即聯(lián)立圓和直線的方程，消元整理得到含參數(shù)k和m的關(guān)于x的一元二次方程：

(k2+1)x2+2kmx+(m2-4)=0.

①

利用兩點(diǎn)間的距離公式表示弦長(zhǎng)，運(yùn)算中借助韋達(dá)定理整理為關(guān)于k和m的表達(dá)式，根據(jù)題干條件“弦長(zhǎng)的最小值為2”，分析弦長(zhǎng)表達(dá)式得到m的值.

調(diào)研發(fā)現(xiàn)，選擇該思路的學(xué)生，有的只列出聯(lián)立方程，最多到寫出方程①.學(xué)生的表現(xiàn)反映出其面對(duì)稍復(fù)雜解析幾何問題的信心不足，另外也說明其數(shù)學(xué)運(yùn)算的訓(xùn)練不夠，特別是含參數(shù)運(yùn)算的訓(xùn)練.針對(duì)只能想到運(yùn)算求解且無法解決的學(xué)生，教師要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的訓(xùn)練，另外要引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形進(jìn)行分析.

1.2 圖形分析與運(yùn)算求解

圖1

借助弦心距求弦長(zhǎng)的學(xué)生比較多，其中有的是開始想到聯(lián)立方程求解，但是覺得計(jì)算很麻煩，轉(zhuǎn)而借助弦心距求弦長(zhǎng).利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出弦心距

②

進(jìn)而表示出弦長(zhǎng)

③

專家與新手解決問題的不同點(diǎn)在于，專家不是從目標(biāo)往回走，而是擴(kuò)展已有知識(shí)去解決問題，即想辦法充分利用已有的條件[2].專家這種解決問題方式，對(duì)日常解題教學(xué)的啟示是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目的信息，包括“暗示”條件的有效讀取、加工和轉(zhuǎn)換.當(dāng)解題遇阻，嘗試等價(jià)轉(zhuǎn)換是重要策略.波利亞怎樣解題表的擬定計(jì)劃中，多處提到轉(zhuǎn)換問題，如“你能知道一道與它有關(guān)的題目嗎？你能利用它嗎？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？”特別地提到等價(jià)轉(zhuǎn)換：“你能以不同的方式敘述它嗎？”第9題將不同數(shù)學(xué)對(duì)象轉(zhuǎn)換，即將弦長(zhǎng)問題等價(jià)轉(zhuǎn)換為弦心距問題，從而簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算.

1.3 圖形的直觀想象

(1)無法想象弦長(zhǎng)或弦心距的變化

當(dāng)k變化時(shí)，學(xué)生能夠想象出直線為過定點(diǎn)(0,m)的一直線族，并且能夠順利排除選項(xiàng)A和D.如果m=±2，過定點(diǎn)(0,±2)的直線族截得圓C的弦長(zhǎng)最小值為0，因?yàn)閗=0時(shí)，直線l與圓相切(圖2)，可以排除選項(xiàng)A.

圖2

圖3

無法進(jìn)一步確定B或C，因?yàn)橄胂笾本€族截圓C的變化有困難，截得弦長(zhǎng)如何變化的？何時(shí)弦長(zhǎng)取得最小值？弦心距如何變化？弦心距何時(shí)取得最大值？即單個(gè)參數(shù)k變化，直觀想象直線如何變化是容易的，直線變化所派生的圓C中弦長(zhǎng)或弦心距如何變化是有困難的.

(2)猜想特殊位置，無法說明理由

2 題目拓展

題目拓展的探究，需要跳出題目進(jìn)行思考，題目有哪些條件？題目是否可以簡(jiǎn)化或變復(fù)雜？條件可以如何改變？條件改變后所考察側(cè)重點(diǎn)是什么？等.

2.1 改變數(shù)值或表征

2.2 改變固定參數(shù)

由上述分析可知，m是定值這個(gè)隱藏條件，在題目解答中起著舉足輕重的作用.若m不是定值，“弦長(zhǎng)最小為2”簡(jiǎn)化為“弦長(zhǎng)為定值2”，可否求得m的取值范圍？這個(gè)改變引起問題結(jié)構(gòu)的變化.

圖4

圖5

圖6

由式②或③整理都可得

④

2.3 突破固定參數(shù)

將2.2中的“弦長(zhǎng)為定值2”恢復(fù)到原題條件“弦長(zhǎng)最小為2”.

依據(jù)2.2的探究，直線l:y=kx+m過小圓x2+y2=3上某點(diǎn)D.過點(diǎn)D的直線l與圓C相交的弦長(zhǎng)范圍為[2,4]，其中與小圓x2+y2=3相切時(shí)，弦長(zhǎng)最小為2.當(dāng)k變化且與小圓不相切時(shí)，此時(shí)容易觀察或想象直線l與y軸可以相交在任意位置，即m可取任意值(圖7).

圖7

⑤

⑤式中，k可以取到任意值，因此m可以取任意值.

因此，當(dāng)弦長(zhǎng)n最小值為2時(shí)，直線l一定過圓x2+y2=3上某個(gè)點(diǎn)，m可以取到任意值.

3 小結(jié)

3.1 學(xué)生研究

教師做學(xué)生研究，不僅僅是學(xué)生解題的表現(xiàn)，更為重要的是了解思維過程，正確解答學(xué)生的解題思路過程，錯(cuò)誤解答的原因.如此才能找到幫助學(xué)生解決問題的對(duì)策.

與兩個(gè)班級(jí)的執(zhí)教教師交流過這個(gè)題目，都提到解決這個(gè)問題的思路主要是數(shù)形結(jié)合，調(diào)研發(fā)現(xiàn)學(xué)生表現(xiàn)與教師預(yù)期是有差異的，很多學(xué)生選擇了通過運(yùn)算方式解決，并且嘗試聯(lián)立方程表示弦長(zhǎng)的學(xué)生都沒有做出來.那么學(xué)生選擇運(yùn)算方式的原因是什么？沒有做完的原因是運(yùn)算能力問題，信心問題，還是時(shí)間不夠？等，都是值得研究的.

3.2 解題回顧

解題是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式和主要內(nèi)容，解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中占比頗高，具有不可替代的作用.[4]波利亞在《怎樣解題》中提出四步解題法：理解題目；擬定方案；執(zhí)行方案；回顧.[5]解題后的回顧也是教學(xué)中容易忽略的環(huán)節(jié).解題回顧，包括解決問題的經(jīng)驗(yàn)是什么？是否充分理解題目條件？條件之間的關(guān)系？能否進(jìn)行轉(zhuǎn)化等？有沒有其他解決思路？解決過程中遇到的困難？通過這個(gè)題目反映出自身數(shù)學(xué)知識(shí)和思考的哪些不足？等等.

調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，通過運(yùn)算解決問題的學(xué)生，并沒有思考圖形是什么樣的，或者無法想象圖形；通過直觀圖形解決的學(xué)生，有猜測(cè)對(duì)的，也有猜測(cè)錯(cuò)的，但是都沒有再回到問題中反思結(jié)論是否正確.對(duì)于運(yùn)算思路，要引導(dǎo)如何通過形的分析簡(jiǎn)化運(yùn)算，從形的角度思考k=0在圖形角度是什么？為什么這個(gè)位置弦長(zhǎng)取得最小值？對(duì)于通過直覺猜想的學(xué)生，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生反思的意識(shí)，分析得到結(jié)論的合理性等.

3.3 題目研究

數(shù)學(xué)題目的研究，也是數(shù)學(xué)教師必備的基本功之一.教師對(duì)題目進(jìn)行探究，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的完整過程，也有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.

通過對(duì)第9題的剖析，得到弦長(zhǎng)n、斜率k及截距m三個(gè)參數(shù)之間的依賴關(guān)系.將其中的一個(gè)參數(shù)固定，可以使其成為高中生可求解的封閉題目，正如第9題利用選項(xiàng)支讓m成為了定值.

題目拓展研究中，經(jīng)歷了小改動(dòng)、中變化、更大拓展的過程.小改動(dòng)是對(duì)原題條件數(shù)值或數(shù)學(xué)對(duì)象表征進(jìn)行改變，有利于學(xué)生建立數(shù)學(xué)對(duì)象的聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)思維的靈活性.中變化是改變固定參數(shù)，參數(shù)k和m都是變化的，將“弦長(zhǎng)最小值為2”退化為臨界條件“弦長(zhǎng)為2”，通過借助信息技術(shù)的動(dòng)態(tài)變化，得到問題的解決思路.更大拓展則是三個(gè)參數(shù)都在變化，此時(shí)信息技術(shù)起到了支持?jǐn)?shù)學(xué)思考的作用.

3.4 技術(shù)融入

調(diào)研發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)復(fù)雜圖形的直觀想象能力較弱.教學(xué)中可以借助信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生建立動(dòng)態(tài)變化的直觀表象，這是信息技術(shù)最基本的應(yīng)用.當(dāng)涉及多個(gè)參數(shù)變化不容易直觀想象出圖形的變化時(shí)，借助信息技術(shù)的探究成為了“雪中送炭”.教師通過信息技術(shù)的呈現(xiàn)，也可以激發(fā)學(xué)生興趣，體驗(yàn)圖形動(dòng)態(tài)變化所帶來的魅力，積累動(dòng)態(tài)直觀想象的經(jīng)驗(yàn)，從而達(dá)到不畏懼動(dòng)態(tài)變化的問題.

師生借由信息技術(shù)分析、解決問題，繼而發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決新問題，是教師專業(yè)成長(zhǎng)和學(xué)生思維發(fā)展的一條可行路徑.