陳玉娟 周 蕓

(江蘇省常州高級(jí)中學(xué) 213003)

1 前言

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人們通過數(shù)學(xué)教育以及自身的實(shí)踐認(rèn)識(shí)活動(dòng),所獲得的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)思想和觀念,以及由此形成的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和解決問題能力的總和.數(shù)學(xué)課程及其教學(xué)不僅要關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想方法的掌握,關(guān)注其數(shù)學(xué)能力的發(fā)展,還要有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的社會(huì)價(jià)值,領(lǐng)略數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵,體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思維方式和方法,形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì),促使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到全面提高.

筆者認(rèn)為,作為一線教師,立足教材,以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目標(biāo),通過創(chuàng)造性使用教材的方式開展實(shí)踐研究有其必要性和可行性.本文以我校(江蘇省四星級(jí)示范高中)某次高一年級(jí)期末質(zhì)量調(diào)研測試中的“三角題型”(下文簡稱三角)情況為例,說明如何在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中立足教材并創(chuàng)造性地使用教材,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 情況的呈現(xiàn)與分析

我校2019級(jí)高一年級(jí)共設(shè)12個(gè)班級(jí),其中10、11班為自主招生班,9、10班是中考成績居前的創(chuàng)新班,他們基礎(chǔ)相對(duì)比較好.12班是體育特長班,基礎(chǔ)比較薄弱.其它是平行班.為了更好地實(shí)施學(xué)校的評(píng)價(jià)體系和要求,調(diào)研測試采取的是“背對(duì)背”命題的方式,由高一數(shù)學(xué)備課組給命題老師(非高一數(shù)學(xué)科任老師)提供試卷編制的雙向細(xì)目表.

題型有選擇題(1-8單選,9-12多選)、填空題(13-16)和解答題(17-22),滿分150分.其中考查三角的試題數(shù)量是3小題,3大題,占分49分.經(jīng)過統(tǒng)計(jì)、分析,發(fā)現(xiàn)三角得分率普遍比較低,出乎教師的意料.

選擇、填空題得分率低于70%的共有4題,其中三角(共3題分別是第8、11、15題)就占2題.

6道解答題中考查三角的有3題,位列三個(gè)層次,分別是第18,20,21題,每題的第2小問,得分率較低.

值得思考的是,在學(xué)校組織的期末調(diào)研情況分析會(huì)議上(筆者作為試卷審核人參會(huì)),命題老師說明三角題大多出自教材原題或原題改編.為此,筆者以得分較低的三角題為載體,用題組的形式分析說明,如何將創(chuàng)造性使用教材根植于日常教學(xué),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.1 研讀教材中的定理證明,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

定理是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的重要內(nèi)容,是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的主要依據(jù),弄清楚定理的來龍去脈不僅對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建有促進(jìn)作用,而且定理證明中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法更能提升學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

題組1

教材定理正弦定理、余弦定理及其證明

考題20在△ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,△ABD的面積是△ADC的面積的3倍.

第1問得分率是全卷三角題中最高的,為95.1%,但部分學(xué)生的解答過程過于復(fù)雜.其實(shí)直接運(yùn)用正弦定理和三角形面積公式就能解決.

解：(1)設(shè)△ABC中A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,由題可設(shè)∠BAD=∠CAD=α，所以

第2問在第1問的基礎(chǔ)上,再用余弦定理即可求解.但得分率出乎老師們的意外,僅為53.61%.筆者調(diào)查詢問時(shí),學(xué)生的回答讓我啼笑皆非：教材(蘇教版必修5)P14有表述(原文摘抄):利用余弦定理,可以解決以下兩類解斜三角形的問題：(1)已知三邊,求三個(gè)角；(2)已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個(gè)角.這道題不是以上兩類情況,所以我沒想到可以用余弦定理.

解：(2)因?yàn)镾△ABD:S△ADC=BD:CD=3,

設(shè)∠ADB=β,則∠ADC=π-β.又AD=1,

在△ABD和△ADC中,

①+②×3消去β得c2+3b2=8，

筆者認(rèn)為,在日常教學(xué)中,可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試用多種方法證明正、余弦定理,在證明的過程中教師要具有一定的思維敏銳性,盡可能地把學(xué)生頭腦中的問題引出來,把他們解決問題的思維過程暴露出來,加以指導(dǎo).為了幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu),靈活掌握定理的應(yīng)用,體悟數(shù)學(xué)思想方法,可以開展相應(yīng)的學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，如：以不同的數(shù)學(xué)思想方法為主題開設(shè)專題講座、專題研究課、撰寫論文.

2.2 精讀教材中的例題,培養(yǎng)學(xué)生遷移運(yùn)用的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

例題是數(shù)學(xué)教材中的關(guān)鍵內(nèi)容,是編者為學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)運(yùn)用提供的示范與引領(lǐng),帶領(lǐng)學(xué)生精讀例題、追根溯源,弄清楚例題的作用與價(jià)值有利于提升學(xué)生舉一反三、遷移運(yùn)用的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

題組2

教材原題(蘇教版必修4 P121例4)求證：

考題是教材例題原題,讓老師們匪夷所思的是得分率僅為48.01%,是3道三角小題中最低的,也是整卷小題中除壓軸第16題外最低的.下面筆者分層進(jìn)行分析和解答.

第1步 以“函數(shù)名”為主視點(diǎn),切化弦.

第2步 以“結(jié)構(gòu)特征”為主視點(diǎn),通分后用“輔助角公式”化簡.

第3步 以“角”為主視點(diǎn),運(yùn)用二倍角公式和誘導(dǎo)公式繼續(xù)化簡.

教材中的一道例題,學(xué)生得分如此低,筆者認(rèn)為很有必要引領(lǐng)學(xué)生一起回顧解題過程和思路.這是一道求值題,條件蘊(yùn)含在題目中,已知的信息就是已學(xué)的公式.化簡、求值的線索和路徑,可以是角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)特征的統(tǒng)一.此題如果有學(xué)生從角入手,觀察到10°,50°的和是特殊角60°,不妨任其去嘗試,思路受阻后再另找途徑,從函數(shù)名稱的角度實(shí)施轉(zhuǎn)化,統(tǒng)一化為弦.以此為突破口,再進(jìn)行角之間的轉(zhuǎn)化.讓學(xué)生經(jīng)歷失敗的挫折過程,才能真正感受成功的喜悅.

題組3

sin 2α+γ=4sin 2β,則m的值為 ( ).

從教材例6的解答過程中可以看出,只要知道sinα+β，sinα-β值,就可以依據(jù)兩角和差公式展開,再運(yùn)用方程中的消元思想,整體解出sinαcosβ,cosαsinβ，最后切化弦求得所求值.考題8就是以其為雛形,增加了第3個(gè)角γ，但解題的思路仍然是整體消元和切化弦.此題得分率僅有64.43%.分層的分析與解答如下.

第1步 以“角”為主視點(diǎn),運(yùn)用方程思想整體換元、消元.

設(shè)x=α+β+γ①,y=α-β+γ②，

①+②得2(α+γ)=x+y,①-②得2β=x-y.

第2步 以“函數(shù)名”為主視點(diǎn),切化弦，轉(zhuǎn)化題設(shè)與目標(biāo).

轉(zhuǎn)化題設(shè)sin 2α+γ=4sin 2β為

sin (x+y)=4sin (x-y),

第3步 以“結(jié)構(gòu)特征”為主視點(diǎn),化簡條件轉(zhuǎn)化目標(biāo),求得結(jié)果.

由sin (x+y)=4sin (x-y)展開化簡得

3sinxcosy=5cosxsiny，

題組2,3突出以角、函數(shù)名稱、結(jié)構(gòu)特征為主視點(diǎn),在分析問題中這三者之間差異的基礎(chǔ)上尋找聯(lián)系,促成轉(zhuǎn)化.在化簡的過程中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用或變用公式簡化運(yùn)算,使其更貼近所求(證)式.

筆者認(rèn)為,教師應(yīng)較好地使用教材,但又不囿于教材,課堂教學(xué)既不能依賴教參作“傳聲筒”,又不能脫離書本另搞一套急于求成,這就需要展現(xiàn)教者的內(nèi)功和智慧.為了充分挖掘例題所蘊(yùn)涵的示范功能和拓展功能,可以開展相對(duì)應(yīng)的學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng),如：精選例題開設(shè)賞析課，組織學(xué)生撰寫精讀例題的心得體會(huì)、撰寫論文，等等.

2.3 改編教材中的習(xí)題,培養(yǎng)學(xué)生改舊創(chuàng)新的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

習(xí)題是數(shù)學(xué)教材中的主要內(nèi)容,是編者對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的檢測,改編教材中的習(xí)題,有利于培養(yǎng)學(xué)生改舊創(chuàng)新的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

題組4

教材原題(蘇教版必修4教材P109練習(xí)7)

教材中的練習(xí)是針對(duì)新課學(xué)習(xí)后的及時(shí)鞏固,難度一般較低.考題18(2)與教材原題只是目標(biāo)求解上有些微小的變化,解答過程也比較簡單,遺憾的是只有74.64%的得分率.

題組4重點(diǎn)突出以“角”為主視點(diǎn),化未知為已知.著重觀察、分析問題中角的差異,在此基礎(chǔ)上尋求聯(lián)系、促成轉(zhuǎn)化.其方法通常是“配湊”或“換元”,運(yùn)用整體思想,將所求角轉(zhuǎn)化成已知角進(jìn)行處理.教學(xué)中可組織學(xué)生針對(duì)不同的解法交流思想.

題組5

考題21已知△ABC中三邊a,b,c所對(duì)的角分別為A,B,C,且2ccosB=2a-b.

考題的目標(biāo)是求表達(dá)式的取值范圍,其中滲透了函數(shù)思想.這在必修4的復(fù)習(xí)題中可以找到原型.考題與原題1的區(qū)別主要在自變量上,要消除這個(gè)區(qū)別需要用到教材原題2的思想,即用正弦定理,化邊為角,考題就轉(zhuǎn)化為求以角為自變量的函數(shù)的值域問題.

第1步 運(yùn)用函數(shù)思想,靈活結(jié)合題設(shè)和正、余弦定理尋求合適的自變量.

即a2+b2-c2=ab.

所以a=2sinA,b=2sinB.

考慮到三角形中

故選擇自變量A比較合適.

第2步 運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,靈活進(jìn)行三角恒等變換,化簡目標(biāo).

a2+b2=4sin2A+sin2B

第3步 根據(jù)銳角三角形的定義和三角形中角的等量關(guān)系正確求得定義域.

第4步 通過三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),求函數(shù)值域.

運(yùn)用函數(shù)思想,常需要構(gòu)造函數(shù).構(gòu)造函數(shù)的關(guān)鍵在于細(xì)致的觀察、敏銳的直覺、豐富的聯(lián)想和正確的化歸,通過對(duì)題設(shè)條件和結(jié)論的分析,構(gòu)造出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使原問題得以轉(zhuǎn)化或簡化.構(gòu)造法屬于非常規(guī)思維,它適用于那些常規(guī)方法不易解決的問題,是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的一種有效途徑.

筆者認(rèn)為,教學(xué)貴在用心.要做到靜心吃透教材,在習(xí)題教學(xué)中同樣要關(guān)注學(xué)生的主體參與.為促使學(xué)生獲得內(nèi)心的體驗(yàn),產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極情感,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決的途徑,可以開展相對(duì)應(yīng)的學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng).如：開展解題、改編題的競賽活動(dòng)，撰寫論文等等.

3 結(jié)束語

一次期末質(zhì)量調(diào)研測試中涉及的三角函數(shù)題型,雖都能從教材中找到它的原型,但得分率卻偏低,既暴露了教師平時(shí)不夠重視數(shù)學(xué)課本的教學(xué),也說明學(xué)生不會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)課本是普遍現(xiàn)象,這是制約我國高中生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的一個(gè)瓶頸[1].在新課改伊始,我們的教學(xué)確實(shí)遇到一些問題與困難：如,新課改的主題單元教學(xué)授課模式與原有的模塊教學(xué)授課模式的區(qū)別與差異,給常年使用原教材的一線教師帶來了一定的困難；教材中定理證明的不完整性給教師在教學(xué)難度的把控上帶來一定的困惑,對(duì)于教材中回避的定理證明是否要補(bǔ)充值得進(jìn)一步商榷；教材中例題作用與價(jià)值的充分挖掘需要教師深厚的基本功,對(duì)年輕教師而言有一定的挑戰(zhàn)性,同時(shí)對(duì)個(gè)別例題中小瑕疵的識(shí)別也需要教師的質(zhì)疑精神；教材中習(xí)題的整合與拓展需要教師的全局觀,對(duì)教師通讀高中數(shù)學(xué)教材的能力有一定的要求，等等.

但筆者認(rèn)為這些正符合我們教師新課程新教材工作的目標(biāo)和方向：開展教材中定理證明的研讀,立足數(shù)學(xué)思想和方法,對(duì)定理證明進(jìn)行整合,讓學(xué)生在了解與證明定理內(nèi)容的過程中提升邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、感受核心數(shù)學(xué)思想與方法；開展教材中例題的精讀,立足例題的價(jià)值與作用,對(duì)例題進(jìn)行深度挖掘,讓每個(gè)例題都是一個(gè)資料庫,讓學(xué)生透過例題看到編者的意圖、學(xué)會(huì)舉一反三、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)遷移；開展習(xí)題的改編,立足習(xí)題的類型與解題方法等維度對(duì)課后習(xí)題進(jìn)行整合，一方面教師對(duì)習(xí)題之間的關(guān)聯(lián)性給出闡釋,另一方面對(duì)習(xí)題的改編思路給出點(diǎn)評(píng).

總之,只有教師在平常的教學(xué)中立足教材,潛心研究教材,創(chuàng)造性地使用教材,不斷提升自我的教學(xué)智慧,才能逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新精神,提高學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力.