泰州學(xué)院 (225300) 楊俊林

愛因斯坦指出，哲學(xué)可以被認(rèn)為是全部科學(xué)之母.哲學(xué)探究的是所有事物的一般性規(guī)律，是對自然知識、社會知識與思維知識的概括與總結(jié).哲學(xué)的觀點(diǎn)是高度抽象的，它不涉及具體的學(xué)科，但它對具體學(xué)科的研究與學(xué)習(xí)乃至于一個具體問題的求解都有指導(dǎo)作用.人們的一切行為是受意識支配的，而支配行為的意識是人們所處的社會關(guān)系及外界其他因素作用于人腦的結(jié)果.數(shù)學(xué)家的“數(shù)學(xué)研究總是在某種哲學(xué)思想的指導(dǎo)下進(jìn)行的”[1]，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為也受意識的支配.教學(xué)過程中常常發(fā)現(xiàn)，支配學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為的意識更多的是教師作用于學(xué)生的“解題套路”，缺乏科學(xué)性、創(chuàng)造性，以至于相當(dāng)多的學(xué)生學(xué)習(xí)過十多年的數(shù)學(xué)，進(jìn)入大學(xué)時(shí)最基本的數(shù)學(xué)方法卻忘得一干二凈.如果將哲學(xué)原理的教學(xué)與具體學(xué)科的學(xué)習(xí)結(jié)合起來，使相應(yīng)哲學(xué)觀念真正內(nèi)化為支配學(xué)生學(xué)習(xí)行為的意識，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就能在正確的思想指導(dǎo)下進(jìn)行.從而真正達(dá)到提高學(xué)生核心素養(yǎng)的目的.

1.運(yùn)動的規(guī)律性觀念與解題策略的形成

例1已知實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，點(diǎn)P(-1，0)在動直線ax+by+c=0上的射影為點(diǎn)M，若點(diǎn)

N(3，3)，則線段MN的長度的最大值是多少？

圖1

分析：本題最大的思維障礙是“動直線ax+by+c=0在圖形中如何表示？”直線是“動”的，它會毫無規(guī)律地“動”嗎？“運(yùn)動的規(guī)律性”意識的導(dǎo)向作用是引導(dǎo)解題者探索動直線的運(yùn)動規(guī)律.由于動直線的系數(shù)是a,b,c，而a,b,c成等差數(shù)列，令公差為d，則動直線方程可改寫為“(b-d)x+by+(b+d)=0”，再從“平行移動”“過某定點(diǎn)”的角度觀察動直線的運(yùn)動規(guī)律.從哲學(xué)的角度看“主元”有其“相對性”.如果將b,d視為主元x,y為常系數(shù)，方程又可改寫為b(x+y+1)-d(x-1)=0.不難發(fā)現(xiàn)動直線過點(diǎn)(1，-2).這樣問題就轉(zhuǎn)化為“直線l過Q(1,-2)，P(-1,0)點(diǎn)在l上的射影為點(diǎn)M.若點(diǎn)N(3,3)，則線段MN的長度的最大值是多少？”.

顯然，點(diǎn)M為以PQ為直徑的圓上動點(diǎn)，MN的最大值為MN過圓心時(shí)(M,N在圓心的以異側(cè))線段的長度.

教學(xué)啟示：中學(xué)哲學(xué)課中也會講運(yùn)動的規(guī)律性，但由于其立足點(diǎn)是較為“抽象”的客觀現(xiàn)實(shí)世界而無法深入到具體學(xué)科領(lǐng)域，因而很難獲得學(xué)生的理性認(rèn)同.而數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)過程中過于程式化導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)停留在操作層面難以轉(zhuǎn)化為學(xué)生的“核心素養(yǎng)”.數(shù)學(xué)中變量的運(yùn)動變化是哲學(xué)中運(yùn)動規(guī)律的具體化，只要數(shù)學(xué)教師點(diǎn)撥得當(dāng)，學(xué)生很容易提高數(shù)學(xué)解題活動中思維的“階”.在解題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生堅(jiān)信規(guī)律的存在，感受根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題帶來的樂趣，則容易使“運(yùn)動的規(guī)律性”觀念扎根于學(xué)生的認(rèn)知世界，并在新問題的解決過程中發(fā)揮著積極的作用.

教學(xué)啟示：在教學(xué)中，只要涉及運(yùn)動的對象，如“動點(diǎn)”“動直線”“動圓”等，都應(yīng)努力喚醒學(xué)生的“運(yùn)動的規(guī)律性”意識，從而在這一意識的驅(qū)使下努力探求“運(yùn)動對象”的“變化規(guī)律”.找到了“運(yùn)動對象”的“變化規(guī)律”，自然就找到了解決問題的方法.

2.特殊與一般觀念下的函數(shù)單調(diào)性探究

辯證唯物主義認(rèn)為矛盾具有普遍性與特殊性，矛盾的普遍性和特殊性在不同的場合可以相互轉(zhuǎn)化，可以從特殊性中概括出普遍性，也可以在普遍生的指導(dǎo)下研究特殊性.其相應(yīng)的數(shù)學(xué)觀念一般指“抽象意識”與“化歸意識”.在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中相當(dāng)多的數(shù)學(xué)知識教學(xué)可以有意識地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法加以引導(dǎo)，在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時(shí)獲得數(shù)學(xué)思想提升數(shù)學(xué)觀念，形成科學(xué)的哲學(xué)觀.

例3 “函數(shù)的增減性”與“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的教學(xué)[2].

湖北省潛江市園林四中的戴老師提供的“關(guān)于如何確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)時(shí)的方法”就很有代表性.

首先學(xué)生思考后給出了求一類函數(shù)單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)方法，但覺得理由不夠充分，其方法如下：

接著教師在對學(xué)生發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進(jìn)行肯定的同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生說出發(fā)現(xiàn)的過程.原來該生是從一個很特殊的函數(shù)f(x)=x2-2x+3入手進(jìn)行探究的，其過程如下：

該生就是在此基礎(chǔ)上給出了一般性的結(jié)論.教師充分肯定了學(xué)生的做法，同時(shí)告訴學(xué)生其中蘊(yùn)含的道理在后面學(xué)習(xí)微積分的知識時(shí)就會明白.

教學(xué)啟示：顯然上述案例中學(xué)生就是在“矛盾的普遍性與特殊性”的“潛意識”下開展的數(shù)學(xué)探究活動，十分值得推崇.然而，從實(shí)際教學(xué)的現(xiàn)狀看，這樣的例子卻不多見.在日?？荚囍胁簧龠x擇與填空題只需要學(xué)生根據(jù)特殊與一般的關(guān)系用特殊值代入即可，但學(xué)生想不到；綜合題中可以借助特殊性尋找解決問題的一般策略，但學(xué)生往往也想不到.原因出在哪里呢？出在教學(xué)，在實(shí)際教學(xué)中，哲學(xué)課老師不舉學(xué)科的例子，學(xué)科老師不注重“學(xué)科觀念”的教學(xué).以數(shù)學(xué)學(xué)科為例，相當(dāng)多的教師關(guān)注的是較低層次的數(shù)學(xué)解題教學(xué)，較少關(guān)注“數(shù)學(xué)觀念”的教學(xué).一般認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法被劃分為四個層次：“解題術(shù)”“解題方法”“數(shù)學(xué)思想”“數(shù)學(xué)觀念”，而“數(shù)學(xué)觀念”是認(rèn)識世界的“哲學(xué)思想”，數(shù)學(xué)觀念“直接影響著數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新法則形成的共同預(yù)設(shè)或元知識層次”.[3]

上面的例子在后面學(xué)生學(xué)習(xí)“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”時(shí)仍可借鑒:

在數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)注哲學(xué)觀念的滲透其本質(zhì)是追求數(shù)學(xué)觀念的養(yǎng)成教育.在大力倡導(dǎo)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教育的今天，不少教師仍然不注重?cái)?shù)學(xué)知識形成過程的教學(xué)，總是以最短的時(shí)間最快的速度講完相應(yīng)知識點(diǎn)，過于關(guān)注解題的套路與技巧，忽視了對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識過程.數(shù)學(xué)科學(xué)本身可以視為一個“生命體”，有其自身“生長”的規(guī)律，只有關(guān)注數(shù)學(xué)觀念的養(yǎng)成站在哲學(xué)的高度引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能真正回歸數(shù)學(xué)教育的本源.

3.局部與整體、無限觀念下導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)

哲學(xué)上關(guān)于無限的觀念集中于潛無限與實(shí)無限的思辨上.所謂潛無限是將無限看作一個永遠(yuǎn)沒有窮盡的，潛在的過程.所謂實(shí)無限是把無限對象看成是可以自我完成的過程或無窮整體[4].歷史上哲學(xué)家們對無限的認(rèn)識也不全面，古希臘時(shí)期的哲學(xué)家沒有將無限單獨(dú)作為一個名詞，以為“無限物體”不存在，而是作為副詞，無限與過程相聯(lián).Aristotle只承認(rèn)潛無限，拒絕實(shí)無限[5].無限觀與數(shù)學(xué)是密不可分的，希爾伯特認(rèn)為“數(shù)學(xué)是研究無窮的科學(xué)”[6].學(xué)生對數(shù)學(xué)中的無限的認(rèn)識有利于理解數(shù)學(xué)概念，同時(shí)也有利于提高無限認(rèn)識能力[7].學(xué)生關(guān)于無限觀的形成也將直接影響其對數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟.

例4 學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解情況調(diào)研.

考慮到中學(xué)生的理解能力，新課標(biāo)在引入微分初步知識的同時(shí)又刪除了形式化的定義，目的是讓學(xué)生借助“微積分的教育形態(tài)的表現(xiàn)形式”把握微積分的實(shí)質(zhì).導(dǎo)數(shù)的意義其本質(zhì)在于“函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，意味著這個函數(shù)在這一點(diǎn)附近近似于一次函數(shù)”“研究函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)不只看一點(diǎn)的值，要考察這一點(diǎn)周圍的無限小局部性態(tài)”“導(dǎo)數(shù)之美在于體現(xiàn)局部的‘率’，這是一個無窮的過程”[8].而實(shí)際教學(xué)效果卻不盡如人意.房元霞等人的調(diào)研發(fā)現(xiàn)僅34.42%的高三學(xué)生將導(dǎo)數(shù)理解這“函數(shù)在某點(diǎn)的瞬時(shí)變化率(平均變化率的極限)”，僅22.12%的學(xué)生將導(dǎo)數(shù)理解為“函數(shù)曲線上某點(diǎn)切線的斜率”，而真正理解為“縮到一個點(diǎn)附近來研究函數(shù)”的僅0.96%；而對數(shù)學(xué)本科(大二)學(xué)生調(diào)研發(fā)現(xiàn)，僅21%的學(xué)生能表達(dá)導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義，57%的學(xué)生能用導(dǎo)數(shù)近似表示函數(shù)在某點(diǎn)的值[9].郭玉峰等在對師范院校學(xué)生導(dǎo)數(shù)內(nèi)容理解情況調(diào)研時(shí)也發(fā)現(xiàn)“深入理解不夠，如部分學(xué)生盡管知道導(dǎo)數(shù)基本概念，但理解還只限于表面，缺乏深層次的理解”[10].

教學(xué)啟示：一要正確解讀教材，滲透局部代替整體的思想.微分學(xué)緣于“在研究物體的運(yùn)動時(shí)要求出它在任一時(shí)刻的速度和加速度，或者在研究光線通過透鏡的規(guī)律時(shí)要求出光滑曲線上給定點(diǎn)的切線和法線，以及在研究炮彈的射程時(shí)要求出函數(shù)的最大值和最小值等”[11].在人們沒有找到合適的方法時(shí)最原始的想法就是“取近似值”，或者說是“以直代曲”，用“局部代替整體”.蘇教版教材無論是關(guān)于研究曲線上一點(diǎn)處的切線還是研究運(yùn)動物體的瞬時(shí)速度都在力求表達(dá)“某點(diǎn)(某時(shí)刻)附近哪條直線(哪個常數(shù))更加逼近曲線(瞬時(shí)速度)”，如果認(rèn)識不到這一點(diǎn)，教學(xué)就會出問題，而認(rèn)識到了這一點(diǎn)，就會自覺地將“局部特征代替整體特征”的思想滲透到教學(xué)中，對學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)大有裨益.

二要重視學(xué)生關(guān)于“無限觀”的形成.其實(shí)關(guān)于無限的思想學(xué)生在小學(xué)階段就有所了解，如“無限循環(huán)小數(shù)”“無限不循環(huán)小數(shù)”“射線”“直線”等等.初中階段也會涉及到，如方程組有“無窮多組解”，數(shù)軸上有“無窮多個點(diǎn)”，在研究一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)時(shí)也會涉及到“無限增大”“無限減小”等等.高中數(shù)學(xué)中這樣的例子就更多，但數(shù)學(xué)教材中對“無限”往往采取“避而不談”的方式，數(shù)學(xué)教師在課堂上對“無限”也不深究，導(dǎo)致學(xué)生難以形成關(guān)于“無限”的正確觀念.然而“數(shù)學(xué)是研究無窮的科學(xué)”，數(shù)學(xué)中的很多概念蘊(yùn)含著“無限”的思想，如“平行線” “無理數(shù)” “極限” “函數(shù)” “單調(diào)性” “奇偶性” “連續(xù)” “導(dǎo)數(shù)” “積分”等，如果沒有正確的“無限觀”是很難正確把握這些概念的，如果這些概念沒有能真正內(nèi)化為學(xué)生的個人知識，對其后續(xù)學(xué)習(xí)影響是很大的.在導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)中無論是研究曲線有某點(diǎn)的切線還是運(yùn)動物體在某時(shí)刻的瞬時(shí)速度都包含了一個“無限接近”的過程，在形成導(dǎo)數(shù)定義時(shí)更加突出了“△x無限趨近于0”，這個過程是無限的.盡管考慮到學(xué)生的認(rèn)知能力，不宜用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行精確刻畫，但課堂教學(xué)過程中教師還應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生充分感受“無限過程”，不但要告知無限過程是 “潛無限”，而且要明確最終狀態(tài)是“實(shí)無限” .

三要幫助學(xué)生整體認(rèn)知數(shù)學(xué)概念.學(xué)生無限思辨的自發(fā)方式是潛無限，實(shí)無限是后天發(fā)展而來的[12].實(shí)無限隱藏在數(shù)學(xué)概念中，需要學(xué)生深入思考才能掌握.如“函數(shù)單調(diào)性”概念中，“任意的x1,x2”即是從整體的角度描述了自變量取一切值的情形.而“任意”一詞卻蘊(yùn)含了“無限”的思想.在導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)中如果從“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”角度幫助學(xué)生領(lǐng)會：“日取其半”是一個動態(tài)的過程，但總歸是“一尺之棰”這一完整的結(jié)果，則對學(xué)生理解函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是十分有益的.也可以借助芝諾悖論中的“阿里奇追龜”幫助學(xué)生理解，通過“阿里奇無限接近烏龜”與“阿里奇追上并超過烏龜”來深化對潛無限與實(shí)無限的理解.

4.偶然性與必然性相統(tǒng)一觀念下的概率與統(tǒng)計(jì)知識的教學(xué)

上個世紀(jì)八十年代以來，“把統(tǒng)計(jì)和概率的初步知識作為數(shù)學(xué)基本修養(yǎng)的一部分而引入中學(xué)甚至小學(xué)課程”[13]足見概率與統(tǒng)計(jì)思想作為公民數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的重要部分十分重要.然而，學(xué)生真正能夠獲得統(tǒng)計(jì)與概率思維方式依然離不開偶然性與必然性相統(tǒng)一觀念的指導(dǎo).

例5 今天的天氣預(yù)報(bào)不準(zhǔn)確.

“今天的天氣預(yù)報(bào)不準(zhǔn)確”往往會出自受過高等教育者之口.這似乎不應(yīng)該“大驚小怪”，然而這反映了一個問題，即中學(xué)數(shù)學(xué)教育的目的達(dá)成問題.義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程”，第三學(xué)段的課程目標(biāo)中有“進(jìn)一步認(rèn)識隨機(jī)現(xiàn)象”“感受隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)”的表述[14].高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中更是將“數(shù)據(jù)分析”能力作為核心素養(yǎng)明確提出[15].但概率與統(tǒng)計(jì)知識最核心的思想是隨機(jī)思想與統(tǒng)計(jì)推斷思想，其相應(yīng)的哲學(xué)觀念是“現(xiàn)實(shí)世界中的任何事物、任何過程都具有必然和偶然的雙重屬性.必然性是通過大量偶然性表現(xiàn)出來的”[16].今天下雨還是不下雨是一種隨機(jī)現(xiàn)象，但通過對氣象的觀察人們發(fā)現(xiàn)了氣象的發(fā)展變化規(guī)律在此基礎(chǔ)上作出“下雨的可能性推斷”，如果今天并未下雨這也是一種隨機(jī)事件，如果借此說明天氣預(yù)報(bào)不準(zhǔn)確，這就偏離了對氣象預(yù)報(bào)的本質(zhì)，說明人們還不具備對隨機(jī)現(xiàn)象認(rèn)識方面的基本素養(yǎng).

教學(xué)啟示：概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)要教方法，更要引導(dǎo)學(xué)生感悟思想.將概率統(tǒng)計(jì)知識納入中小學(xué)數(shù)學(xué)課程是新課程改革的一大亮點(diǎn).但如何實(shí)施這一內(nèi)容的教學(xué)值得廣大教師深入探究.這部分內(nèi)容知識點(diǎn)多，相關(guān)數(shù)學(xué)方法也多，教學(xué)難度較大，因此在實(shí)際教學(xué)中我們往往過多注重具體解決問題的方法與問題模型而忽視了培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維[17]，導(dǎo)致會做概率統(tǒng)計(jì)題但無法解釋隨機(jī)現(xiàn)象. 例如，小學(xué)階段學(xué)生就掌握了拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面與反面朝上的可能性都是二分之一，但當(dāng)問及拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣五次都是正面朝上，那么拋第六次是正面朝上的可能性大還是反面朝上的可能性大，回答可能性一樣大的中小學(xué)生為數(shù)不多.這說明學(xué)生還未掌握隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維意識.再之，教學(xué)中應(yīng)時(shí)刻關(guān)注“偶然性與必然性相統(tǒng)一”這一哲學(xué)觀念的滲透.關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教學(xué)往往是從隨機(jī)現(xiàn)象引入，在讓學(xué)生感受一系列隨機(jī)現(xiàn)象的同時(shí)務(wù)必提醒學(xué)生“偶然性中一定隱藏著必然”.自然界很多現(xiàn)象是一種隨機(jī)現(xiàn)象，但其中的規(guī)律需要人們?nèi)ヌ綄?，無論是“浦豐通過投針計(jì)算圓周率”，還是“孟德爾通過豌豆獲得遺傳規(guī)律”都是堅(jiān)信其存在必然性的前提下獲得的.而當(dāng)找出其中的規(guī)律后又應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生分析某一事件發(fā)生的偶然性，從而讓學(xué)生感受到其中的哲學(xué)意蘊(yùn).

結(jié)語：數(shù)學(xué)與哲學(xué)是密不可分的.數(shù)學(xué)教育的根本目的是“提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”[18]，具備了數(shù)學(xué)眼光也就是形成了數(shù)學(xué)觀念，而數(shù)學(xué)觀念就是一種“認(rèn)識客觀世界的哲學(xué)思想”[19].另一方面，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程總是在一定的觀念支配下進(jìn)行的，實(shí)踐證明將數(shù)學(xué)教學(xué)與相應(yīng)的哲學(xué)觀念有機(jī)融合有利于學(xué)生形成正確的哲學(xué)觀，而這些觀念(即使是模糊的)對其后續(xù)學(xué)習(xí)也有很大的指導(dǎo)作用.