劉耀斌

(鹽城師范學(xué)院 224002)

鉆研教材是教師備課的重要環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)教材的理解深度，直接影響到課堂教學(xué)質(zhì)量.數(shù)學(xué)教師教學(xué)水平的高低，首當(dāng)其沖地體現(xiàn)在對教學(xué)內(nèi)容的把握上.但教材往往受到各種因素的限制，編寫者不可能將全部的、可能的想法和方案都呈現(xiàn)出來，這就需要教師鉆研教材時深入思考、深刻領(lǐng)會滲透在教材中的思想方法、歷史文化等內(nèi)容.

數(shù)學(xué)教材內(nèi)容呈現(xiàn)形式往往是分解疊加的，這種展開方式側(cè)重于知識表述的精準(zhǔn)性而不在于知識理解的整體性。教師鉆研教材時如果只是對局部知識加以分析，盡管每一段材料也能產(chǎn)生一定的思想或產(chǎn)生一定的領(lǐng)悟，但相對而言所獲得的信息量較小，領(lǐng)悟程度也較低.高水平的教師能夠從數(shù)學(xué)整體高度研讀教材，能透過現(xiàn)象看本質(zhì)，不僅“懂一點”而是“懂整體”，因而，在教學(xué)活動中能通過犀利而深邃的數(shù)學(xué)眼光，看到教材中跳躍著的真實而鮮活的數(shù)學(xué)內(nèi)容，做到深入淺出、行云流水，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)的世界里自由翱翔.[1]所以，鉆研數(shù)學(xué)教材必須局部與整體兼顧，努力達(dá)到以下四重境界，即要善于在高等數(shù)學(xué)的觀點指導(dǎo)下研讀教材；要善于揭示片段知識之間的內(nèi)部聯(lián)系；要善于在知識演化過程中理解片段內(nèi)容；善于挖掘片段知識所蘊(yùn)含的文化價值.

1 聯(lián)系高等數(shù)學(xué)鉆研教材

初等數(shù)學(xué)的有些問題需要在高等數(shù)學(xué)的理論里加以解釋.數(shù)學(xué)家克萊因指出：“有許多初等數(shù)學(xué)的現(xiàn)象只有在非初等的理論結(jié)構(gòu)內(nèi)，才能深刻地理解.基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該站在更高的視角(高等數(shù)學(xué))來審視、理解初等數(shù)學(xué)問題,只有觀點高了事物才顯得明了而簡單.”[2]由此，我們得到啟示，研讀中小學(xué)數(shù)學(xué)教材要在高觀點指導(dǎo)下進(jìn)行，數(shù)學(xué)教材是按照邏輯演繹形式逐步展開的，但數(shù)學(xué)思想從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)是整體貫通的，局部知識只有放在整體中思考，才能看得清、說得明.

例1基于平面圖形對稱之本質(zhì)——“變中有不變”的性質(zhì)，理解“軸對稱和中心對稱”.

在中學(xué)有關(guān)軸對稱和中心對稱課題的教學(xué)中，存在一種現(xiàn)象，只是對照客觀世界中存在的現(xiàn)象，孤立而靜止地講解什么是“軸對稱”或“中心對稱”,沒能把它們放在圖形運(yùn)動變換的觀點下理解“對稱”的本質(zhì).所以，教學(xué)過程顯得非常機(jī)械.

客觀世界中有豐富多彩的“對稱”，用運(yùn)動的觀點看“對稱”，其性質(zhì)、特點就更加突出地暴露出來，便于把握，便于研究.事實上，平面圖形的“對稱”涉及四類運(yùn)動：一是與“軸對稱”相聯(lián)系的反射.就是平面圖形關(guān)于直線l作反射時，平面圖形上的點都運(yùn)動起來，如果P點變到Q點，Q點變到P點，我們就說“P，Q關(guān)于直線l軸對稱”，在這一運(yùn)動、變化之后，平面圖形上點的集合仍然是自身的集合，我們就說“該平面圖形關(guān)于直線l軸對稱”.二是與平面圖形的“n次中心對稱”相聯(lián)系的旋轉(zhuǎn).讓圖形所在的平面繞其上一點O旋轉(zhuǎn)360/n度時，平面圖形上的點都在運(yùn)動、變化，該圖形上的點也都在運(yùn)動變化.如果該圖形在運(yùn)動、變化中整體不變，我們就說“該圖形關(guān)于點O為n次中心對稱圖形”，如正六邊形就是關(guān)于其中心點O的6次中心對稱圖形.三是與“平移對稱”相聯(lián)系的平移.讓圖形所在平面沿某一方向平移一段距離a時，圖形上的點都在運(yùn)動、變化，如果該圖形在運(yùn)動、變化過程中保持整體不變，我們就說該圖形是“平移對稱圖形”.四是與“滑動反射對稱”相聯(lián)系的滑動反射.就是先平移再反射.可以證明，關(guān)于“平面圖形的對稱”有且僅有這四類運(yùn)動及相應(yīng)的四類對稱.以上這些運(yùn)動有一個共同特點：都保持平面上任意兩點間的距離在運(yùn)動前后不變.所以，我們把反射、旋轉(zhuǎn)、平移、滑動反射及其它們的相繼實施，統(tǒng)稱為“保距變換”.這種圖形整體上“變中有不變”的性質(zhì)，正是“平面圖形對稱”的一個本質(zhì)，也是各種事物對稱的共同本質(zhì).[7]

基于平面圖形對稱的本質(zhì)，看初中平面幾何中的“軸對稱”和“中心對稱”就非常清晰了，不過是平面圖形“保距變換”的特例，“軸對稱”就是反射對稱，“中心對稱”就是旋轉(zhuǎn)角為180度時的旋轉(zhuǎn)對稱.

由上可知，在高觀點下研讀教材，有利于教師從整體認(rèn)識數(shù)學(xué)的來龍去脈；有利于教師立足教學(xué)片段而放眼課程全貌；有利于教師設(shè)計出體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)情境，從而使課堂教學(xué)達(dá)到深入淺出、輕松自如、引發(fā)興趣、啟迪智慧的效果.追問高觀點，不僅是教學(xué)的必須，也是數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的需要.“許多統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，我國中小學(xué)教師中有很大百分比沒有達(dá)到教育領(lǐng)導(dǎo)部門所規(guī)定的最低業(yè)務(wù)標(biāo)準(zhǔn).”[2]“拓廣教師的知識領(lǐng)域，提高他們的數(shù)學(xué)修養(yǎng)是當(dāng)務(wù)之急.”[2]“一個非常重要的策略是，必須把教師從題海中解脫出來.不少教師抱怨，經(jīng)常要花大量的時間和精力去收集習(xí)題，把解題方法分類，編寫習(xí)題解答等等，根本顧不上進(jìn)修.”[2]某種意義上說，“題?！笔沟媒處焸儧]有時間追問高觀點或覺得沒必要追問高觀點.

2 站在系統(tǒng)角度鉆研教材

數(shù)學(xué)教材無論是直線式或螺旋式編排方式，呈現(xiàn)出來的知識形態(tài)主要是演繹的，我們?nèi)菀卓吹叫问缴系恼w，不容易看到思想方法上的整體.研讀教材時如果能夠從系統(tǒng)角度思考，著眼于知識之間的聯(lián)系與規(guī)律，把表面看來不相同的概念、定理、法則，通過數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示，使之處于一個統(tǒng)一體中，會有意外的收獲.用整體思想統(tǒng)一局部知識，不僅能夠升華學(xué)生的觀點，還能培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察、分析能力和深刻性思維品質(zhì).

例2揭示圓冪定理之四條定理蘊(yùn)含的內(nèi)部聯(lián)系.

圓冪定理包括垂徑定理、相交弦定理、割線定理和切割線定理等四條定理(如圖1)，它們分別獨立存在于教材各處，但它們之間存在著必然的內(nèi)在聯(lián)系，蘊(yùn)含辯證思想，有其獨特的教育價值.而在實際教學(xué)中，不少教師往往忽視這幾條定理之間的所蘊(yùn)含的對立統(tǒng)一辨證思想，把教學(xué)重點放在對定理的記憶、理解和運(yùn)用定理解題上，教材的利用價值大大降低.

PA·PB=PC2(垂徑定理) PA·PB=PC·PD(相交弦定理)

PA·PB=PC·PD(割線定理) PA·PB=PC2(切割線定理) 圖1

如圖所示，垂徑定理中的直徑是特殊的弦，它垂直平分另一條弦，所以垂徑定理是相交弦定理的特殊情況.切割線定理中的切線看成是割線與圓的兩個交點重合，所以切割線定理是割線定理的特殊情況.這樣就把垂徑定理統(tǒng)一于相交弦定理，切割線定理統(tǒng)一于割線定理.進(jìn)一步觀察，在相交弦定理和割線定理中，弦或割線的交點為P，不管P點在圓內(nèi)還是圓外，PA·PB的積只與P點的位置有關(guān)，與過P點的弦和割線無關(guān).因此，原四條定理可以統(tǒng)一敘述為：過圓內(nèi)或圓外一點P作直線，與圓分別相交于A、B兩點，那么PA·PB為一常量.

圖2

當(dāng)定點在圓內(nèi)時，常量等于經(jīng)過定點的最短弦長一半的平方；當(dāng)定點在圓外時，常量等于經(jīng)過定點的圓的切線長的平方(如圖2).[9]

有了上述對四條定理的整體分析，把垂徑定理、相交弦定理和割線定理、切割線定理中統(tǒng)一的“常量”背景揭示出來了，能讓學(xué)生領(lǐng)悟到知識之間的聯(lián)系是如此微妙，對圓冪定理做到真懂，同時辯證思維能力得到了有效的培養(yǎng).

例3從系統(tǒng)角度理解角相等定義、平角定義、對頂角相等、平行線性質(zhì)定理、等角定理.

北京市22中孫維剛老師把分散在平面幾何課本里的“角相等定義、平角定義、對頂角相等、平行線性質(zhì)定理(兩直線平行則同位角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)、內(nèi)錯角相)”等6條定義、定理，通過“平移”變換的方法，竟全部統(tǒng)一到“如果一個角的兩邊分別平行于另一角的兩邊，那么這兩個角相等或互補(bǔ)”的“等角定理”內(nèi).使學(xué)生看到這1條定理是那6條定義、定理的聯(lián)合推廣；那6條定義、定理則是這1條定理的特例(如圖3).這種把知識置于系統(tǒng)之中，著眼于知識間的內(nèi)部聯(lián)系，使學(xué)生能透過繁雜的現(xiàn)象，抓住問題的本質(zhì)，學(xué)生辯證思維能力得到很好的培養(yǎng).[10]

等角定理?平行線性質(zhì)定理?對頂角定理 圖3

不僅如此，在研究等角定理何時相等、何時互補(bǔ)時，孫老師把幾何問題代數(shù)化.如果把角的兩條射線方向相同的關(guān)系規(guī)定為“+”，方向相反為“-”；把兩個角相等關(guān)系規(guī)定為“+”，互補(bǔ)關(guān)系規(guī)定為“-”.那么，“當(dāng)兩組平行的射線方向完全相同或相反時兩角相等；當(dāng)兩組平行的射線方向一同一反時兩角互補(bǔ)”的結(jié)論可抽象成代數(shù)中有理數(shù)乘法的符號法則：“+、+得+；+、-得-；-、+得-；-、-得+”(如圖3).孫老師對教材內(nèi)部微妙聯(lián)系的深度挖掘，使學(xué)生認(rèn)識得到升華.[10]

數(shù)學(xué)中到處充滿辯證思維因素，教學(xué)中教師應(yīng)該善于挖掘知識之間的內(nèi)部聯(lián)系，通過對數(shù)學(xué)概念、公式、定理等的剖析，揭示其所蘊(yùn)含辨證法因素，從方法論的哲理高度來闡明數(shù)學(xué)思想方法的實質(zhì)，體會到掌握辯證的思維方法對人思維能力的提高的重要意義，并傳播唯物辯證思維觀.

3 注意演化過程鉆研教材

眾所周知，每一數(shù)學(xué)知識的形成從思想的啟蒙到成熟，必定要經(jīng)歷漫長的演化過程，有的要經(jīng)歷幾百年甚至上千年.在這一演化過程中留下了數(shù)學(xué)家們一個又一個思想的豐碑，留下了數(shù)學(xué)家艱辛創(chuàng)業(yè)的事跡；在這一演化過程中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)展不斷創(chuàng)新的特征、不斷解決矛盾的特征、不斷解決實際問題的特征.數(shù)學(xué)的演化和發(fā)展就像一部宏偉的史詩，在數(shù)學(xué)的各個局部知識中都能體現(xiàn)這詩的意境.

例4在函數(shù)理論演化過程中理解初高中函數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系.

“函數(shù)”在中學(xué)是分兩個階段編排的，分別在初中和高中，教師需要深刻理解教材的編寫意圖，要追問：初、高中函數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系是什么？為什么“函數(shù)”要分兩個階段學(xué)習(xí)？這與函數(shù)概念的歷史發(fā)展演變有關(guān).

事實上，從常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時期，隨之產(chǎn)生了函數(shù)的概念，函數(shù)概念的產(chǎn)生和發(fā)展經(jīng)歷了300多年的時間.函數(shù)是刻畫事物運(yùn)動與變化的數(shù)學(xué)模型,對函數(shù)模型的精準(zhǔn)性描述(函數(shù)的定義或?qū)瘮?shù)本質(zhì)的認(rèn)識)數(shù)學(xué)史上經(jīng)歷了不斷完善的演化過程，經(jīng)歷了函數(shù)概念的萌芽、函數(shù)概念變量說、函數(shù)概念對應(yīng)說、函數(shù)概念關(guān)系說等主要階段.函數(shù)概念變量說是用“運(yùn)動與變化”的觀點來理解函數(shù)，刻畫了從“自變”到“因變”的過程，但有一定的局限性，如常數(shù)函數(shù)就不好解釋.為了使函數(shù)在應(yīng)用上有足夠的廣泛性，人們用變量的“對應(yīng)關(guān)系”來定義函數(shù)，即函數(shù)概念的對應(yīng)說.函數(shù)概念對應(yīng)說突出了對應(yīng)法則的地位，但對應(yīng)法則是什么尚欠明確定義，因而顯得含糊.比如，對于函數(shù)y=x,x∈0,1和y=x2,x∈0,1它們的定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，是同一個函數(shù)還是兩個不同的函數(shù).為了回避“對應(yīng)法則”，數(shù)學(xué)家們用集合論的語言，即對笛卡爾乘積加以適當(dāng)限制再對函數(shù)下定義，消除了“變量”“對應(yīng)”等含義模糊的用語，形成了十分形式化的定義，這樣函數(shù)概念就完全明確了，它無非是“一張理想的數(shù)表，稱之為函數(shù)的“關(guān)系說”.“關(guān)系說”將函數(shù)用集合論的語言加以敘述，除集合論的概念外，沒有使用任何其它未經(jīng)定義的日常語言，因而完全數(shù)學(xué)化了.[11]這個內(nèi)容雖然不需要跟學(xué)生講解，但教師應(yīng)該心中有數(shù).

從函數(shù)概念歷史演化的角度，不難理解教材的編寫意圖.現(xiàn)行初中和高中數(shù)學(xué)教材兩個函數(shù)定義反映了函數(shù)演化過程中的兩個階段.初中函數(shù)概念以“變量對應(yīng)說”的觀點加以定義，既突出了函數(shù)的靈魂——變化，又強(qiáng)調(diào)了函數(shù)的本質(zhì)——對應(yīng)，體現(xiàn)了生動直觀的一種動態(tài)文化內(nèi)涵.這個定義適合初中生年齡特征，有利于學(xué)生直觀地認(rèn)識到函數(shù)是刻畫變量之間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型.但其不足之處是，定義的使用范圍不夠廣泛，有一定的局限性.現(xiàn)行高中函數(shù)概念以“集合對應(yīng)說”的觀點加以定義，建立在集合論的基礎(chǔ)上，突出了函數(shù)的本質(zhì)——對應(yīng).由于這種用靜態(tài)文化觀表述的定義方式使用了形式化的定義和精確化的集合語言，其普適性更強(qiáng)[12].

初中數(shù)學(xué)教師和高中數(shù)學(xué)教師在講授函數(shù)時，應(yīng)該把兩個函數(shù)定義看成整體概念，是函數(shù)概念演化過程中的不同階段，在確定教學(xué)任務(wù)時既要整體思考，又要各司其職.初中教師在講授函數(shù)概念時，不能越俎代庖，高中教師在講授函數(shù)時要突出演化過程，不能與初中函數(shù)概念割裂開來.初中函數(shù)概念教學(xué)，應(yīng)側(cè)重于用變量變化的關(guān)系，即基于一個量變，另一個量隨著變構(gòu)建函數(shù)模型，結(jié)合具體函數(shù)形象而直觀地滲透聯(lián)系與變化的辯證思想.高中函數(shù)概念教學(xué)，就必須反映出函數(shù)發(fā)展的歷史演化進(jìn)程，引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷”一次從傳統(tǒng)定義到近代定義的轉(zhuǎn)變過程，創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)初中函數(shù)概念之“變量對應(yīng)說”定義之局限性，促使學(xué)生自己去“完善”概念，使函數(shù)定義具有足夠的廣泛性，并灌輸改革意識，促成學(xué)生從變量觀向集合觀的轉(zhuǎn)變，從而更加精準(zhǔn)的用“集合對應(yīng)說”定義函數(shù).

數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)生和發(fā)展是胚芽式生長的，不是片段組合起來的.而把數(shù)學(xué)整體思想分割成分解疊加形式的教材編排方式，常常使原本不難的材料成為難點.在這樣的教學(xué)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)就好像盲人摸象一樣，只能在相當(dāng)長時間以后才能體會到所學(xué)對象蘊(yùn)含的思想，這樣的學(xué)習(xí)是被動的，難以形成學(xué)習(xí)的內(nèi)在動力.因此，數(shù)學(xué)教師在講授每個局部知識時，必須把局部知識教成是思想演化過程中的知識，這樣學(xué)生才能看到知識的來龍去脈、相互聯(lián)系、整體概況，才能把所學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想的主干聯(lián)系起來，更能領(lǐng)會知識的本質(zhì).除此之外，學(xué)生還能看到數(shù)學(xué)家們真實創(chuàng)造數(shù)學(xué)的過程，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的發(fā)展是不斷創(chuàng)新、不斷突破的過程.

4 結(jié)合歷史文化鉆研教材

數(shù)學(xué)是人類進(jìn)步的產(chǎn)物，是人類文化的重要組成部分，它的表現(xiàn)形式不僅僅是概念、定理、公式、法則等，而且還有浸潤其中的數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)在它的發(fā)生發(fā)展過程中與人類社會的發(fā)展有著千絲萬縷的聯(lián)系，有文明必有數(shù)學(xué)，缺乏數(shù)學(xué)不可能有科學(xué)的文明.因此，數(shù)學(xué)的內(nèi)容必定映襯著文化的痕跡，教師研讀教材時要善于挖掘蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)文化因素，用以幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)科學(xué)與人類社會發(fā)展之間的關(guān)系，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和人文價值，這對學(xué)生的思維方式、價值觀念乃至世界觀等方面都會有重要影響.

例5融《幾何原本》的文化價值于中學(xué)幾何教學(xué)之中.

教師研讀幾何教材時，不僅僅要讀懂若干定義、定理、問題及其證明方法，還應(yīng)該對《幾何原本》及其文化價值進(jìn)行深入的挖掘.古希臘亞力山大時期，幾何學(xué)材料豐富、內(nèi)容繁雜、編排無序，當(dāng)務(wù)之急需要對現(xiàn)時的幾何進(jìn)行“科學(xué)整理”，歐幾里得對此做出了偉大的貢獻(xiàn)：篩選定義、選擇公理、合理編排、邏輯演繹，從定義、公理、公設(shè)出發(fā)建立了幾何學(xué)的邏輯體系，就像一位建筑師，建起了一座宏偉的數(shù)學(xué)大廈《幾何原本》，其意義不完全是《幾何原本》里的定義或定理，重要的在于為人類奠定了一個嶄新的思維模式——數(shù)學(xué)公理化思想，成為其后所有數(shù)學(xué)的范本.不僅如此，數(shù)學(xué)公理化思想的影響大大超過了數(shù)學(xué)的范圍，擴(kuò)展到了自然科學(xué)和社會科學(xué)等眾多領(lǐng)域.非歐幾何學(xué)的產(chǎn)生，更加證明了對公理化思想本身的研究能夠推動數(shù)學(xué)乃至科學(xué)的發(fā)展，也充分說明人類對理性思維和對嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯、完美的追求，推動了科學(xué)、推動了人類社會的發(fā)展和進(jìn)步.[3]

幾何教學(xué)中，適當(dāng)滲透《幾何原本》誕生的背景以及《幾何原本》對人類文化的影響，那么學(xué)生一方面學(xué)到了其中有用的、美妙的定理，學(xué)會了邏輯推理；另一方面學(xué)生也學(xué)會了以簡馭繁、以少勝多的推理方法，更能使學(xué)生感受到人類理性精神的偉大.所以，用幾何命題的證明訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維能力是必要的，但公理化思想及其文化價值在幾何教學(xué)中的滲透有其更深刻意義.

數(shù)學(xué)教學(xué)如果忽視數(shù)學(xué)文化的整體性，就會表現(xiàn)出只關(guān)注數(shù)學(xué)的科學(xué)性、工具性而忽視數(shù)學(xué)的人文性、價值理性；就會表現(xiàn)出只關(guān)注數(shù)學(xué)知識的傳授，而忽視所蘊(yùn)含的思想、方法、原則和精神.這種割裂了數(shù)學(xué)整體性的教學(xué)，使原本血肉豐滿的數(shù)學(xué)變得枯燥無味，進(jìn)而也就失去了數(shù)學(xué)教育的“靈魂”.

毋庸置疑，處于長期應(yīng)試氛圍教學(xué)中的教師，以“刷題”為教學(xué)的根本目的，教學(xué)中無暇顧及數(shù)學(xué)課程與客觀世界、人類社會的關(guān)系，不善于在整體思想指導(dǎo)下進(jìn)行課堂教學(xué)，這對于當(dāng)前強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)是不相稱的.所以，期待教師在教學(xué)設(shè)計時要彰顯系統(tǒng)的思想，把教材的局部知識與整體思想結(jié)合起來，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，體現(xiàn)“以生為本”的教學(xué)理念，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)真正落地生根.[13]